Quadrilátero cíclico - Cyclic quadrilateral

Exemplos de quadriláteros cíclicos

Na geometria euclidiana , um quadrilátero cíclico ou quadrilátero inscrito é um quadrilátero cujos vértices estão todos em um único círculo . Esse círculo é chamado de circunferência ou círculo circunscrito , e os vértices são considerados concíclicos . O centro do círculo e seu raio são chamados de circuncentro e circumradius, respectivamente. Outros nomes para esses quadriláteros são quadrilátero concíclico e quadrilátero cordal , este último uma vez que os lados do quadrilátero são cordas do circuncírculo. Normalmente, o quadrilátero é considerado convexo , mas também existem quadriláteros cíclicos cruzados. As fórmulas e propriedades fornecidas abaixo são válidas no caso convexo.

A palavra cíclica vem do grego antigo κύκλος ( kuklos ), que significa "círculo" ou "roda".

Todos os triângulos têm um círculo circunflexo , mas nem todos os quadriláteros têm. Um exemplo de quadrilátero que não pode ser cíclico é um losango não quadrado . As caracterizações de seção abaixo declaram quais condições necessárias e suficientes um quadrilátero deve satisfazer para ter um círculo circunflexo.

Casos especiais

Qualquer quadrado , retângulo , trapézio isósceles ou antiparalelogramo é cíclico. Uma pipa é cíclica se, e somente se , tiver dois ângulos retos. Um quadrilátero bicêntrico é um quadrilátero cíclico que também é tangencial e um quadrilátero ex-bicêntrico é um quadrilátero cíclico que também é ex-tangencial . Um quadrilátero harmônico é um quadrilátero cíclico no qual o produto dos comprimentos dos lados opostos são iguais.

Caracterizações

Um quadrilátero cíclico ABCD

Circumcenter

Um quadrilátero convexo é cíclico se e somente se as quatro bissetoras perpendiculares aos lados forem simultâneas . Este ponto comum é o circuncentro .

Ângulos suplementares

Um quadrilátero convexo ABCD é cíclico se e somente se seus ângulos opostos forem complementares , isto é

${\ displaystyle \ alpha + \ gamma = \ beta + \ delta = \ pi \ {\ text {radianos}} \ (= 180 ^ {\ circ}).}$

O teorema direta foi Proposition 22 no Livro 3 de Euclides 's Elements . De forma equivalente, um quadrilátero convexo é cíclico se e somente se cada ângulo externo for igual ao ângulo interno oposto .

Em 1836, Duncan Gregory generalizou este resultado da seguinte maneira: Dado qualquer 2 n -gon cíclico convexo , então as duas somas de ângulos interiores alternados são cada uma igual a ( n -1) . ${\ displaystyle \ pi}$

Tomando a projeção estereográfica (tangente de meio ângulo) de cada ângulo, isso pode ser reexpresso,

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan {\ frac {\ gamma} {2}}} {1- \ tan {\ frac {\ alpha} {2} } \ tan {\ frac {\ gamma} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ beta} {2}} + \ tan {\ frac {\ delta} {2}}} { 1- \ tan {\ frac {\ beta} {2}} \ tan {\ frac {\ delta} {2}}}} = \ infty.}$

O que implica que

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ tan {\ frac {\ gamma} {2}} = \ tan {\ frac {\ beta} {2}} {\ tan {\ frac { \ delta} {2}}} = 1}$

Ângulos entre os lados e diagonais

Um quadrilátero convexo ABCD é cíclico se e somente se um ângulo entre um lado e uma diagonal é igual ao ângulo entre o lado oposto e a outra diagonal. Ou seja, por exemplo,

${\ displaystyle \ angle ACB = \ angle ADB.}$

Pascal Points

ABCD é um quadrilátero cíclico. E é o ponto de intersecção das diagonais e F é o ponto de intersecção das extensões dos lados BC e AD . é um círculo cujo diâmetro é o segmento, EF . P e Q são pontos Pascal formados pelo círculo . Os triângulos FAB e FCD são semelhantes.${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

Outras condições necessárias e suficientes para um quadrilátero convexo ABCD ser cíclico são: seja E o ponto de intersecção das diagonais, seja F o ponto de intersecção das extensões dos lados AD e BC , seja um círculo cujo diâmetro é o segmente, EF , e sejam P e Q pontos Pascal nos lados AB e CD formados pelo círculo . (1) ABCD é um quadrilátero cíclico se e somente se os pontos P e Q são colineares com o centro O , do círculo . (2) ABCD é um quadrilátero cíclico se e somente se os pontos P e Q são os pontos médios dos lados AB e CD . ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$
${\ displaystyle \ omega}$

Intersecção de diagonais

Se duas retas, uma contendo o segmento AC e a outra contendo o segmento BD , se cruzam em E , então os quatro pontos A , B , C , D são concíclicos se e somente se

${\ displaystyle \ displaystyle AE \ cdot EC = BE \ cdot ED.}$

A interseção E pode ser interna ou externa ao círculo. No primeiro caso, o quadrilátero cíclico é ABCD e, no último caso, o quadrilátero cíclico é ABDC . Quando a interseção é interna, a igualdade afirma que o produto dos comprimentos do segmento em que E divide uma diagonal é igual ao da outra diagonal. Isso é conhecido como teorema dos acordes de interseção, uma vez que as diagonais do quadrilátero cíclico são acordes do círculo circunflexo.

Teorema de Ptolomeu

O teorema de Ptolomeu expressa o produto dos comprimentos das duas diagonais e e f de um quadrilátero cíclico como igual à soma dos produtos dos lados opostos:

${\ displaystyle \ displaystyle ef = ac + bd}$, onde a, b, c, d são os comprimentos laterais em ordem.

O inverso também é verdadeiro. Ou seja, se esta equação for satisfeita em um quadrilátero convexo, então um quadrilátero cíclico é formado.

Triângulo diagonal

ABCD é um quadrilátero cíclico. EFG é o triângulo diagonal de ABCD . O ponto T de intersecção dos bimedianos do ABCD pertence ao círculo de nove pontos do EFG .

Em um quadrilátero convexo ABCD , seja EFG o triângulo diagonal de ABCD e seja o círculo de nove pontos de EFG . ABCD é cíclico se e somente se o ponto de intersecção dos bimedianos de ABCD pertencer ao círculo de nove pontos . ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

Área

A área K de um quadrilátero cíclico com os lados a , b , c , d é dada pela fórmula de Brahmagupta

${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}} \,}$

onde s , o semiperímetro , é s = 1/2( a + b + c + d ) . Este é um corolário da fórmula de Bretschneider para o quadrilátero geral, uma vez que ângulos opostos são suplementares no caso cíclico. Se também d = 0 , o quadrilátero cíclico torna-se um triângulo e a fórmula é reduzida à fórmula de Heron .

O quadrilátero cíclico tem área máxima entre todos os quadriláteros com os mesmos comprimentos laterais (independentemente da sequência). Este é outro corolário da fórmula de Bretschneider. Também pode ser provado usando cálculo .

Quatro comprimentos desiguais, cada um menor que a soma dos outros três, são os lados de cada um dos três quadriláteros cíclicos não congruentes, que pela fórmula de Brahmagupta todos têm a mesma área. Especificamente, para os lados a , b , c e d , o lado a pode ser oposto a qualquer um dos lados b , c ou d .

A área de um quadrilátero cíclico com lados sucessivos a , b , c , d e ângulo B entre os lados a e b pode ser expressa como

${\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ab + cd) \ sin {B}}$

ou

${\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ac + bd) \ sin {\ theta}}$

onde θ é um dos ângulos entre as diagonais. Desde que A não seja um ângulo reto, a área também pode ser expressa como

${\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {4}} (a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2}) \ tan {A}.}$

Outra fórmula é

${\ displaystyle \ displaystyle K = 2R ^ {2} \ sin {A} \ sin {B} \ sin {\ theta}}$

onde R é o raio da circunferência . Como consequência direta,

${\ displaystyle K \ leq 2R ^ {2}}$

onde há igualdade se e somente se o quadrilátero é um quadrado.

Diagonais

Em um quadrilátero cíclico com sucessivas vértices A , B , C , D e para os lados um = AB , b = BC , c = CD , e d = DA , os comprimentos das diagonais p = AC e q = BD pode ser expressa em termos dos lados como

${\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ad + bc)} {ab + cd}}}}$ e ${\ displaystyle q = {\ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ab + cd)} {ad + bc}}}}$

mostrando assim o teorema de Ptolomeu

${\ displaystyle pq = ac + bd.}$

De acordo com o segundo teorema de Ptolomeu ,

${\ displaystyle {\ frac {p} {q}} = {\ frac {ad + bc} {ab + cd}}}$

usando as mesmas notações acima.

Para a soma das diagonais temos a desigualdade

${\ displaystyle p + q \ geq 2 {\ sqrt {ac + bd}}.}$

A igualdade é mantida se e somente se as diagonais tiverem o mesmo comprimento, o que pode ser provado usando a desigualdade AM-GM .

Além disso,

${\ displaystyle (p + q) ^ {2} \ leq (a + c) ^ {2} + (b + d) ^ {2}.}$

Em qualquer quadrilátero convexo, as duas diagonais juntas dividem o quadrilátero em quatro triângulos; em um quadrilátero cíclico, os pares opostos desses quatro triângulos são semelhantes entre si.

Se M e N são os pontos médios das diagonais AC e BD , então

${\ displaystyle {\ frac {MN} {EF}} = {\ frac {1} {2}} \ left | {\ frac {AC} {BD}} - {\ frac {BD} {AC}} \ right |}$

onde E e F são os pontos de intersecção das extensões de lados opostos.

Se ABCD for um quadrilátero cíclico onde AC encontra BD em E , então

${\ displaystyle {\ frac {AE} {CE}} = {\ frac {AB} {CB}} \ cdot {\ frac {AD} {CD}}.}$

Um conjunto de lados que pode formar um quadrilátero cíclico pode ser arranjado em qualquer uma das três sequências distintas, cada uma das quais pode formar um quadrilátero cíclico da mesma área no mesmo circuncírculo (as áreas sendo as mesmas de acordo com a fórmula de área de Brahmagupta). Quaisquer dois desses quadriláteros cíclicos têm um comprimento diagonal em comum.

Fórmulas angulares

Para um quadrilátero cíclico com lados sucessivos a , b , c , d , semiperímetro s e ângulo A entre os lados a e d , as funções trigonométricas de A são dadas por

${\ displaystyle \ cos A = {\ frac {a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}} {2 (ad + bc)}},}$

${\ displaystyle \ sin A = {\ frac {2 {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}} {(ad + bc)}},}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {A} {2}} = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sd)} {(sb) (sc)}}}.}$

O ângulo θ entre as diagonais satisfaz

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {(sb) (sd)} {(sa) (sc)}}}.}$

Se as extensões dos lados opostos a e c se cruzam em um ângulo φ , então

${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ varphi} {2}} = {\ sqrt {\ frac {(sb) (sd) (b + d) ^ {2}} {(ab + cd) (ad + bc )}}}}$

onde s é o semiperímetro .

Fórmula de circunradio de Parameshvara

Um quadrilátero cíclico com lados sucessivos a , b , c , d e semiperímetro s tem o circumradius (o raio do circuncírculo ) dado por

${\ displaystyle R = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {(sa) (sb) (sc) (sd )}}}.}$

Isso foi obtido pelo matemático indiano Vatasseri Parameshvara no século XV.

Usando a fórmula de Brahmagupta, a fórmula de Parameshvara pode ser reafirmada como

${\ displaystyle 4KR = {\ sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}}}$

onde K é a área do quadrilátero cíclico.

Anticentro e colinearidades

Quatro segmentos de linha, cada um perpendicular a um lado de um quadrilátero cíclico e passando pelo ponto médio do lado oposto , são concorrentes . Esses segmentos de linha são chamados de maltitudes , que é uma abreviatura de altitude do ponto médio. Seu ponto comum é chamado de anticentro . Tem a propriedade de ser o reflexo do circuncentro no "centróide do vértice" . Assim, em um quadrilátero cíclico, o circuncentro, o "centróide do vértice" e o anticentro são colineares .

Se as diagonais de um quadrilátero cíclico se cruzam em P , e os pontos médios das diagonais são M e N , então o anticentro do quadrilátero é o ortocentro do triângulo MNP .

Outras propriedades

Teorema japonês

• Em um quadrilátero cíclico ABCD , os incentivos M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ (veja a figura à direita) nos triângulos DAB , ABC , BCD e CDA são os vértices de um retângulo . Este é um dos teoremas conhecidos como teorema japonês . Os ortocentros dos mesmos quatro triângulos são os vértices de um quadrilátero congruente com ABCD , e os centróides nesses quatro triângulos são vértices de outro quadrilátero cíclico.
• Em um quadrilátero cíclico ABCD com circuncentro O , seja P o ponto onde as diagonais AC e BD se cruzam. Então, o ângulo APB é a média aritmética dos ângulos AOB e COD . Esta é uma consequência direta do teorema do ângulo inscrito e do teorema do ângulo exterior .
• Não há quadriláteros cíclicos com área racional e com lados racionais desiguais na progressão aritmética ou geométrica .

• Se um quadrilátero cíclico tem comprimentos laterais que formam uma progressão aritmética, o quadrilátero também é ex-bicêntrico .
• Se os lados opostos de um quadrilátero cíclico são estendidos para se encontrar em E e F , então as bissetoras dos ângulos internos dos ângulos em E e F são perpendiculares.

Quadriláteros Brahmagupta

Um quadrilátero Brahmagupta é um quadrilátero cíclico com lados inteiros, diagonais inteiros e área inteira. Todos os quadriláteros de Brahmagupta com lados a , b , c , d , diagonais e , f , área K e circunradius R podem ser obtidos limpando denominadores das seguintes expressões envolvendo parâmetros racionais t , u , e v :

${\ displaystyle a = [t (u + v) + (1-uv)] [u + vt (1-uv)]}$

${\ displaystyle b = (1 + u ^ {2}) (vt) (1 + tv)}$

${\ displaystyle c = t (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2})}$

${\ displaystyle d = (1 + v ^ {2}) (ut) (1 + tu)}$

${\ displaystyle e = u (1 + t ^ {2}) (1 + v ^ {2})}$

${\ displaystyle f = v (1 + t ^ {2}) (1 + u ^ {2})}$

${\ displaystyle K = uv [2t (1-uv) - (u + v) (1-t ^ {2})] [2 (u + v) t + (1-uv) (1-t ^ {2} )]}$

${\ displaystyle 4R = (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2}) (1 + t ^ {2}).}$

Caso ortodiagonal

Circunradius e área

Para um quadrilátero cíclico que também é ortogonal (tem diagonais perpendiculares), suponha que a interseção das diagonais divide uma diagonal em segmentos de comprimentos p ₁ e p ₂ e divide a outra diagonal em segmentos de comprimentos q ₁ e q ₂ . Então (a primeira igualdade é Proposição 11 em Archimedes ' Livro de Lemas )

${\ displaystyle D ^ {2} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$

onde D é o diâmetro da circunferência . Isso é válido porque as diagonais são cordas perpendiculares de um círculo . Essas equações implicam que o circumradius R pode ser expresso como

${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}}}}$

ou, em termos dos lados do quadrilátero, como

${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {b ^ { 2} + d ^ {2}}}.}$

Também segue que

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 8R ^ {2}.}$

Assim, de acordo com o teorema do quadrilátero de Euler , o circumradius pode ser expresso em termos das diagonais p e q , e a distância x entre os pontos médios das diagonais como

${\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}} {8}}}.}$

Uma fórmula para a área K de um quadrilátero ortodiagonal cíclico em termos dos quatro lados é obtida diretamente ao combinar o teorema de Ptolomeu e a fórmula para a área de um quadrilátero ortodiagonal . O resultado é

${\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ac + bd).}$

Outras propriedades

• Em um quadrilátero ortodiagonal cíclico, o anticentro coincide com o ponto onde as diagonais se cruzam.
• O teorema de Brahmagupta afirma que, para um quadrilátero cíclico que também é ortodiagonal , a perpendicular de qualquer lado através do ponto de intersecção das diagonais corta o lado oposto ao meio.
• Se um quadrilátero cíclico também for ortogonal, a distância do circuncentro a qualquer lado é igual a metade do comprimento do lado oposto.
• Em um quadrilátero ortodiagonal cíclico, a distância entre os pontos médios das diagonais é igual à distância entre o circuncentro e o ponto onde as diagonais se cruzam.

Quadriláteros esféricos cíclicos

Na geometria esférica , um quadrilátero esférico formado a partir de quatro círculos maiores que se cruzam é ​​cíclico se e somente se as somas dos ângulos opostos forem iguais, ou seja, α + γ = β + δ para ângulos consecutivos α, β, γ, δ do quadrilátero . Uma direção desse teorema foi provada por IA Lexell em 1786. Lexell mostrou que em um quadrilátero esférico inscrito em um pequeno círculo de uma esfera as somas dos ângulos opostos são iguais, e que no quadrilátero circunscrito as somas dos lados opostos são iguais. O primeiro desses teoremas é o análogo esférico de um teorema plano, e o segundo teorema é seu dual, ou seja, o resultado da troca de grandes círculos e seus pólos. Kiper et al. provou um inverso do teorema: Se as somas dos lados opostos são iguais em um quadrilátero esférico, então existe um círculo de inscrição para este quadrilátero.

Veja também

• Teorema da borboleta
• Polígono cíclico
• Poder de um ponto
• Tabela de acordes de Ptolomeu
• Pentágono Robbins

Referências

Leitura adicional

• D. Fraivert: quadriláteros de pontos Pascal inscritos em um quadrilátero cíclico

links externos

• Derivação da fórmula para a área do quadrilátero cíclico
• Incentivos no quadrilátero cíclico no corte do nó
• Quatro linhas simultâneas em um quadrilátero cíclico no corte do nó
• Weisstein, Eric W. "Cyclic quadrilateral" . MathWorld .