Teorema π de Buckingham - Buckingham π theorem

Em engenharia , matemática aplicada e física , o teorema π de Buckingham é um teorema chave na análise dimensional . É uma formalização do método de análise dimensional de Rayleigh . Vagamente, o teorema afirma que se houver uma equação fisicamente significativa envolvendo um certo número n de variáveis ​​físicas, então a equação original pode ser reescrita em termos de um conjunto de p = n - k parâmetros adimensionais π ₁ , π ₂ , .. ., π _p construído a partir das variáveis ​​originais. (Aqui k é o número de dimensões físicas envolvidas; é obtido como a classificação de uma matriz particular .)

O teorema fornece um método para calcular conjuntos de parâmetros adimensionais a partir das variáveis ​​dadas, ou não dimensionalização , mesmo se a forma da equação ainda for desconhecida.

O teorema π de Buckingham indica que a validade das leis da física não depende de um sistema de unidades específico . Uma afirmação desse teorema é que qualquer lei física pode ser expressa como uma identidade envolvendo apenas combinações adimensionais (proporções ou produtos) das variáveis ​​vinculadas pela lei (por exemplo, pressão e volume são vinculados pela lei de Boyle - eles são inversamente proporcionais ). Se os valores das combinações adimensionais mudassem com os sistemas de unidades, então a equação não seria uma identidade e o teorema de Buckingham não se manteria.

História

Embora tenha o nome de Edgar Buckingham , o teorema π foi provado pela primeira vez pelo matemático francês Joseph Bertrand em 1878. Bertrand considerou apenas casos especiais de problemas de eletrodinâmica e condução de calor, mas seu artigo contém, em termos distintos, todas as idéias básicas da prova moderna do teorema e indica claramente a utilidade do teorema para modelar fenômenos físicos. A técnica de uso do teorema ("o método das dimensões") tornou-se amplamente conhecida devido aos trabalhos de Rayleigh . A primeira aplicação do teorema π no caso geral para a dependência da queda de pressão em um tubo sobre os parâmetros governantes provavelmente data de 1892, uma prova heurística com o uso de expansões em série, até 1894.

A generalização formal do teorema π para o caso de muitas quantidades arbitrárias foi dada primeiro por A. Vaschy em 1892, depois em 1911 - aparentemente de forma independente - por A. Federman e D. Riabouchinsky , e novamente em 1914 por Buckingham. Foi o artigo de Buckingham que introduziu o uso do símbolo " π _i " para as variáveis ​​adimensionais (ou parâmetros), e esta é a fonte do nome do teorema.

Demonstração

Mais formalmente, o número de termos de dimensão, que pode ser formado, p , é igual ao nulidade da matriz dimensional , e k é a classificação . Para fins experimentais, diferentes sistemas que compartilham a mesma descrição em termos desses números adimensionais são equivalentes.

Em termos matemáticos, se tivermos uma equação fisicamente significativa, como

${\ displaystyle f (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}) = 0,}$

onde q _i são as n variáveis ​​físicas independentes, e elas são expressas em termos de k unidades físicas independentes, então a equação acima pode ser reformulada como

${\ displaystyle F (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {p}) = 0,}$

onde os π _i são parâmetros adimensionais construídos a partir do q _i por p = n - k equações adimensionais - os chamados grupos Pi - da forma

${\ displaystyle \ pi _ {i} = q_ {1} ^ {a_ {1}} \, q_ {2} ^ {a_ {2}} \ cdots q_ {n} ^ {a_ {n}},}$

onde os expoentes a _i são números racionais (eles sempre podem ser considerados inteiros redefinindo π _i como sendo elevado a uma potência que limpa todos os denominadores).

Significado

O teorema π de Buckingham fornece um método para calcular conjuntos de parâmetros adimensionais de determinadas variáveis, mesmo se a forma da equação permanecer desconhecida. No entanto, a escolha de parâmetros adimensionais não é única; O teorema de Buckingham fornece apenas uma maneira de gerar conjuntos de parâmetros adimensionais e não indica os mais "fisicamente significativos".

Dois sistemas para os quais esses parâmetros coincidem são chamados de semelhantes (como acontece com triângulos semelhantes , eles diferem apenas em escala); eles são equivalentes para os fins da equação, e o experimentalista que deseja determinar a forma da equação pode escolher a mais conveniente. Mais importante ainda, o teorema de Buckingham descreve a relação entre o número de variáveis ​​e as dimensões fundamentais.

Prova

Contorno

Será assumido que o espaço das unidades físicas fundamentais e derivadas forma um espaço vetorial sobre os números racionais , com as unidades fundamentais como vetores de base, e com a multiplicação das unidades físicas como a operação de "adição vetorial", e elevando as potências como o Operação de "multiplicação escalar": representa uma variável dimensional como o conjunto de expoentes necessários para as unidades fundamentais (com uma potência de zero se a unidade fundamental particular não estiver presente). Por exemplo, a gravidade padrão g tem unidades de (distância ao longo do tempo ao quadrado), portanto, é representada como o vetor em relação à base das unidades fundamentais (distância, tempo). ${\ displaystyle D / T ^ {2} = D ^ {1} T ^ {- 2}}$${\ displaystyle (1, -2)}$

Fazer com que as unidades físicas coincidam em conjuntos de equações físicas pode então ser considerado uma imposição de restrições lineares no espaço vetorial das unidades físicas.

Prova formal

Dado um sistema de n variáveis ​​dimensionais (com dimensões físicas) em k dimensões fundamentais (base), escreva a matriz dimensional M , cujas linhas são as dimensões fundamentais e cujas colunas são as dimensões das variáveis: a ( i ,  j ) ésima entrada é a potência da i ésima dimensão fundamental na j ésima variável. A matriz pode ser interpretada como tendo uma combinação das dimensões das quantidades variáveis ​​e dando as dimensões deste produto em dimensões fundamentais. Então

${\ displaystyle M {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {bmatrix}}}$

são as unidades de

${\ displaystyle q_ {1} ^ {a_ {1}} \, q_ {2} ^ {a_ {2}} \ cdots q_ {n} ^ {a_ {n}}.}$

Uma variável adimensional é uma quantidade com dimensões fundamentais elevadas à potência zero (o vetor zero do espaço vetorial sobre as dimensões fundamentais), que é equivalente ao núcleo desta matriz.

Pelo teorema da nulidade de classificação , um sistema de n vetores (colunas de matriz) em k dimensões linearmente independentes (a classificação da matriz é o número de dimensões fundamentais) deixa uma nulidade, p, satisfazendo ( p  =  n  -  k ), onde a nulidade é o número de dimensões estranhas que podem ser escolhidas para serem adimensionais.

As variáveis ​​adimensionais podem sempre ser consideradas combinações inteiras das variáveis ​​dimensionais ( limpando os denominadores ). Matematicamente, não há escolha natural de variáveis ​​adimensionais; algumas opções de variáveis ​​adimensionais são fisicamente mais significativas e são essas que são usadas de maneira ideal.

O Sistema Internacional de Unidades define k = 7 unidades básicas, que são ampere , kelvin , segundo , metro , quilograma , candela e mol . Às vezes, é vantajoso introduzir unidades de base adicionais e técnicas para refinar a técnica de análise dimensional (ver análise orientacional e referência)

Exemplos

Velocidade

Este exemplo é elementar, mas serve para demonstrar o procedimento.

Suponha que um carro esteja dirigindo a 100 km / h; quanto tempo leva para percorrer 200 km?

Esta questão considera três variáveis ​​dimensionadas: distância d , tempo t e velocidade v , e estamos buscando alguma lei da forma t = Duração ( v , d ) . Estas variáveis admitir uma base de duas dimensões: tempo dimensão T e dimensão distância D . Portanto, há 3 - 2 = 1 quantidade adimensional.

A matriz dimensional é

${\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \; \; \; 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \ end {bmatrix}}.}$

em que as linhas correspondem às dimensões da base D e T , e as colunas às dimensões consideradas D , T e V , onde esta última representa a dimensão da velocidade. Os elementos da matriz correspondem às potências às quais as respectivas dimensões devem ser elevadas. Por exemplo, a terceira coluna (1, −1), afirma que V = D ⁰ T ⁰ V ¹ , representado pelo vetor coluna , é expressável em termos das dimensões básicas como , desde . ${\ displaystyle \ mathbf {v} = [0,0,1]}$${\ displaystyle V = D ^ {1} T ^ {- 1} = D / T}$${\ displaystyle M \ mathbf {v} = [1, -1]}$

Para uma constante adimensional , estamos procurando vetores tais que o produto matriz-vetor M a seja igual ao vetor zero [0,0]. Na álgebra linear, o conjunto de vetores com essa propriedade é conhecido como kernel (ou espaço nulo) da (o mapa linear representado por) a matriz dimensional. Neste caso particular, seu kernel é unidimensional. A matriz dimensional, conforme escrito acima, está em forma escalonada de linha reduzida , de modo que se pode ler um vetor de kernel diferente de zero para dentro de uma constante multiplicativa: ${\ displaystyle \ pi = D ^ {a_ {1}} T ^ {a_ {2}} V ^ {a_ {3}}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = [a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}]}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} -1 \\\; \; \; 1 \\\; \; \; 1 \\\ end {bmatrix}}.}$

Se a matriz dimensional ainda não foi reduzida, pode-se realizar a eliminação de Gauss-Jordan na matriz dimensional para determinar mais facilmente o kernel. Segue-se que a constante adimensional, substituindo as dimensões pelas variáveis ​​dimensionadas correspondentes, pode ser escrita:

${\ displaystyle \ pi = d ^ {- 1} t ^ {1} v ^ {1} = tv / d.}$

Uma vez que o kernel é definido apenas dentro de uma constante multiplicativa, a constante adimensional acima elevada a qualquer potência arbitrária produz outra constante adimensional (equivalente).

A análise dimensional forneceu, portanto, uma equação geral que relaciona as três variáveis ​​físicas:

${\ displaystyle f (\ pi) = 0,}$

ou, deixando denotar um zero de função , ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ pi = C,}$

que pode ser escrito como

${\ displaystyle t = C {\ frac {d} {v}},}$

A relação real entre as três variáveis ​​é simples . Em outras palavras, neste caso, tem uma raiz fisicamente relevante e é a unidade. O fato de que apenas um único valor de C servirá e que seja igual a 1 não é revelado pela técnica de análise dimensional. ${\ displaystyle d = vt}$${\ displaystyle f}$

O pêndulo simples

Queremos determinar o período T de pequenas oscilações em um pêndulo simples. Será assumido que é uma função do comprimento L , da massa M e da aceleração devida à gravidade na superfície da Terra g , que tem dimensões de comprimento dividido pelo tempo ao quadrado. O modelo é da forma

${\ displaystyle f (T, M, L, g) = 0.}$

(Observe que é escrito como uma relação, não como uma função: T não é escrito aqui como uma função de M , L e g .)

Existem 3 dimensões físicas fundamentais nesta equação: tempo , massa e comprimento , e 4 variáveis ​​dimensionais, T , M , L e g . Assim, precisamos de apenas 4 - 3 = 1 parâmetro adimensional, denotado π, e o modelo pode ser reexpresso como ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle f (\ pi) = 0,}$

onde π é dado por

${\ displaystyle \ pi = T ^ {a_ {1}} M ^ {a_ {2}} L ^ {a_ {3}} g ^ {a_ {4}}}$

para alguns valores de um ₁ , ..., a ₄ .

As dimensões das grandezas dimensionais são:

${\ displaystyle T = t, M = m, L = \ ell, g = \ ell / t ^ {2}.}$

A matriz dimensional é:

${\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

(As linhas correspondem às dimensões , e , e as colunas às variáveis ​​dimensionais T , M , L e g . Por exemplo, a 4ª coluna, (−2, 0, 1), afirma que a variável g tem dimensões de . ) ${\ displaystyle t, m}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle t ^ {- 2} m ^ {0} \ ell ^ {1}}$

Estamos procurando um vetor kernel a = [ a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ ,  a ₄ ] tal que o produto da matriz de M em a resulta no vetor zero [0,0,0]. A matriz dimensional, conforme escrito acima, está em forma escalonada de linha reduzida, de modo que se pode ler um vetor de kernel dentro de uma constante multiplicativa:

${\ displaystyle a = {\ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}$

Se ainda não tivesse reduzido, poderia-se realizar a eliminação de Gauss-Jordan na matriz dimensional para determinar o kernel com mais facilidade. Segue-se que a constante adimensional pode ser escrita:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ pi & = T ^ {2} M ^ {0} L ^ {- 1} g ^ {1} \\ & = gT ^ {2} / L \ end {alinhado} }.}$

Em termos fundamentais:

${\ displaystyle \ pi = (t) ^ {2} (m) ^ {0} (\ ell) ^ {- 1} (\ ell / t ^ {2}) ^ {1} = 1,}$

que é adimensional. Uma vez que o kernel é definido apenas dentro de uma constante multiplicativa, se a constante adimensional acima for elevada a qualquer potência arbitrária, ela produzirá outra constante adimensional equivalente.

Este exemplo é fácil porque três das grandezas dimensionais são unidades fundamentais, então o último ( g ) é uma combinação do anterior. Note que se a ₂ eram não-zero, não haveria maneira de cancelar o M valor; portanto, um ₂ deve ser zero. A análise dimensional nos permitiu concluir que o período do pêndulo não é função de sua massa. (No espaço 3D de potências de massa, tempo e distância, podemos dizer que o vetor para massa é linearmente independente dos vetores para as três outras variáveis. Até um fator de escala, é a única maneira não trivial de construir um vetor de um parâmetro adimensional.) ${\ displaystyle {\ vec {g}} + 2 {\ vec {T}} - {\ vec {L}}}$

O modelo agora pode ser expresso como:

${\ displaystyle f (gT ^ {2} / L) = 0.}$

Assumindo que os zeros de f são discretos, podemos dizer gT ² / G  =  C _n , em que C _n representa o n th zero da função f . Se houver apenas um zero, então gT ² / G  =  C . É necessário um conhecimento mais físico ou um experimento para mostrar que existe de fato apenas um zero e que a constante é de fato dada por C  = 4π ² .

Para grandes oscilações de um pêndulo, a análise é complicada por um parâmetro adimensional adicional, o ângulo máximo de oscilação. A análise acima é uma boa aproximação, pois o ângulo se aproxima de zero .

Refrigerar uma bebida com cubos de gelo

As bebidas resfriadas com cubos de gelo pequenos esfriam mais rápido do que as resfriadas com a mesma massa de cubos de gelo maiores. A explicação comum para esse fenômeno é que cubos menores têm maior área de superfície, e essa área maior causa maior condução de calor e, portanto, resfriamento mais rápido. Para um determinado volume de gelo, a área total da superfície do gelo é proporcional (a área da superfície de um único cubo) vezes (o número de cubos), onde é o comprimento das bordas do cubo e é o volume do gelo. Se a explicação comum estivesse correta, isso implicaria que, para um volume fixo de gelo, a taxa de resfriamento deveria ser proporcional a e, portanto, o tempo para a bebida esfriar deveria ser proporcional a . Na verdade, a análise dimensional mostra que essa explicação comum está incorreta e dá o resultado surpreendente ao qual o tempo para resfriar a bebida é proporcional . ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle V / L ^ {3}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle 1 / L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

As quantidades dimensionais importantes são a escala de comprimento dos cubos (dimensão ), o tempo (dimensão ), a temperatura (dimensão ), a condutividade térmica (dimensões ) e a capacidade volumétrica de calor (dimensões ). A matriz dimensional é:${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ ell ^ {1} t ^ {- 3} \ theta ^ {- 1} m ^ {1}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ ell ^ {- 1} t ^ {- 2} \ theta ^ {- 1} m ^ {1}}$

O espaço nulo de M é unidimensional e o kernel é medido pelo vetor e portanto . (Observe que a temperatura não aparece no grupo adimensional.) Portanto, o tempo de resfriamento da bebida é resolvido por uma função implícita${\ displaystyle \ pi = L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}}$${\ displaystyle \ Theta}$isto é, quando o argumento da função é alguma constante c. Portanto, o tempo de resfriamento da bebida é , de modo que o tempo de resfriamento seja proporcional à escala de comprimento do cubo de gelo ao quadrado , não apenas à escala de comprimento. ${\ displaystyle L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}}$${\ displaystyle T = cL ^ {2} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}}$

Outros exemplos

Um exemplo simples de análise dimensional pode ser encontrado para o caso da mecânica de um disco rotativo fino, sólido e com lados paralelos. Existem cinco variáveis ​​envolvidas que se reduzem a dois grupos adimensionais. A relação entre eles pode ser determinada por experimento numérico usando, por exemplo, o método dos elementos finitos.

O teorema também foi usado em outras áreas além da física, por exemplo, nas ciências do esporte. Metalurgia e Ciência dos Materiais, Metalurgia de Processos, Tecnologia Secundária do Aço, Metalurgia do Pó, Engenharia de Reatores para formulação de modelo matemático e sua validação com condições experimentais.

Veja também

• Onda de choque
• Quantidade adimensional
• Unidades naturais
• Similitude (modelo)
• Número de Reynolds

Referências

Notas

Citações

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Exposição

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Fontes originais

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• Taylor, Sir G. (1950). "A formação de uma onda de explosão por uma explosão muito intensa. II. A explosão atômica de 1945" . Proceedings da Royal Society A . 201 (1065): 175–186. Bibcode : 1950RSPSA.201..175T . doi : 10.1098 / rspa.1950.0050 .

links externos

• Algumas revisões e fontes originais sobre a história do teorema pi e a teoria da similaridade (em russo)