Capacitância - Capacitance

Símbolos comuns
C
Unidade SI farad
Outras unidades
μF, nF, pF
Em unidades de base SI F = A 2 s 4 kg −1 m −2
Derivações de
outras quantidades
C = carga / tensão
Dimensão M −1 L −2 T 4 I 2

Capacitância é a razão entre a quantidade de carga elétrica armazenada em um condutor e a diferença no potencial elétrico . Existem duas noções de capacitância intimamente relacionadas: capacitância própria e capacitância mútua . Qualquer objeto que pode ser carregado eletricamente apresenta autocapacitância . Neste caso, a diferença de potencial elétrico é medida entre o objeto e o solo. Um material com uma grande autocapacitância retém mais carga elétrica em uma dada diferença de potencial do que um com baixa capacitância. A noção de capacitância mútua é particularmente importante para a compreensão das operações do capacitor , um dos três componentes eletrônicos lineares elementares (junto com resistores e indutores ). Em um capacitor típico, dois condutores são usados ​​para separar a carga elétrica, com um condutor sendo carregado positivamente e o outro negativamente, mas o sistema tendo uma carga total igual a zero. A razão, neste caso, é a magnitude da carga elétrica em qualquer um dos condutores e a diferença de potencial é a medida entre os dois condutores.

A capacitância é uma função apenas da geometria do projeto (por exemplo, área das placas e a distância entre elas) e da permissividade do material dielétrico entre as placas do capacitor. Para muitos materiais dielétricos, a permissividade e, portanto, a capacitância, é independente da diferença de potencial entre os condutores e a carga total sobre eles.

A unidade SI de capacitância é o farad (símbolo: F), em homenagem ao físico inglês Michael Faraday . Um capacitor de 1 farad, quando carregado com 1 coulomb de carga elétrica, tem uma diferença de potencial de 1 volt entre suas placas. O recíproco da capacitância é chamado de elastância .

Auto capacitância

Em circuitos elétricos, o termo capacitância é geralmente uma abreviatura para a capacitância mútua entre dois condutores adjacentes, como as duas placas de um capacitor. No entanto, para um condutor isolado, também existe uma propriedade chamada autocapacitância , que é a quantidade de carga elétrica que deve ser adicionada a um condutor isolado para aumentar seu potencial elétrico em uma unidade (ou seja, um volt, na maioria dos sistemas de medição). O ponto de referência para este potencial é uma esfera condutora oca teórica, de raio infinito, com o condutor centrado dentro desta esfera.

Matematicamente, a autocapacitância de um condutor é definida por

Onde

q é a carga mantida no condutor,
é o potencial elétrico,
σ é a densidade de carga superficial.
dS é um elemento infinitesimal de área na superfície do condutor,
r é o comprimento de dS a um ponto fixo M no condutor
é a permissividade do vácuo

Usando este método, a autocapacitância de uma esfera condutora de raio R é:

Valores de exemplo de autocapacitância são:

  • para a "placa" superior de um gerador van de Graaff , normalmente uma esfera de 20 cm de raio: 22,24 pF,
  • o planeta Terra : cerca de 710 µF.

A capacitância entre enrolamentos de uma bobina é algumas vezes chamada de autocapacitância, mas este é um fenômeno diferente. Na verdade, é a capacitância mútua entre as voltas individuais da bobina e é uma forma de dispersão ou capacitância parasita . Esta autocapacitância é uma consideração importante em altas frequências: ela muda a impedância da bobina e dá origem à ressonância paralela . Em muitas aplicações, este é um efeito indesejável e define um limite superior de frequência para a operação correta do circuito.

Capacitância mútua

Uma forma comum é um capacitor de placa paralela , que consiste em duas placas condutoras isoladas uma da outra, geralmente imprensando um material dielétrico . Em um capacitor de placas paralelas, a capacitância é quase proporcional à área de superfície das placas condutoras e inversamente proporcional à distância de separação entre as placas.

Se as cargas nas placas são + q e - q , e V dá a tensão entre as placas, então a capacitância C é dada por

o que dá a tensão / corrente relacionamento

Onde d v ( t )/d t é a taxa instantânea de mudança de voltagem.

A energia armazenada em um capacitor é encontrada integrando o trabalho W :

Matriz de capacitância

A discussão acima é limitada ao caso de duas placas condutoras, embora de tamanho e forma arbitrários. A definição não se aplica quando há mais de duas placas carregadas ou quando a carga líquida nas duas placas é diferente de zero. Para lidar com esse caso, Maxwell apresentou seus coeficientes de potencial . Se três condutores (quase ideais) recebem cargas , a tensão no condutor 1 é dada por

e da mesma forma para as outras tensões. Hermann von Helmholtz e Sir William Thomson mostraram que os coeficientes de potencial são simétricos, de modo que , etc. Assim, o sistema pode ser descrito por uma coleção de coeficientes conhecida como matriz de elastância ou matriz de capacitância recíproca , que é definida como:

A partir disso, a capacitância mútua entre dois objetos pode ser definida resolvendo para a carga total Q e usando .

Visto que nenhum dispositivo real mantém cargas perfeitamente iguais e opostas em cada uma das duas "placas", é a capacitância mútua que é relatada nos capacitores.

A coleção de coeficientes é conhecida como matriz de capacitância e é o inverso da matriz de elastância.

Capacitores

A capacitância da maioria dos capacitores usados ​​em circuitos eletrônicos é geralmente várias ordens de magnitude menor que o farad . As subunidades de capacitância mais comuns em uso hoje são o microfarad (µF), o nanofarad (nF), o picofarad (pF) e, em microcircuitos, o femtofarad (fF). No entanto, supercapacitores feitos especialmente podem ser muito maiores (até centenas de farads), e os elementos capacitivos parasitas podem ser menores do que um femtofarad. No passado, subunidades alternativas eram usadas em antigos textos históricos; "mf" e "mfd" para microfarad (µF); "mmf", "mmfd", "pfd", "µµF" para picofarad (pF); mas agora são considerados obsoletos.

A capacitância pode ser calculada se a geometria dos condutores e as propriedades dielétricas do isolador entre os condutores forem conhecidas. Uma explicação qualitativa para isso pode ser dada como segue.
Uma vez que uma carga positiva é colocada em um condutor, essa carga cria um campo elétrico, repelindo qualquer outra carga positiva a ser movida para o condutor; ou seja, aumentando a tensão necessária. Mas se nas proximidades houver outro condutor com carga negativa, o campo elétrico do condutor positivo que repele a segunda carga positiva é enfraquecido (a segunda carga positiva também sente a força de atração da carga negativa). Portanto, devido ao segundo condutor com uma carga negativa, torna-se mais fácil colocar uma carga positiva no primeiro condutor já carregado positivamente e vice-versa; ou seja, a voltagem necessária é reduzida.
Como um exemplo quantitativo, considere a capacitância de um capacitor construído com duas placas paralelas, ambas de área A, separadas por uma distância d . Se d é suficientemente pequeno em relação ao menor acorde de A , isso se mantém, com um alto nível de precisão:

Onde

C é a capacitância, em farads;
A é a área de sobreposição das duas placas, em metros quadrados;
ε 0 é a constante elétrica ( ε 0  ≈8,854 × 10 −12  F⋅m −1 ); e
d é a separação entre as placas, em metros;

A capacitância é proporcional à área de sobreposição e inversamente proporcional à separação entre as folhas condutoras. Quanto mais próximas as folhas estiverem umas das outras, maior será a capacitância. A equação é uma boa aproximação se d for pequeno em comparação com as outras dimensões das placas, de modo que o campo elétrico na área do capacitor seja uniforme e o chamado campo de franja ao redor da periferia forneça apenas uma pequena contribuição para a capacitância.

Combinando a equação para capacitância com a equação acima para a energia armazenada em uma capacitância, para um capacitor de placa plana a energia armazenada é:

onde W é a energia, em joules; C é a capacitância, em farads; e V é a voltagem, em volts.

Capacitância parasita

Quaisquer dois condutores adjacentes podem funcionar como um capacitor, embora a capacitância seja pequena, a menos que os condutores estejam próximos por longas distâncias ou em uma grande área. Esta capacitância (frequentemente indesejada) é chamada de capacitância parasita ou "parasita". A capacitância parasita pode permitir que os sinais vazem entre circuitos isolados (um efeito chamado crosstalk ) e pode ser um fator limitante para o funcionamento adequado dos circuitos em alta frequência .

A capacitância parasita entre a entrada e a saída nos circuitos do amplificador pode ser problemática porque pode formar um caminho para o feedback , o que pode causar instabilidade e oscilação parasita no amplificador. Freqüentemente, é conveniente para fins analíticos substituir essa capacitância por uma combinação de uma capacitância de entrada para terra e uma capacitância de saída para terra; a configuração original - incluindo a capacitância de entrada para saída - costuma ser chamada de configuração pi. O teorema de Miller pode ser usado para efetuar esta substituição: ele afirma que, se a razão de ganho de dois nós é 1 / K , então uma impedância de Z conectando os dois nós pode ser substituída por uma impedância Z / (1 -  K ) entre os primeiro nó e terra e uma  impedância KZ / ( K - 1) entre o segundo nó e terra. Visto que a impedância varia inversamente com a capacitância, a capacitância do internodo, C , é substituída por uma capacitância de KC da entrada para o terra e uma capacitância de ( K  - 1) C / K da saída para o terra. Quando o ganho de entrada para saída é muito grande, a impedância de entrada para terra equivalente é muito pequena, enquanto a impedância de saída para terra é essencialmente igual à impedância original (entrada para saída).

Capacitância de condutores com formas simples

Calcular a capacitância de um sistema equivale a resolver a equação de Laplace 2 φ = 0 com um potencial constante φ na superfície bidimensional dos condutores embutidos no espaço tridimensional. Isso é simplificado por simetrias. Não há solução em termos de funções elementares em casos mais complicados.

Para situações planas, funções analíticas podem ser usadas para mapear geometrias diferentes entre si. Veja também mapeamento Schwarz – Christoffel .

Capacitância de sistemas simples
Modelo Capacitância Comente
Capacitor de placa paralela Placa CapacitorII.svg

ε : Permissividade

Cilindros concêntricos Capacitor CilíndricoII.svg

ε : Permissividade

Par de fios paralelos Capacitância de fio paralelo.svg
Fio paralelo à parede a : Raio do fio
d : Distância, d> a
: Comprimento do fio
Duas
tiras coplanares paralelas
d : Distância
w 1 , w 2 : Largura da faixa
k m : d / (2w m + d)

k 2 : k 1 k 2
K : Integral elíptica completa de primeiro tipo
: Comprimento

Esferas concêntricas Esférico Capacitor.svg

ε : Permissividade

Duas esferas,
raio igual


a : Raio
d : Distância, d > 2 a
D = d / 2 a , D > 1
γ : constante de Euler
Esfera na frente da parede : Raio : Distância,

Esfera : Raio
Disco circular : Raio
Arame reto fino,
comprimento finito
: Raio do fio : Comprimento

Armazenamento de energia

A energia (medida em joules ) armazenada em um capacitor é igual ao trabalho necessário para empurrar as cargas para o capacitor, ou seja, para carregá-lo. Considere um capacitor de capacitância C , contendo uma carga + q em uma placa e - q na outra. Mover um pequeno elemento de carga d q de uma placa para a outra contra a diferença de potencial V = q / C requer o trabalho d W :

onde W é o trabalho medido em joules, q é a carga medida em coulombs e C é a capacitância, medida em farads.

A energia armazenada em um capacitor é encontrada integrando esta equação. Começar com uma capacitância descarregada ( q = 0 ) e mover a carga de uma placa para a outra até que as placas tenham carga + Q e - Q requer o trabalho W :

Sistemas em nanoescala

A capacitância de capacitores dielétricos em nanoescala, como pontos quânticos, pode diferir das formulações convencionais de capacitores maiores. Em particular, a diferença de potencial eletrostático experimentada pelos elétrons em capacitores convencionais é espacialmente bem definida e fixada pela forma e tamanho dos eletrodos metálicos, além do número estatisticamente grande de elétrons presentes nos capacitores convencionais. Em capacitores em nanoescala, no entanto, os potenciais eletrostáticos experimentados pelos elétrons são determinados pelo número e localização de todos os elétrons que contribuem para as propriedades eletrônicas do dispositivo. Em tais dispositivos, o número de elétrons pode ser muito pequeno, de modo que a distribuição espacial resultante das superfícies equipotenciais dentro do dispositivo são extremamente complexas.

Dispositivos de elétron único

A capacitância de um dispositivo de elétron único conectado ou "fechado" é duas vezes a capacitância de um dispositivo de elétron único não conectado ou "aberto". Este fato pode ser rastreado mais fundamentalmente à energia armazenada no dispositivo de elétron único, cuja energia de interação de "polarização direta" pode ser igualmente dividida na interação do elétron com a carga polarizada no próprio dispositivo devido à presença do elétron e a quantidade de energia potencial necessária para formar a carga polarizada no dispositivo (a interação de cargas no material dielétrico do dispositivo com o potencial devido ao elétron).

Dispositivos de poucos elétrons

A derivação de uma "capacitância quântica" de um dispositivo de poucos elétrons envolve o potencial químico termodinâmico de um sistema de N- partículas dado por

cujos termos de energia podem ser obtidos como soluções da equação de Schrödinger. A definição de capacitância,

,

com a diferença de potencial

pode ser aplicado ao dispositivo com a adição ou remoção de elétrons individuais,

e .

Então

é a "capacitância quântica" do dispositivo.

Esta expressão de "capacitância quântica" pode ser escrita como

que difere da expressão convencional descrita na introdução , onde , a energia potencial eletrostática armazenada,

por um fator de 1/2 com .

No entanto, no âmbito das interações eletrostáticas puramente clássicas, o aparecimento do fator de 1/2 é o resultado da integração na formulação convencional,

o que é apropriado, pois para sistemas envolvendo muitos elétrons ou eletrodos metálicos, mas em sistemas com poucos elétrons ,. A integral geralmente se torna um somatório. Pode-se combinar trivialmente as expressões de capacitância e energia de interação eletrostática,

e ,

respectivamente, para obter,

que é semelhante à capacitância quântica. Uma derivação mais rigorosa é relatada na literatura. Em particular, para contornar os desafios matemáticos das superfícies equipotenciais espacialmente complexas dentro do dispositivo, um potencial eletrostático médio experimentado por cada elétron é utilizado na derivação.

Diferenças matemáticas aparentes são entendidas mais fundamentalmente porque a energia potencial,, de um dispositivo isolado (autocapacitância) é o dobro daquela armazenada em um dispositivo "conectado" no limite inferior N = 1. À medida que N cresce ,. Assim, a expressão geral de capacitância é

.

Em dispositivos em nanoescala, como pontos quânticos, o "capacitor" costuma ser um componente isolado, ou parcialmente isolado, dentro do dispositivo. As principais diferenças entre os capacitores em nanoescala e os capacitores macroscópicos (convencionais) são o número de elétrons em excesso (portadores de carga, ou elétrons, que contribuem para o comportamento eletrônico do dispositivo) e a forma e o tamanho dos eletrodos metálicos. Em dispositivos em nanoescala, nanofios consistindo de átomos de metal normalmente não exibem as mesmas propriedades condutivas que suas contrapartes macroscópicas ou de material a granel.

Capacitância em dispositivos eletrônicos e semicondutores

Em dispositivos eletrônicos e semicondutores, a corrente transiente ou dependente da frequência entre os terminais contém componentes de condução e deslocamento. A corrente de condução está relacionada aos portadores de carga em movimento (elétrons, buracos, íons, etc.), enquanto a corrente de deslocamento é causada por um campo elétrico variável no tempo. O transporte do portador é afetado por campos elétricos e por uma série de fenômenos físicos - como deriva e difusão do portador, aprisionamento, injeção, efeitos relacionados ao contato, ionização por impacto, etc. Como resultado, a admitância do dispositivo depende da frequência e é simples a fórmula eletrostática para capacitância não é aplicável. Uma definição mais geral de capacitância, abrangendo a fórmula eletrostática, é:

onde está a admitância do dispositivo e é a frequência angular.

Em geral, a capacitância é uma função da frequência. Em altas frequências, a capacitância se aproxima de um valor constante, igual à capacitância "geométrica", determinado pela geometria dos terminais e conteúdo dielétrico no dispositivo. Um artigo de Steven Laux apresenta uma revisão de técnicas numéricas para cálculo de capacitância. Em particular, a capacitância pode ser calculada por uma transformada de Fourier de uma corrente transitória em resposta a uma excitação de tensão semelhante a uma etapa:

Capacitância negativa em dispositivos semicondutores

Normalmente, a capacitância em dispositivos semicondutores é positiva. No entanto, em alguns dispositivos e sob certas condições (temperatura, tensões aplicadas, frequência, etc.), a capacitância pode se tornar negativa. O comportamento não monotônico da corrente transiente em resposta a uma excitação em degrau foi proposto como o mecanismo de capacitância negativa. A capacitância negativa foi demonstrada e explorada em muitos tipos diferentes de dispositivos semicondutores.

Medindo capacitância

Um medidor de capacitância é um equipamento de teste eletrônico usado para medir capacitância, principalmente de capacitores discretos . Para a maioria das finalidades e na maioria dos casos, o capacitor deve ser desconectado do circuito .

Muitos DVMs ( voltímetros digitais ) têm uma função de medição de capacitância. Estes geralmente operam carregando e descarregando o capacitor sob teste com uma corrente conhecida e medindo a taxa de aumento da tensão resultante ; quanto mais lenta a taxa de aumento, maior será a capacitância. DVMs geralmente podem medir a capacitância de nanofarads a algumas centenas de microfarads, mas intervalos maiores não são incomuns. Também é possível medir a capacitância passando uma corrente alternada de alta frequência conhecida pelo dispositivo em teste e medindo a tensão resultante nele (não funciona para capacitores polarizados).

Uma ponte de capacitância Andeen-Hagerling 2700A

Instrumentos mais sofisticados usam outras técnicas, como inserir o capacitor sob teste em um circuito de ponte . Variando os valores das outras pernas da ponte (de modo a equilibrar a ponte), o valor do capacitor desconhecido é determinado. Este método de uso indireto de medição de capacitância garante maior precisão. Por meio do uso de conexões Kelvin e outras técnicas de design cuidadosas, esses instrumentos geralmente podem medir capacitores em uma faixa de picofarads a farads.

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Eletricidade e magnetismo, Luz (4ª ed.). WH Freeman. ISBN  1-57259-492-6
  • Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6ª ed.). Brooks Cole. ISBN  0-534-40842-7
  • Saslow, Wayne M. (2002). Eletricidade, magnetismo e luz . Thomson Learning. ISBN  0-12-619455-6 . Consulte o Capítulo 8 e, especialmente, as páginas 255–259 para obter os coeficientes de potencial.