Teorema de Carnot (termodinâmica) - Carnot's theorem (thermodynamics)

O teorema de Carnot , desenvolvido em 1824 por Nicolas Léonard Sadi Carnot , também chamado de regra de Carnot , é um princípio que especifica limites para a eficiência máxima que qualquer máquina térmica pode obter. A eficiência de um motor Carnot depende exclusivamente das temperaturas dos reservatórios quentes e frios.

O teorema de Carnot afirma que todos os motores térmicos entre dois reservatórios de calor são menos eficientes do que um motor térmico de Carnot operando entre os mesmos reservatórios. Cada motor térmico Carnot entre um par de reservatórios de calor é igualmente eficiente, independentemente da substância de trabalho empregada ou dos detalhes de operação.

A eficiência máxima é a razão da diferença de temperatura entre os reservatórios e a temperatura do reservatório quente, expressa na equação , onde T C e T H são as temperaturas absolutas dos reservatórios frio e quente, respectivamente, e a eficiência é a relação entre o trabalho realizado pelo motor e o calor retirado do reservatório quente.

O teorema de Carnot é uma consequência da segunda lei da termodinâmica . Historicamente, baseou-se na teoria calórica contemporânea e precedeu o estabelecimento da segunda lei.

Prova

Uma situação impossível: uma máquina térmica não pode acionar uma máquina térmica menos eficiente (reversível) sem violar a segunda lei da termodinâmica.

A prova do teorema de Carnot é uma prova por contradição , ou reductio ad absurdum , conforme ilustrado pela figura que mostra dois motores térmicos operando entre dois reservatórios de temperatura diferente. A máquina térmica com maior eficiência ( ) está acionando uma máquina térmica com menor eficiência ( ), fazendo com que esta atue como uma bomba de calor . Este par de motores não recebe energia externa e opera somente com a energia liberada quando o calor é transferido do reservatório quente para o frio. No entanto, se , então, o fluxo de calor líquido seria para trás, ou seja, para o reservatório quente:

É geralmente aceito que isso é impossível porque viola a segunda lei da termodinâmica .

Começamos verificando os valores de trabalho e fluxo de calor representados na figura. Primeiramente, devemos apontar uma importante ressalva: o motor com menor rendimento ( ) está sendo acionado como bomba de calor, portanto deve ser um motor reversível . Se o motor menos eficiente ( ) não for reversível, então o dispositivo poderia ser construído, mas as expressões para trabalho e fluxo de calor mostradas na figura não seriam válidas.

Ao restringir nossa discussão a casos em que engine ( ) tem menos eficiência do que engine ( ), somos capazes de simplificar a notação adotando a convenção de que todos os símbolos e representam quantidades não negativas (uma vez que a direção do fluxo de energia nunca muda de sinal em todos casos em que ( ) Conservação da demanda de energia que, para cada motor, a energia que entra,. , deve ser igual à energia que sai, :

A figura também é consistente com a definição de eficiência como para ambos os motores:

Pode parecer estranho que uma bomba de calor hipotética com baixa eficiência esteja sendo usada para violar a segunda lei da termodinâmica, mas a figura de mérito para unidades de refrigeração não é a eficiência , mas o coeficiente de desempenho (COP), que é . Um motor térmico reversível com baixa eficiência termodinâmica fornece mais calor ao reservatório quente para uma determinada quantidade de trabalho quando está sendo acionado como uma bomba de calor.

Tendo estabelecido que os valores de fluxo de calor mostrados na figura estão corretos, o teorema de Carnot pode ser provado para motores térmicos irreversíveis e reversíveis.

Motores reversíveis

Para ver que cada motor reversível operando entre reservatórios e deve ter a mesma eficiência, suponha que dois motores térmicos reversíveis tenham valores diferentes de , e deixe o motor mais eficiente (M) acionar o motor menos eficiente (L) como uma bomba de calor. Como mostra a figura, isso fará com que o calor flua do reservatório frio para o quente sem qualquer trabalho ou energia externa, o que viola a segunda lei da termodinâmica. Portanto, ambos os motores térmicos (reversíveis) têm a mesma eficiência, e concluímos que:

Todos os motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios de calor têm a mesma eficiência.

Este é um resultado importante porque ajuda a estabelecer o teorema de Clausius , que implica que a mudança na entropia é única para todos os processos reversíveis:

em todos os caminhos (de a até b no espaço VT ). Se esta integral não fosse independente do caminho, então a entropia, S , perderia seu status como uma variável de estado .

Motores irreversíveis

Se um dos motores for irreversível, deve ser o motor (M), colocado de forma que acione a ré no motor menos eficiente, mas reversível (L). Mas se este motor irreversível é mais eficiente do que o motor reversível, (isto é, se ), então a segunda lei da termodinâmica é violada. E, uma vez que o ciclo de Carnot representa um motor reversível, temos a primeira parte do teorema de Carnot:

Nenhum motor irreversível é mais eficiente do que o motor Carnot operando entre os mesmos dois reservatórios.

Definição de temperatura termodinâmica

A eficiência do motor é o trabalho dividido pelo calor introduzido no sistema ou

 

 

 

 

( 1 )

onde w cy é o trabalho realizado por ciclo. Assim, a eficiência depende apenas q C / q H .

Uma vez que todos os motores reversíveis que operam entre os mesmos reservatórios de calor são igualmente eficazes, todos os motores de calor reversíveis que operam entre as temperaturas T 1 e T 2 deve ter a mesma eficiência, o que significa que a eficiência é uma função única das duas temperaturas:

 

 

 

 

( 2 )

Além disso, uma máquina térmica reversível operando entre as temperaturas T 1 e T 3 deve ter a mesma eficiência que uma que consiste em dois ciclos, um entre T 1 e outra temperatura (intermediária) T 2 , e a segunda entre T 2 e T 3 . Isso só pode ser o caso se

Especializando-se para o caso em que é uma temperatura de referência fixa: a temperatura do ponto triplo da água. Então para qualquer T 2 e T 3 ,

Portanto, se a temperatura termodinâmica é definida por

então a função vista como uma função da temperatura termodinâmica, é

e a temperatura de referência T 1 tem o valor de 273,16. (É claro que qualquer temperatura de referência e qualquer valor numérico positivo podem ser usados ​​- a escolha aqui corresponde à escala Kelvin .)

Segue-se imediatamente que

 

 

 

 

( 3 )

Substituir a Equação 3 de volta na Equação 1 fornece uma relação para a eficiência em termos de temperatura:

 

 

 

 

( 4 )

Aplicabilidade a células de combustível e baterias

Como as células de combustível e baterias podem gerar energia útil quando todos os componentes do sistema estão na mesma temperatura ( ), elas claramente não são limitadas pelo teorema de Carnot, que afirma que nenhuma energia pode ser gerada quando . Isso ocorre porque o teorema de Carnot se aplica a motores que convertem energia térmica em trabalho, enquanto células de combustível e baterias convertem energia química em trabalho. No entanto, a segunda lei da termodinâmica ainda fornece restrições sobre a conversão de energia da bateria e da célula de combustível.

Uma bateria de Carnot é um tipo de sistema de armazenamento de energia que armazena eletricidade no armazenamento de calor e converte o calor armazenado de volta em eletricidade por meio de ciclos termodinâmicos.

Referências