Paradoxo Burali-Forti - Burali-Forti paradox

Na teoria dos conjuntos , um campo da matemática , o paradoxo de Burali-Forti demonstra que construir “o conjunto de todos os números ordinais ” leva a uma contradição e, portanto, mostra uma antinomia em um sistema que permite sua construção. Tem o nome de Cesare Burali-Forti , que, em 1897, publicou um artigo comprovando um teorema que, sem ele saber, contradizia um resultado previamente provado por Cantor. Bertrand Russell subseqüentemente percebeu a contradição, e quando a publicou em seu livro Principles of Mathematics , de 1903 , afirmou que ela havia sido sugerida a ele pelo artigo de Burali-Forti, com o resultado de que passou a ser conhecido pelo nome de Burali-Forti.

Declarado em termos de ordinais de von Neumann

Provaremos isso por reductio ad absurdum.

1. Let Ser um conjunto que contém todos os números ordinais.${\ displaystyle \ Omega}$
2. ${\ displaystyle \ Omega}$é transitivo porque para cada elemento de (que é um número ordinal e pode ser qualquer número ordinal) e cada elemento de (ou seja, sob a definição de ordinais de Von Neumann , para cada número ordinal ), temos que é um elemento de porque qualquer ordinal number contém apenas números ordinais, pela definição desta construção ordinal.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y <x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ Omega}$
3. ${\ displaystyle \ Omega}$é bem ordenado pela relação de filiação porque todos os seus elementos também são bem ordenados por essa relação.
4. Assim, pelas etapas 2 e 3, temos que é uma classe ordinal e também, pela etapa 1, um número ordinal, pois todas as classes ordinais que são conjuntos também são números ordinais.${\ displaystyle \ Omega}$
5. Isso implica que é um elemento de .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$
6. De acordo com a definição dos ordinais de Von Neumann, é o mesmo que ser um elemento de . Esta última afirmação é comprovada pela etapa 5.${\ displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$
7. Mas nenhuma classe ordinal é menor do que ela mesma, inclusive por causa da etapa 4 ( é uma classe ordinal), ou seja .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$

Deduzimos duas proposições contraditórias ( e ) do conjunto de e, portanto, refutamos que seja um conjunto. ${\ displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Dito de forma mais geral

A versão do paradoxo acima é anacrônica, pois pressupõe a definição dos ordinais devida a John von Neumann , sob a qual cada ordinal é o conjunto de todos os ordinais precedentes, o que não era conhecido na época em que o paradoxo foi enquadrado por Burali-Forti . Aqui está uma explicação com menos pressuposições: suponha que associemos a cada ordenação correta um objeto chamado seu tipo de pedido de uma maneira não especificada (os tipos de pedido são os números ordinais). Os próprios tipos de pedido (números ordinais) são bem ordenados de maneira natural e essa boa ordem deve ter um tipo de pedido . É facilmente mostrado na teoria ingênua dos conjuntos (e permanece verdadeiro em ZFC, mas não em New Foundations ) que o tipo de ordem de todos os números ordinais menores que um fixo é ele mesmo. Assim, o tipo de ordem de todos os números ordinais menos do que é em si. Mas isso significa que , sendo o tipo de ordem de um segmento inicial adequado dos ordinais, é estritamente menor do que o tipo de ordem de todos os ordinais, mas o último é ele mesmo por definição. Isso é uma contradição. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Se usarmos a definição von Neumann, em que cada ordinal é identificado como o conjunto de todos os ordinais anteriores, o paradoxo é inevitável: a proposição de ofender que o tipo de ordem de todos os números ordinais menos de um fixo é em si deve ser verdade. A coleção de ordinais de von Neumann, como a coleção no paradoxo de Russell , não pode ser um conjunto em qualquer teoria de conjuntos com lógica clássica. Mas a coleção de tipos de ordem em Novos Fundamentos (definidos como classes de equivalência de bem-ordenações sob similaridade) é na verdade um conjunto, e o paradoxo é evitado porque o tipo de ordem dos ordinais acaba não sendo . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Resoluções do paradoxo

Os axiomas modernos para a teoria formal dos conjuntos , como ZF e ZFC, contornam essa antinomia ao não permitir a construção de conjuntos usando termos como "todos os conjuntos com a propriedade "${\ displaystyle P}$ , como é possível na teoria ingênua dos conjuntos e como é possível com os axiomas de Gottlob Frege - especificamente a Lei Básica V - no "Grundgesetze der Arithmetik." O sistema New Foundations (NF) de Quine usa uma solução diferente . Rosser ( 1942 ) mostrou que na versão original do sistema "Lógica Matemática" (ML) de Quine, uma extensão de Novos Fundamentos, é possível derivar o paradoxo Burali-Forti, mostrando que esse sistema era contraditório. A revisão de Quine de ML após a descoberta de Rosser não sofre desse defeito e, de fato, foi subsequentemente provada equiconsistente com NF por Hao Wang .

Veja também

• Infinito absoluto

Referências

• Burali-Forti, Cesare (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154-164, doi : 10.1007 / BF03015911
• Irving Copi (1958) "The Burali-Forti Paradox", Philosophy of Science 25 (4): 281-286, doi : 10.1086 / 287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), "Burali-Forti's paradox: A reapraisal of its origins", Historia Mathematica , 8 (3): 319-350, doi : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90070-7
• Rosser, Barkley (1942), "The Burali-Forti paradox", Journal of Symbolic Logic , 7 (1): 1-17, doi : 10.2307 / 2267550 , JSTOR  2267550 , MR  0006327

links externos

• Stanford Encyclopedia of Philosophy : " Paradoxes and Contemporary Logic " - por Andrea Cantini.