Teorema de Brahmagupta - Brahmagupta theorem

Em geometria , o teorema de Brahmagupta afirma que se um quadrilátero cíclico é ortogonal (ou seja, tem diagonais perpendiculares ), então a perpendicular a um lado do ponto de intersecção das diagonais sempre corta o lado oposto ao meio. Recebeu o nome do matemático indiano Brahmagupta (598-668).

Mais especificamente, sejam A , B , C e D quatro pontos em um círculo de modo que as linhas AC e BD sejam perpendiculares. Denotar a intersecção de AC e BD por M . Soltar a perpendicular a partir de H para a linha BC , chamando a intersecção E . Seja F a intersecção da linha EM e a aresta AD . Então, o teorema afirma que F é o ponto médio AD .

Prova

Prova do teorema.

Precisamos provar que AF = FD . Vamos provar que tanto AF quanto FD são de fato iguais a FM .

Para provar que AF = FM , primeiro observe que os ângulos FAM e CBM são iguais, porque eles são ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco do círculo. Além disso, os ângulos CBM e CME são complementares ao ângulo BCM (ou seja, somam 90 °) e, portanto, são iguais. Finalmente, os ângulos CME e FMA são iguais. Portanto, AFM é um triângulo isósceles e, portanto, os lados AF e FM são iguais.

A prova de que FD = FM é semelhante: os ângulos FDM , BCM , BME e DMF são todos iguais, então DFM é um triângulo isósceles, então FD = FM . Segue-se que AF = FD , como afirma o teorema.

Veja também

Referências

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