Grupo de trança - Braid group

Uma trança regular em cinco fios. Cada flecha compõe dois outros elementos de .

Em matemática , o grupo de tranças em n fios (denotado ), também conhecido como grupo de tranças de Artin , é o grupo cujos elementos são classes de equivalência de n -tranças (por exemplo, sob isotopia ambiente ), e cuja operação de grupo é a composição de tranças (ver § Introdução ). Exemplos de aplicações de grupos de tranças incluem a teoria do nó , onde qualquer nó pode ser representado como o fechamento de certas tranças (um resultado conhecido como teorema de Alexander ); em física matemática, onde Artin A apresentação canônica do grupo de tranças corresponde à equação de Yang-Baxter (ver § Propriedades básicas ); e em invariantes de monodromia da geometria algébrica .

Introdução

Nesta introdução, deixe n = 4 ; a generalização para outros valores de n será direta. Considere dois conjuntos de quatro itens sobre uma mesa, com os itens de cada conjunto dispostos em uma linha vertical e de forma que um conjunto fique próximo ao outro. (Nas ilustrações abaixo, esses são os pontos pretos.) Usando quatro fios, cada item do primeiro conjunto é conectado a um item do segundo conjunto de modo que resulte em uma correspondência um a um. Essa conexão é chamada de trança . Freqüentemente, alguns fios terão que passar por cima ou por baixo de outros, e isso é crucial: as duas conexões a seguir são tranças diferentes :

A trança sigma 1-1    é diferente de    A trança sigma 1

Por outro lado, duas dessas conexões que podem ser feitas para ter a mesma aparência "puxando os fios" são consideradas a mesma trança:

A trança sigma 1-1     é o mesmo que    Outra representação de sigma 1-1

Todos os fios devem se mover da esquerda para a direita; nós como os seguintes não são considerados tranças:

Não é uma trança    não é uma trança

Quaisquer duas tranças podem ser compostas desenhando a primeira ao lado da segunda, identificando os quatro itens no meio e conectando os fios correspondentes:

Braid s3.png     composto com     Braid s2.png     rendimentos     Braid s3s2.png

Outro exemplo:

Braid s1 inv s3 inv.png     composto com     Braid s1 s3 inv.png     rendimentos     Braid s3 inv squared.png

A composição das tranças σ e τ é escrita como στ .

O conjunto de todas as tranças em quatro fios é denotado por . A composição de tranças acima é de fato uma operação de grupo . O elemento de identidade é a trança que consiste em quatro fios horizontais paralelos, e o inverso de uma trança consiste naquela trança que "desfaz" tudo o que a primeira trança fez, que é obtida invertendo um diagrama como os acima em uma linha vertical indo através de seu centro. (As duas primeiras tranças de exemplo acima são inversas uma da outra.)

Formulários

A teoria da trança foi recentemente aplicada à mecânica dos fluidos , especificamente ao campo da mistura caótica em fluxos de fluidos. A trança de trajetórias espaço-temporais (2 + 1) -dimensionais formadas pelo movimento de hastes físicas, órbitas periódicas ou "hastes fantasmas" e conjuntos quase invariáveis ​​tem sido usada para estimar a entropia topológica de vários sistemas fluidos de engenharia e de ocorrência natural , por meio do uso da classificação de Nielsen – Thurston .

Outro campo de intensa investigação envolvendo grupos de tranças e conceitos topológicos relacionados no contexto da física quântica está na teoria e na implementação experimental (conjecturada) dos chamados anyons . Isso pode muito bem acabar formando a base para a computação quântica com correção de erros e, portanto, seu estudo abstrato é atualmente de importância fundamental na informação quântica .

Tratamento formal

Para colocar a discussão informal acima de grupos de tranças em solo firme, é necessário usar o conceito de homotopia da topologia algébrica , definindo grupos de tranças como grupos fundamentais de um espaço de configuração . Alternativamente, pode-se definir o grupo de tranças puramente algebricamente por meio das relações de trança, mantendo as imagens em mente apenas para orientar a intuição.

Para explicar como reduzir um grupo de trança no sentido de Artin a um grupo fundamental, consideramos um coletor conectado de dimensão de pelo menos 2. O produto simétrico de cópias de significa o quociente de , o produto cartesiano dobrado de pela ação de permutação do grupo simétrico em fios operando nos índices de coordenadas. Ou seja, um -tuplo ordenado está na mesma órbita que qualquer outro que seja uma versão reordenada dele.

Um caminho no produto simétrico -fold é a maneira abstrata de discutir pontos , considerados como um -tuplo desordenado , traçando strings de forma independente . Uma vez que devemos exigir que as cordas nunca passem uma pela outra, é necessário que passemos ao subespaço do produto simétrico, de órbitas de -tuplas de pontos distintos . Ou seja, removemos todos os subespaços de definidos por condições para todos . Isso é invariante no grupo simétrico e é o quociente pelo grupo simétrico das duplas não excluídas . Sob a condição de dimensão será conectado.

Com essa definição, então, podemos chamar o grupo trançado de com cordas de grupo fundamental de (para qualquer escolha de ponto base - isso está bem definido até o isomorfismo). O caso em que está o plano euclidiano é o original de Artin. Em alguns casos, pode ser mostrado que os grupos de homotopia mais elevados são triviais.

Tranças fechadas

Quando X é o plano, a trança pode ser fechada , ou seja, as extremidades correspondentes podem ser conectadas aos pares, para formar um elo , ou seja, uma união possivelmente entrelaçada de laços possivelmente com nós em três dimensões. O número de componentes do link pode ser qualquer coisa de 1 a n , dependendo da permutação dos fios determinada pelo link. Um teorema de JW Alexander demonstra que todo elo pode ser obtido dessa forma como o "fechamento" de uma trança. Compare com links de string .

Diferentes tranças podem originar o mesmo elo, assim como diferentes diagramas de cruzamento podem originar o mesmo . Em 1935, Andrey Markov Jr. descreveu dois movimentos nos diagramas de tranças que geram equivalência nas tranças fechadas correspondentes. Uma versão de movimento único do teorema de Markov foi publicada por em 1997.

Vaughan Jones originalmente definiu seu polinômio como uma trança invariante e depois mostrou que dependia apenas da classe da trança fechada.

O teorema de Markov fornece condições necessárias e suficientes sob as quais os fechamentos de duas tranças são elos equivalentes.

Índice de trança

O "índice de trança" é o menor número de strings necessárias para fazer uma representação de trança fechada de um link. É igual ao menor número de círculos Seifert em qualquer projeção de um nó.

História

Os grupos de tranças foram introduzidos explicitamente por Emil Artin em 1925, embora (como Wilhelm Magnus apontou em 1974) eles já estivessem implícitos no trabalho de Adolf Hurwitz sobre a monodromia de 1891.

Os grupos de tranças podem ser descritos por apresentações explícitas , como foi mostrado por Emil Artin em 1947. Os grupos de tranças também são entendidos por uma interpretação matemática mais profunda: como o grupo fundamental de determinados espaços de configuração .

Como Magnus diz, Hurwitz deu a interpretação de um grupo de tranças como o grupo fundamental de um espaço de configuração (cf. teoria da trança ), uma interpretação que foi perdida de vista até ser redescoberta por Ralph Fox e Lee Neuwirth em 1962.

Propriedades básicas

Geradores e relações

Considere as três tranças a seguir:

   Braid s1.png       Braid s2.png       Braid s3.png   

Cada trança pode ser escrita como uma composição de várias dessas tranças e seus inversos. Em outras palavras, essas três tranças geram o grupo . Para ver isso, uma trança arbitrária é digitalizada da esquerda para a direita em busca de cruzamentos; começando no topo, sempre que um cruzamento de fios e é encontrado, ou é escrito, dependendo se o fio se move sob ou sobre o fio . Ao chegar à extremidade direita, a trança foi escrita como um produto de 'se seus inversos.

É claro que

(i) ,

enquanto as duas relações a seguir não são tão óbvias:

(iia) ,
(iib)

(essas relações podem ser apreciadas melhor desenhando a trança em um pedaço de papel). Pode-se mostrar que todas as outras relações entre as tranças , e já decorrem dessas relações e dos axiomas do grupo.

Generalizando este exemplo para fios, o grupo pode ser definido abstratamente por meio da seguinte apresentação :

onde no primeiro grupo de relações e no segundo grupo de relações ,. Esta apresentação leva a generalizações de grupos de tranças chamados grupos de Artin . As relações cúbicas, conhecidas como relações trançadas , desempenham um papel importante na teoria das equações de Yang-Baxter .

Outras propriedades

  • O grupo de tranças é trivial , é um grupo cíclico infinito e é isomórfico ao grupo de nós do trifólio - em particular, é um grupo não abeliano infinito .
  • O grupo de trança de n- fita incorpora-se como um subgrupo no grupo de trança de -strand adicionando uma fita extra que não cruza nenhuma das primeiras n fitas. A união crescente dos grupos de tranças com todos é o grupo de tranças infinito .
  • Todos os elementos de não identidade de têm ordem infinita ; ou seja, é livre de torção .
  • Há uma esquerda invariante ordem linear no chamado fim Dehornoy .
  • Pois , contém um subgrupo isomórfico ao grupo livre em dois geradores.
  • Existe um homomorfismo definido por σ i ↦ 1 . Então, por exemplo, a trança σ 2 σ 3 σ 1 −1 σ 2 σ 3 é mapeada para 1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3 . Este mapa corresponde à abelianização do grupo de tranças. Como σ i k ↦ k , então σ i k é a identidade se e somente se . Isso prova que os geradores têm ordem infinita.

Interações

Relação com o grupo simétrico e o grupo de trança pura

Ao esquecer como os fios se torcem e se cruzam, cada trança em n fios determina uma permutação em n elementos. Esta atribuição é em e compatível com a composição e, portanto, torna-se um sobrejetivo grupo homomorphism B n S n a partir do grupo trança para o grupo simétrico . A imagem da trança σ i B n é a transposição s i = ( i , i +1) ∈ S n . Essas transposições geram o grupo simétrico, satisfazem as relações do grupo de tranças e têm ordem 2. Isso transforma a apresentação Artin do grupo de tranças na apresentação de Coxeter do grupo simétrico:

O núcleo do homomorfismo B n S n é o subgrupo de B n denominado grupo de tranças puras em n fitas e denotado por P n . Em uma trança pura, o início e o fim de cada fio estão na mesma posição. Grupos de tranças puras se encaixam em uma sequência curta e exata

Esta sequência se divide e, portanto, os grupos de trança puros são realizados como produtos semi-diretos iterados de grupos livres.

Relação entre e o grupo modular

é a extensão central universal do grupo modular.

O grupo de tranças é a extensão central universal do grupo modular , com estes assentados como treliças dentro do grupo de cobertura universal (topológico)

.

Além disso, o grupo modular tem centro trivial, e assim o grupo modular é isomorfo para o grupo quociente de módulo seu centro , e de modo equivalente, para o grupo de automorphisms interiores de .

Aqui está uma construção desse isomorfismo . Definir

.

A partir das relações de trança, segue-se isso . Denotando este último produto como , pode-se verificar a partir das relações de trança que

implicando que está no centro de . Let designar o subgrupo de gerada por c , uma vez que C  ⊂  Z ( B 3 ) , que é um subgrupo normal e uma pode ter o grupo quociente B 3 / C . Nós reivindicamos B 3 / C ≅ PSL (2, Z ) ; este isomorfismo pode ter uma forma explícita. Os cosets σ 1 C e σ 2 C mapeiam para

onde L e R são os movimentos padrão para a esquerda e para a direita na árvore Stern-Brocot ; é sabido que esses movimentos geram o grupo modular.

Como alternativa, uma apresentação comum para o grupo modular é

Onde

Mapeando a para v e b para p produz um homomorfismo de grupo sobrejetivo B 3 → PSL (2, Z ) .

O centro de B 3 é igual a C , uma consequência dos factos que c é no centro, o grupo modular tem centro trivial, e o acima homomorphism sobrejetivo tem de kernel C .

Relação com o grupo de classes de mapeamento e classificação das tranças

O grupo de tranças B n pode ser mostrado como isomórfico ao grupo de classes de mapeamento de um disco perfurado com n perfurações. Isso é mais facilmente visualizado imaginando cada punção como sendo conectada por um fio ao limite do disco; cada homomorfismo de mapeamento que permeia duas das punções pode então ser visto como uma homotopia das cordas, ou seja, uma trança dessas cordas.

Por meio dessa interpretação de grupo de classes de mapeamento de tranças, cada trança pode ser classificada como periódica, redutível ou pseudo-Anosov .

Conexão com a teoria do nó

Se uma trança é fornecida e se conecta o primeiro item da mão esquerda ao primeiro item da mão direita usando uma nova corda, o segundo item da mão esquerda ao segundo item da mão direita etc. (sem criar nenhuma trança nas novas cordas ), obtém-se um link e, às vezes, um . O teorema de Alexander na teoria da trança afirma que o inverso também é verdadeiro: cada e cada elo surge dessa maneira de pelo menos uma trança; tal trança pode ser obtida cortando o elo. Uma vez que as tranças podem ser concretamente dadas como palavras nos geradores σ i , este é freqüentemente o método preferido de inserir nós em programas de computador.

Aspectos computacionais

O problema da palavra para as relações de trança é eficientemente solucionável e existe uma forma normal para os elementos de B n em termos dos geradores σ 1 , ..., σ n −1 . (Em essência, calcular a forma normal de uma trança é o análogo algébrico de "puxar os fios", conforme ilustrado em nosso segundo conjunto de imagens acima.) O sistema de álgebra computacional GAP gratuito pode realizar cálculos em B n se os elementos forem fornecidos em termos desses geradores. Também existe um pacote chamado CHEVIE para GAP3 com suporte especial para grupos de tranças. O problema da palavra também é resolvido de forma eficiente por meio da representação de Lawrence-Krammer .

Além do problema da palavra, existem vários problemas computacionais difíceis conhecidos que poderiam implementar grupos de tranças, aplicações em criptografia foram sugeridas.

Ações

Em analogia com a ação do grupo simétrico por permutações, em vários cenários matemáticos existe uma ação natural do grupo de tranças em n -tuplas de objetos ou no produto tensorial n- dobrado que envolve algumas "torções". Considere um grupo arbitrário L e deixar X ser o conjunto de todos os n -tuples de elementos de L , cujo produto é o elemento de identidade de L . Então B n age em X da seguinte maneira:

Assim, os elementos x i e x i +1 trocam de lugar e, além disso, x i é torcido pelo automorfismo interno correspondente a x i +1 - isso garante que o produto dos componentes de x continue sendo o elemento de identidade. Pode ser verificado que as relações de grupo trança são satisfeitas e esta fórmula efectivamente define uma acção de grupo B n em X . Como outro exemplo, uma categoria monoidal trançada é uma categoria monoidal com uma ação de grupo de trança. Essas estruturas desempenham um papel importante na física matemática moderna e levam a invariantes de nós quânticos .

Representações

Os elementos do grupo de tranças B n podem ser representados mais concretamente por matrizes. Uma representação clássica é a representação Burau , em que as entradas da matriz são polinômios de Laurent de variável única . Era uma questão de longa data se a representação de Burau era fiel , mas a resposta acabou sendo negativa para n  ≥ 5 . De maneira mais geral, era um grande problema aberto se os grupos de tranças eram lineares . Em 1990, Ruth Lawrence descreveu uma família de "representações de Lawrence" mais gerais, dependendo de vários parâmetros. Em 1996, Chetan Nayak e Frank Wilczek postularam que em analogia às representações projetivas de SO (3) , as representações projetivas do grupo de tranças têm um significado físico para certas quasipartículas no efeito hall quântico fracionário . Por volta de 2001, Stephen Bigelow e Daan Krammer provaram independentemente que todos os grupos de tranças são lineares. Seu trabalho usou a representação de Lawrence-Krammer de dimensão dependendo das variáveis q e t . Ao especializar adequadamente essas variáveis, o grupo de tranças pode ser realizado como um subgrupo do grupo linear geral sobre os números complexos .

Grupos de tranças gerados infinitamente

Existem muitas maneiras de generalizar essa noção para um número infinito de fios. A maneira mais simples é pegar o limite direto de grupos de tranças, onde os mapas anexados enviam os geradores de para os primeiros geradores de (isto é, anexando uma fita trivial). Paul Fabel mostrou que há duas topologias que podem ser impostas ao grupo resultante, cada uma de cuja conclusão resulta em um grupo diferente. Um é um grupo muito manso e isomórfico ao grupo de classes de mapeamento do disco infinitamente perfurado - um conjunto discreto de perfurações limitando-se ao limite do disco .

O segundo grupo pode ser considerado o mesmo que grupos de tranças finitos. Coloque uma fita em cada um dos pontos e o conjunto de todas as tranças - onde uma trança é definida como uma coleção de caminhos dos pontos aos pontos de modo que a função produza uma permutação nos pontos finais - é isomórfico a este grupo mais selvagem. Um fato interessante é que o grupo de trança pura neste grupo é isomórfico tanto ao limite inverso dos grupos de trança puros finitos quanto ao grupo fundamental do cubo de Hilbert menos o conjunto

Cohomology

O cohomología de um grupo define-se como o co-homologia do correspondente Eilenberg-MacLane espaço de classificação , que é um CW complexo é determinado unicamente por até homotopy. Um espaço de classificação para o grupo trança é o n th desordenada espaço de configuração de , isto é, o conjunto de pontos não ordenadas distintas no plano:

.

Então, por definição

Os cálculos dos coeficientes em podem ser encontrados em Fuks (1970).

De modo semelhante, um espaço de classificação para o grupo trança puro é , o n th ordenada espaço de configuração de . Em 1968, Vladimir Arnold mostrou que a cohomologia integral do grupo de trança pura é o quociente da álgebra exterior gerada pela coleção de classes de grau um , sujeito às relações

Veja também

Referências

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Leitura adicional

links externos