Número cardinal - Cardinal number

Uma função bijetiva , f : X → Y , do conjunto X ao conjunto Y demonstra que os conjuntos possuem a mesma cardinalidade, neste caso igual ao número cardinal 4.

Aleph null , o menor cardeal infinito

Em matemática , os números cardinais , ou simplesmente cardinais , são uma generalização dos números naturais usados ​​para medir a cardinalidade (tamanho) dos conjuntos . A cardinalidade de um conjunto finito é um número natural: o número de elementos no conjunto. Os números cardinais transfinitos , freqüentemente denotados pelo símbolo hebraico ( aleph ) seguido por um subscrito, descrevem os tamanhos de conjuntos infinitos . ${\ displaystyle \ aleph}$

A cardinalidade é definida em termos de funções bijetivas . Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se, e somente se , houver uma correspondência um-a-um (bijeção) entre os elementos dos dois conjuntos. No caso de conjuntos finitos, isso está de acordo com a noção intuitiva de tamanho. No caso de conjuntos infinitos, o comportamento é mais complexo. Um teorema fundamental devido a Georg Cantor mostra que é possível que conjuntos infinitos tenham cardinalidades diferentes e, em particular, a cardinalidade do conjunto de números reais é maior do que a cardinalidade do conjunto de números naturais . Também é possível que um subconjunto adequado de um conjunto infinito tenha a mesma cardinalidade do conjunto original - algo que não pode acontecer com subconjuntos adequados de conjuntos finitos.

Existe uma sequência transfinida de números cardinais:

${\ displaystyle 0,1,2,3, \ ldots, n, \ ldots; \ aleph _ {0}, \ aleph _ {1}, \ aleph _ {2}, \ ldots, \ aleph _ {\ alpha} , \ ldots. \}$

Esta sequência começa com os números naturais incluindo zero (cardinais finitos), que são seguidos pelos números aleph (cardinais infinitos de conjuntos bem ordenados ). Os números aleph são indexados por números ordinais . Sob a suposição do axioma da escolha , essa sequência transfinita inclui todos os números cardinais. Se alguém rejeitar esse axioma, a situação é mais complicada, com cardeais infinitos adicionais que não são alephs.

A cardinalidade é estudada por si mesma como parte da teoria dos conjuntos . É também uma ferramenta usada em ramos da matemática, incluindo teoria de modelos , combinatória , álgebra abstrata e análise matemática . Na teoria das categorias , os números cardinais formam um esqueleto da categoria dos conjuntos .

História

A noção de cardinalidade, como agora entendida, foi formulada por Georg Cantor , o criador da teoria dos conjuntos , em 1874-1884. A cardinalidade pode ser usada para comparar um aspecto de conjuntos finitos. Por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {4,5,6} não são iguais , mas têm a mesma cardinalidade , ou seja, três. Isso é estabelecido pela existência de uma bijeção (ou seja, uma correspondência um-a-um) entre os dois conjuntos, como a correspondência {1 → 4, 2 → 5, 3 → 6}.

Cantor aplicou seu conceito de bijeção a conjuntos infinitos (por exemplo, o conjunto de números naturais N = {0, 1, 2, 3, ...}). Assim, ele chamou todos os conjuntos tendo uma bijeção com N conjuntos numeráveis ​​(infinitos contáveis) , que compartilham o mesmo número cardinal. Este número cardinal é chamado , aleph-nulo . Ele chamou os números cardinais dos conjuntos infinitos de números cardinais transfinitos . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Cantor provou que qualquer subconjunto ilimitado de N tem a mesma cardinalidade de N , embora isso possa parecer contrário à intuição. Ele também provou que o conjunto de todos os pares ordenados de números naturais é enumerável; isso implica que o conjunto de todos os números racionais também é enumerável, uma vez que todo racional pode ser representado por um par de inteiros. Mais tarde, ele provou que o conjunto de todos os números algébricos reais também é enumerável. Cada número algébrico real z pode ser codificado como uma sequência finita de inteiros, que são os coeficientes na equação polinomial da qual é uma solução, ou seja, a n-tupla ordenada ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ) , a _i ∈ Z junto com um par de racionais ( b ₀ , b ₁ ) tal que z é a única raiz do polinômio com coeficientes ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ) que se encontra no intervalo ( b ₀ , b ₁ ).

Em seu artigo 1874 " em uma propriedade da coleção de números Tudo real algébricas ", Cantor provou que não existem números cardinais de ordem superior, mostrando que o conjunto dos números reais tem maior cardinalidade do que a de N . Sua prova usou um argumento com intervalos aninhados , mas em um artigo de 1891, ele provou o mesmo resultado usando seu argumento diagonal engenhoso, mas mais simples . O novo número cardinal do conjunto de números reais é chamado de cardinalidade do continuum e Cantor usou o símbolo para isso. ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$

Cantor também desenvolveu uma grande parte da teoria geral dos números cardinais; ele provou que existe um menor número cardinal transfinito ( , aleph-nulo), e que para cada número cardinal há um cardinal próximo maior ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

${\ displaystyle (\ aleph _ {1}, \ aleph _ {2}, \ aleph _ {3}, \ ldots).}$

Sua hipótese do continuum é a proposição de que a cardinalidade do conjunto de números reais é a mesma que . Descobriu-se que essa hipótese é independente dos axiomas padrão da teoria matemática dos conjuntos; não pode ser provado nem refutado das suposições padrão. ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Motivação

No uso informal, um número cardinal é o que normalmente é referido como um número de contagem , desde que 0 seja incluído: 0, 1, 2, .... Eles podem ser identificados com os números naturais começando com 0. Os números de contagem são exatamente o que pode ser definido formalmente como os números cardinais finitos . Cardinais infinitos ocorrem apenas em matemática e lógica de nível superior .

Mais formalmente, um número diferente de zero pode ser usado para dois propósitos: para descrever o tamanho de um conjunto ou para descrever a posição de um elemento em uma sequência. Para conjuntos e sequências finitas, é fácil ver que essas duas noções coincidem, pois para cada número que descreve uma posição em uma sequência, podemos construir um conjunto que tem exatamente o tamanho certo. Por exemplo, 3 descreve a posição de 'c' na sequência <'a', 'b', 'c', 'd', ...>, e podemos construir o conjunto {a, b, c}, que tem 3 elementos.

No entanto, ao lidar com conjuntos infinitos , é essencial distinguir entre os dois, uma vez que as duas noções são de fato diferentes para conjuntos infinitos. Considerando o aspecto da posição leva aos números ordinais , enquanto o aspecto do tamanho é generalizado pelos números cardinais descritos aqui.

A intuição por trás da definição formal de cardinal é a construção de uma noção do tamanho relativo ou "grandeza" de um conjunto, sem referência ao tipo de membros que possui. Para conjuntos finitos, isso é fácil; simplesmente se conta o número de elementos que um conjunto possui. Para comparar os tamanhos de conjuntos maiores, é necessário apelar para noções mais refinadas.

Um conjunto Y é pelo menos tão grande como um conjunto X , se houver um injetivo mapeamento dos elementos de X para os elementos de Y . Um mapeamento identifica injetivas cada elemento do conjunto de X com um único elemento do conjunto de Y . Isso é mais facilmente compreendido por um exemplo; suponha que temos os conjuntos X = {1,2,3} e Y = {a, b, c, d}, então usando esta noção de tamanho, observaríamos que há um mapeamento:

1 → a

2 → b

3 → c

que é injetivo, e, portanto, concluir que Y tem maior cardinalidade do que ou igual a X . O elemento d não tem mapeamento de elemento para ele, mas isso é permitido porque exigimos apenas um mapeamento injetivo, e não necessariamente um injetivo e no mapeamento. A vantagem dessa noção é que ela pode ser estendida a conjuntos infinitos.

Podemos então estender isso para uma relação de estilo de igualdade. Dois conjuntos X e Y são referidos como tendo a mesma cardinalidade se existe uma bijeç~ao entre X e Y . Pelo teorema Schroeder-Bernstein , isto é equivalente a não ser tanto um mapeamento injetivo de X para Y , e um mapeamento injetivo de Y para X . Em seguida, escrevemos | X | = | Y |. O número cardinal de X em si é muitas vezes definido como o mínimo ordinal um com | a | = | X |. Isso é chamado de atribuição cardeal de von Neumann ; para que essa definição faça sentido, deve-se provar que todo conjunto tem a mesma cardinalidade que algum ordinal; esta afirmação é o princípio de boa ordem . No entanto, é possível discutir a cardinalidade relativa dos conjuntos sem atribuir nomes explicitamente aos objetos.

O exemplo clássico usado é o do paradoxo do hotel infinito, também chamado de paradoxo de Hilbert do Grand Hotel . Suponha que haja um estalajadeiro em um hotel com um número infinito de quartos. O hotel está cheio e, em seguida, chega um novo hóspede. É possível acomodar o hóspede extra pedindo ao hóspede que estava no quarto 1 para passar para o quarto 2, ao hóspede do quarto 2 para passar para o quarto 3, e assim por diante, deixando o quarto 1 vago. Podemos escrever explicitamente um segmento deste mapeamento:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

n → n + 1

...

Com esta atribuição, podemos ver que o conjunto {1,2,3, ...} tem a mesma cardinalidade que o conjunto {2,3,4, ...}, uma vez que uma bijeção entre o primeiro e o segundo tem foi mostrado. Isso motiva a definição de um conjunto infinito sendo qualquer conjunto que tenha um subconjunto próprio da mesma cardinalidade (isto é, um conjunto infinito Dedekind ); neste caso {2,3,4, ...} é um subconjunto adequado de {1,2,3, ...}.

Ao considerar esses objetos grandes, pode-se também querer ver se a noção de ordem de contagem coincide com a de cardinal definida acima para esses conjuntos infinitos. Acontece que não; considerando o exemplo acima, podemos ver que se algum objeto "um maior que o infinito" existe, então ele deve ter a mesma cardinalidade que o conjunto infinito com o qual começamos. É possível usar uma noção formal diferente para o número, chamados ordinais , com base nas idéias de contar e considerar cada número por sua vez, e descobrimos que as noções de cardinalidade e ordinalidade são divergentes quando saímos dos números finitos.

Pode-se provar que a cardinalidade dos números reais é maior do que a dos números naturais que acabamos de descrever. Isso pode ser visualizado usando o argumento diagonal de Cantor ; As questões clássicas de cardinalidade (por exemplo, a hipótese do continuum ) preocupam-se em descobrir se existe algum cardinal entre algum par de outros cardeais infinitos. Em tempos mais recentes, os matemáticos têm descrito as propriedades de cardeais cada vez maiores.

Visto que cardinalidade é um conceito tão comum em matemática, vários nomes estão em uso. Mesmice de cardinalidade é por vezes referido como equipotence , equipolência , ou equipotência . Diz-se, portanto, que dois conjuntos com a mesma cardinalidade são, respectivamente, equipotentes , equipolentes ou equinumeros .

Definição formal

Formalmente, assumindo o axioma de escolha , a cardinalidade de um conjunto X é o menor número ordinal α tal que existe uma bijeção entre X e α. Essa definição é conhecida como atribuição cardeal de von Neumann . Se o axioma da escolha não for assumido, será necessária uma abordagem diferente. A definição mais antiga da cardinalidade de um conjunto X (implícito na Cantor e explícita em Frege e Principia Mathematica ) é como a classe [ X ] de todos os conjuntos que são equinumerous com X . Isso não funciona no ZFC ou em outros sistemas relacionados da teoria dos conjuntos axiomáticos porque se X não estiver vazio, essa coleção é muito grande para ser um conjunto. De fato, para X ≠ ∅ há uma injeção do universo em [ X ] mapeando um conjunto m para { m } × X e, portanto, pelo axioma da limitação de tamanho , [ X ] é uma classe adequada. A definição funciona, no entanto, na teoria dos tipos e em Novos fundamentos e sistemas relacionados. No entanto, se restringirmos a partir desta classe aqueles equinumeros com X que têm a classificação mínima , então funcionará (este é um truque devido a Dana Scott : funciona porque a coleção de objetos com qualquer classificação dada é um conjunto).

Formalmente, a ordem entre os números cardinais é definida da seguinte forma: | X | ≤ | Y | significa que existe um injetivo função de X para Y . O teorema de Cantor – Bernstein – Schroeder afirma que se | X | ≤ | Y | e | Y | ≤ | X | então | X | = | Y |. O axioma de escolha é equivalente à afirmação de que, dados dois conjuntos X e Y , | X | ≤ | Y | ou | Y | ≤ | X |.

Um conjunto X é Dedekind infinito se existir um subconjunto apropriado Y de X com | X | = | Y | e Dedekind-finito se tal subconjunto não existir. Os cardinais finitos são apenas os números naturais , no sentido de que um conjunto X é finito se e somente se | X | = | n | = n para algum número natural n . Qualquer outro conjunto é infinito .

Assumindo o axioma da escolha, pode-se provar que as noções de Dedekind correspondem às convencionais. Também pode ser provado que o cardinal ( aleph null ou aleph-0, onde aleph é a primeira letra do alfabeto hebraico , representada ) do conjunto de números naturais é o menor cardinal infinito (ou seja, qualquer conjunto infinito tem um subconjunto de cardinalidade ). O próximo cardeal maior é denotado por e assim por diante. Para cada ordinal α, existe um número cardinal e esta lista esgota todos os números cardinais infinitos. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha},}$

Aritmética cardinal

Podemos definir operações aritméticas em números cardinais que generalizam as operações ordinárias para números naturais. Pode-se mostrar que, para cardeais finitos, essas operações coincidem com as operações usuais para números naturais. Além disso, essas operações compartilham muitas propriedades com a aritmética comum.

Cardeal sucessor

Se o axioma de escolha for válido, então cada cardinal κ tem um sucessor, denotado κ ⁺ , onde κ ⁺ > κ e não há cardeais entre κ e seu sucessor. (Sem o axioma de escolha, usando o teorema de Hartogs , pode ser mostrado que para qualquer número cardinal κ, há um cardinal mínimo κ ⁺ tal que ) Para cardinais finitos, o sucessor é simplesmente κ + 1. Para cardinais infinitos, o sucessor cardinal difere do sucessor ordinal . ${\ displaystyle \ kappa ^ {+} \ nleq \ kappa.}$

Adição cardinal

Se X e Y são disjuntos , a adição é dada pela união de X e Y . Se os dois conjuntos ainda não forem disjuntos, eles podem ser substituídos por conjuntos disjuntos da mesma cardinalidade (por exemplo, substitua X por X × {0} e Y por Y × {1}).

${\ displaystyle | X | + | Y | = | X \ xícara Y |.}$

Zero é uma identidade aditiva κ + 0 = 0 + κ = κ .

A adição é associativa ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ).

A adição é comutativa κ + μ = μ + κ .

A adição não é decrescente em ambos os argumentos:

${\ displaystyle (\ kappa \ leq \ mu) \ rightarrow ((\ kappa + \ nu \ leq \ mu + \ nu) {\ mbox {e}} (\ nu + \ kappa \ leq \ nu + \ mu)) .}$

Assumindo o axioma da escolha, a adição de números cardinais infinitos é fácil. Se κ ou μ for infinito, então

${\ displaystyle \ kappa + \ mu = \ max \ {\ kappa, \ mu \} \ ,.}$

Subtração

Assumindo o axioma de escolha e, dado um cardinal infinito σ e um cardinal μ , existe um cardinal κ tal que μ + κ = σ se e somente se μ ≤ σ . Será único (e igual a σ ) se e somente se μ < σ .

Multiplicação cardinal

O produto dos cardeais vem do produto cartesiano .

${\ displaystyle | X | \ cdot | Y | = | X \ vezes Y |}$

κ · 0 = 0 · κ = 0.

κ · μ = 0 → ( κ = 0 ou μ = 0).

Um é uma identidade multiplicativa κ · 1 = 1 · κ = κ .

A multiplicação é associativa ( κ · μ ) · ν = κ · ( μ · ν ).

A multiplicação é comutativa κ · μ = μ · κ .

A multiplicação não é decrescente em ambos os argumentos: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · ν e ν · κ ≤ ν · μ ).

A multiplicação é distribuída sobre a adição: κ · ( μ + ν ) = κ · μ + κ · ν e ( μ + ν ) · κ = μ · κ + ν · κ .

Assumindo o axioma da escolha, a multiplicação de números cardinais infinitos também é fácil. Se κ ou μ for infinito e ambos forem diferentes de zero, então

${\ displaystyle \ kappa \ cdot \ mu = \ max \ {\ kappa, \ mu \}.}$

Divisão

Assumindo o axioma de escolha e, dado um cardinal infinito π e um cardinal diferente de zero μ , existe um cardinal κ tal que μ · κ = π se e somente se μ ≤ π . Será único (e igual a π ) se e somente se μ < π .

Exponenciação cardinal

A exponenciação é dada por

${\ displaystyle | X | ^ {| Y |} = \ left | X ^ {Y} \ right |,}$

onde X ^Y é o conjunto de todas as funções de Y para X .

κ ⁰ = 1 (em particular 0 ⁰ = 1), veja a função vazia .

Se 1 ≤ μ , então 0 ^μ = 0.

1 ^μ = 1.

κ ¹ = κ .

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν .

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν .

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν .

A exponenciação não é decrescente em ambos os argumentos:

(1 ≤ ν e κ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) e

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν ).

2 ^{| X |} é a cardinalidade do conjunto de potências do conjunto X e o argumento diagonal de Cantor mostra que 2 ^{| X |} > | X | para qualquer conjunto X . Isso prova que não existe cardinal maior (porque para qualquer cardinal κ , sempre podemos encontrar um cardinal maior 2 ^κ ). Na verdade, a classe de cardeais é uma classe adequada . (Esta prova falha em algumas teorias de conjuntos, notavelmente em Novos Fundamentos .)

Todas as proposições restantes nesta seção assumem o axioma da escolha:

Se κ e μ são finitos e maiores que 1, e ν é infinito, então κ ^ν = μ ^ν .

Se κ for infinito e μ for finito e diferente de zero, então κ ^μ = κ .

Se 2 ≤ κ e 1 ≤ μ e pelo menos um deles for infinito, então:

Máx. ( Κ , 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ Máx. (2 ^κ , 2 ^μ ).

Usando o teorema de König , pode-se provar κ < κ ^{cf ( κ )} e κ <cf (2 ^κ ) para qualquer cardinal infinito κ , onde cf ( κ ) é a cofinalidade de κ .

Raízes

Assumindo o axioma de escolha e, dado um cardinal infinito κ e um cardinal finito μ maior que 0, o ν cardinal será satisfatório . ${\ displaystyle \ nu ^ {\ mu} = \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$

Logaritmos

Assumindo o axioma de escolha e, dado um cardinal infinito κ e um cardinal finito μ maior que 1, pode haver ou não um λ cardinal satisfatório . Entretanto, se tal cardinal existe, ele é infinito e menor que κ , e qualquer cardinalidade finita ν maior que 1 também será satisfeita . ${\ displaystyle \ mu ^ {\ lambda} = \ kappa}$${\ displaystyle \ nu ^ {\ lambda} = \ kappa}$

O logaritmo de um número cardinal infinito κ é definido como o menor número cardinal μ tal que κ ≤ 2 ^μ . Logaritmos de cardinais infinitos são úteis em alguns campos da matemática, por exemplo, no estudo de invariantes cardinais de espaços topológicos , embora faltem algumas das propriedades que os logaritmos de números reais positivos possuem.

A hipótese do continuum

A hipótese do contínuo (CH) afirma que não há cardeais estritamente entre e O último número cardinal também é freqüentemente denotado por ; é a cardinalidade do continuum (o conjunto de números reais ). Neste caso A hipótese do continuum generalizada (GCH) afirma que para cada infinito conjunto X , não há cardeais estritamente entre | X  | e 2 ^{| X  |} . A hipótese do contínuo é independente dos axiomas usuais da teoria dos conjuntos, os axiomas de Zermelo – Fraenkel juntamente com o axioma de escolha ( ZFC ). ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}.}$

Veja também

Referências

Notas

Bibliografia

• Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
• Hahn, Hans , Infinity , Parte IX, Capítulo 2, Volume 3 de The World of Mathematics . Nova York: Simon and Schuster, 1956.
• Halmos, Paul , teoria dos conjuntos ingênua . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpresso por Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edição Springer-Verlag).

links externos

• "Cardinal number" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]