Expulsando noves - Casting out nines

Eliminar noves é qualquer um dos três procedimentos aritméticos:

• Adicionando os dígitos decimais de um número inteiro positivo , ignorando opcionalmente quaisquer 9s ou dígitos que somam um múltiplo de 9. O resultado deste procedimento é um número que é menor que o original sempre que o original tem mais de um dígito, deixa o mesmo resto que o original após a divisão por nove, e pode ser obtido do original subtraindo-se um múltiplo de 9 dele. O nome do procedimento deriva desta última propriedade.
• Aplicação repetida deste procedimento aos resultados obtidos em aplicações anteriores até que um número de um dígito seja obtido. Esse número de um único dígito é chamado de " raiz digital " do original. Se um número é divisível por 9, sua raiz digital é 9. Caso contrário, sua raiz digital é o resto que deixa depois de ser dividido por 9.
• Um teste de sanidade no qual os procedimentos mencionados acima são usados ​​para verificar se há erros em cálculos aritméticos. O teste é realizado aplicando-se às raízes digitais dos operandos a mesma sequência de operações aritméticas aplicada aos próprios operandos. Se nenhum erro for cometido nos cálculos, as raízes digitais das duas resultantes devem ser as mesmas. Se forem diferentes, portanto, um ou mais erros devem ter sido cometidos nos cálculos.

Soma de dígitos

Para "eliminar noves" de um único número, seus dígitos decimais podem ser simplesmente somados para obter a chamada soma de dígitos . A soma dos dígitos de 2946, por exemplo, é 2 + 9 + 4 + 6 = 21. Como 21 = 2946 - 325 × 9, o efeito de obter a soma dos dígitos de 2946 é "lançar fora" 325 lotes de 9 dela. Se o dígito 9 for ignorado ao somar os dígitos, o efeito é "lançar fora" mais um 9 para dar o resultado 12.

Mais geralmente, ao lançar noves pela soma de dígitos, qualquer conjunto de dígitos que somam 9, ou um múltiplo de 9, pode ser ignorado. No número 3264, por exemplo, os dígitos 3 e 6 somam 9. Ignorando esses dois dígitos, portanto, e somando os outros dois, obtemos 2 + 4 = 6. Como 6 = 3264 - 362 × 9, este cálculo tem resultou na expulsão de 362 lotes de 9 de 3264.

Para um número arbitrário,, normalmente representado pela seqüência de dígitos decimais,, a soma dos dígitos é . A diferença entre o número original e sua soma de dígitos é ${\ displaystyle 10 ^ {n} d_ {n} + 10 ^ {n-1} d_ {n-1} + \ cdots + d_ {0}}$${\ displaystyle d_ {n} d_ {n-1} \ dots d_ {0}}$${\ displaystyle d_ {n} + d_ {n-1} + \ cdots + d_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & 10 ^ {n} d_ {n} + 10 ^ {n-1} d_ {n-1} + \ cdots + d_ {0} - \ left (d_ {n} + d_ {n-1} + \ cdots + d_ {0} \ right) \\ = {} & \ left (10 ^ {n} -1 \ right) d_ {n} + \ left (10 ^ {n-1} -1 \ direita) d_ {n-1} + \ cdots + 9d_ {1}. \ End {alinhado}}}$

Como os números da forma são sempre divisíveis por 9 (desde ), substituir o número original por sua soma de dígitos tem o efeito de eliminar ${\ displaystyle 10 ^ {i} -1}$${\ displaystyle 10 ^ {i} -1 = 9 \ times \ left (10 ^ {i-1} + 10 ^ {i-2} + \ cdots +1 \ right)}$

${\ displaystyle {\ frac {10 ^ {n} -1} {9}} d_ {n} + {\ frac {10 ^ {n-1} -1} {9}} d_ {n-1} + \ cdots + d_ {1}}$

muitos 9.

Raízes digitais

Se o procedimento descrito no parágrafo anterior for repetidamente aplicado ao resultado de cada aplicação anterior, o resultado eventual será um número de um dígito do qual todos os 9s, com a possível exceção de um, foram "lançados fora". O número de um dígito resultante é chamado de raiz digital do original. A exceção ocorre quando o número original tem uma raiz digital de 9, cuja soma de dígitos é ele mesmo e, portanto, não será lançado ao tomar outras somas de dígitos.

O número 12.565, por exemplo, possui soma de dígitos 1 + 2 + 5 + 6 + 5 = 19, que, por sua vez, possui soma de dígitos 1 + 9 = 10, que, por sua vez, possui soma de dígitos 1 + 0 = 1, um número de um único dígito. A raiz digital de 12565 é, portanto, 1, e seu cálculo tem o efeito de lançar fora (12565 - 1) / 9 = 1396 lotes de 9 de 12565.

Verificando cálculos lançando noves

Para verificar o resultado de um cálculo aritmético lançando noves, cada número no cálculo é substituído por sua raiz digital e os mesmos cálculos são aplicados a essas raízes digitais. A raiz digital do resultado desse cálculo é então comparada com a do resultado do cálculo original. Se nenhum erro foi cometido nos cálculos, essas duas raízes digitais devem ser iguais. Os exemplos em que o lançamento de noves foi usado para verificar adição , subtração , multiplicação e divisão são fornecidos abaixo.

Exemplos

Adição

Em cada adendo , risque todos os 9s e pares de dígitos que totalizam 9 e, em seguida, some o que resta. Esses novos valores são chamados de excessos . Some os dígitos restantes para cada adição até que um dígito seja alcançado. Agora processe a soma e também os excessos para obter o excesso final .

${\ displaystyle {\ bcancel {3}} \ \ 2 \ {\ bcancel {6}} \ 4 \}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle {\ bcancel {6}}}$	2 e 4 somam 6.
${\ displaystyle {\ bcancel {8}} {\ bcancel {4}} {\ bcancel {1}} {\ bcancel {5}}}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle \ 0}$	8 + 1 = 9 e 4 + 5 = 9; não há dígitos restantes.
${\ displaystyle 2 \ {\ bcancel {9}} \ 4 \ \ 6 \}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle {\ bcancel {3}}}$	2, 4 e 6 perfazem 12; 1 e 2 fazem 3.
${\ displaystyle {\ underline {+ {\ bcancel {3}} \ 2 \ \ 0 \ {\ bcancel {6}}}}}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle \ 2}$	2 e 0 são 2.
${\ displaystyle {\ bcancel {1}} \ 7 \ {\ bcancel {8}} \ 3 \ \ 1 \}$		${\ displaystyle {\ bigg \ Downarrow}}$	6, 0, 3 e 2 perfazem 11; 1 e 1 somam 2.
${\ displaystyle \ Downarrow}$
${\ displaystyle {2}}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle 2}$	O excesso da soma deve ser igual ao excesso final dos adendos.

Subtração

${\ displaystyle {\ bcancel {5}} {\ bcancel {6}} {\ bcancel {4}} {\ bcancel {3}}}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle 0 (9)}$	Primeiro, risque todos os 9s e dígitos que totalizem 9 no minuendo e no subtraendo (em itálico).
${\ displaystyle {\ underline {- \ 2 \ {\ bcancel {8}} {\ bcancel {9}} {\ bcancel {1}}}}}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle -2}$	Some os dígitos restantes para cada valor até que um dígito seja alcançado.
${\ displaystyle {\ bcancel {2}} \ 7 \ {\ bcancel {5}} {\ bcancel {2}}}$		${\ displaystyle {\ bigg \ Downarrow}}$	Agora siga o mesmo procedimento com a diferença, chegando a um único dígito.
${\ displaystyle \ Downarrow}$			Como subtrair 2 de zero resulta em um número negativo, pegue emprestado um 9 do minuendo.
${\ displaystyle {7}}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle 7}$	A diferença entre os excessos do minuendo e do subtraendo deve ser igual ao excesso da diferença.

Multiplicação

${\ displaystyle {\ bcancel {5}} {\ bcancel {4}} \ 8 \}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle 8}$	Primeiro, risque todos os 9s e dígitos que totalizem 9 em cada fator (em itálico).
${\ displaystyle {\ underline {\ \ \ \ \ \ \ times \ 6 \ \ 2 \ {\ bcancel {9}}}}}$	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	${\ displaystyle 8}$	Some os dígitos restantes para cada multiplicando até que um dígito seja alcançado.
${\ displaystyle {{\ bcancel {3}} \ 4 \ \ 4 \ {\ bcancel {6}} {\ bcancel {9}} \ 2 \}}$		${\ displaystyle {\ bigg \ Downarrow}}$	Multiplique os dois excessos e some até atingir um dígito.
${\ displaystyle \ Downarrow}$			Faça o mesmo com o produto , riscando 9s e obtendo um dígito.
${\ displaystyle {1}}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle 1}$*	O excesso do produto deve ser igual ao excesso final dos fatores.

^* 8 vezes 8 é 64; 6 e 4 são 10; 1 e 0 são 1.

Divisão

${\ displaystyle {\ bcancel {27}} {\ bcancel {54}} 62}$	${\ displaystyle \ div}$	${\ displaystyle 877}$	${\ displaystyle =}$	${\ displaystyle 314}$	${\ displaystyle r.}$	${\ displaystyle 84}$	Risque todos os 9s e dígitos que totalizem 9 no divisor , quociente e resto .
${\ displaystyle \ Downarrow}$		${\ displaystyle \ Downarrow}$		${\ displaystyle \ Downarrow}$		${\ displaystyle \ Downarrow}$	Some todos os dígitos não cruzados de cada valor até que um dígito seja alcançado para cada valor.
${\ displaystyle 8}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle (4}$	${\ displaystyle \ times}$	${\ displaystyle 8)}$	${\ displaystyle +}$	${\ displaystyle 3}$	O excedente do dividendo deve ser igual ao excedente final dos demais valores. Em outras palavras, você está executando o mesmo procedimento de uma multiplicação, só que ao contrário. 8x4 = 32 que é 5, 5 + 3 = 8. E 8 = 8.

Como funciona

O método funciona porque os números originais são 'decimais' (base 10), o módulo é escolhido para diferir por 1 e o lançamento é equivalente a obter uma soma de dígitos . Em geral, quaisquer dois inteiros 'grandes', x e y , expressos em qualquer módulo menor como x ' e y' (por exemplo, módulo 7) sempre terão a mesma soma, diferença ou produto de seus originais. Essa propriedade também é preservada para a 'soma de dígitos', em que a base e o módulo diferem em 1.

Se um cálculo estiver correto antes do lançamento, o lançamento em ambos os lados preservará a correção. No entanto, é possível que dois inteiros anteriormente desiguais sejam idênticos no módulo 9 (em média, um nono das vezes).

A operação não funciona em frações, pois um determinado número fracionário não possui uma representação única.

Uma variação da explicação

Um bom truque para crianças muito pequenas aprenderem a somar nove é somar dez ao dígito e contar um. Como estamos adicionando 1 ao dígito de dez e subtraindo um do dígito da unidade, a soma dos dígitos deve permanecer a mesma. Por exemplo, 9 + 2 = 11 com 1 + 1 = 2. Ao adicionar 9 a si mesmo, esperaríamos, portanto, que a soma dos dígitos fosse 9 da seguinte forma: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) e 9 + 9 + 9 = 27, (2 + 7 = 9). Vejamos uma multiplicação simples: 5 × 7 = 35, (3 + 5 = 8). Agora considere (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) ou 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17, (1 + 7 = 8).

Qualquer número inteiro não negativo pode ser escrito como 9 × n + a, onde 'a' é um único dígito de 0 a 8 e 'n' é algum número inteiro não negativo. Assim, usando a regra distributiva, (9 × n + a) × (9 × m + b) = 9 × 9 × n × m + 9 (am + bn) + ab. Como os dois primeiros fatores são multiplicados por 9, suas somas acabarão sendo 9 ou 0, deixando-nos com 'ab'. Em nosso exemplo, 'a' era 7 e 'b' era 5. Seria de se esperar que, em qualquer sistema de base, o número anterior a essa base se comportasse exatamente como o nove.

Limitação para lançar noves

Embora extremamente útil, lançar noves não detecta todos os erros cometidos durante os cálculos. Por exemplo, o método de cast-out-noves não reconheceria o erro em um cálculo de 5 × 7 que produziu qualquer um dos resultados errôneos 8, 17, 26, etc. (ou seja, qualquer resultado congruente a 8 módulo 9). Em particular, lançar noves não detecta erros de transposição , como 1324 em vez de 1234. Em outras palavras, o método apenas captura resultados errôneos cuja raiz digital é um dos 8 dígitos que é diferente daquele do resultado correto.

História

Uma forma de expulsar nove conhecida pelos matemáticos gregos antigos foi descrita pelo bispo romano Hipólito (170–235) em A Refutação de todas as Heresias , e mais brevemente pelo filósofo Neoplatonista Sírio Jâmblico (c.245-c.325) em seu comentário sobre a Introdução à Aritmética de Nicômaco de Gerasa . As descrições de Hipólito e Jâmblico, no entanto, foram limitadas a uma explicação de como somas digitais repetidas de numerais gregos foram usadas para calcular uma "raiz" única entre 1 e 9. Nenhum deles demonstrou qualquer conhecimento de como o procedimento poderia ser usado para verificar os resultados de cálculos aritméticos.

O mais antigo trabalho sobrevivente conhecido que descreve como lançar noves pode ser usado para verificar os resultados de cálculos aritméticos é o Mahâsiddhânta , escrito por volta de 950 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhata II (c.920-c.1000). Escrevendo por volta de 1020, o polímata persa, Ibn Sina ( Avicena ) (c.980–1037), também deu detalhes completos do que chamou de "método hindu" de verificação de cálculos aritméticos lançando noves.

Em Synergetics , R. Buckminster Fuller afirma ter usado nove expulsos "antes da Primeira Guerra Mundial". Fuller explica como lançar os noves e faz outras afirmações sobre os 'indigs' resultantes, mas ele falha em notar que lançar os noves pode resultar em falsos positivos.

O método tem grande semelhança com o processamento de sinais padrão e métodos de detecção e correção de erros computacionais , normalmente usando aritmética modular semelhante em somas de verificação e dígitos de verificação mais simples .

Generalização

Este método pode ser generalizado para determinar os restos da divisão por certos números primos.

Uma vez que 3 · 3 = 9,

${\ displaystyle n {\ bmod {3}} = (n {\ bmod {9}}) {\ bmod {3}}.}$

Portanto, podemos usar o restante da expulsão de noves para obter o restante da divisão por três.

A eliminação de noventa e noves é feita adicionando grupos de dois dígitos em vez de apenas um dígito.

Uma vez que 11 · 9 = 99,

${\ displaystyle n {\ bmod {1}} 1 = (n {\ bmod {9}} 9) {\ bmod {1}} 1.}$

Portanto, podemos usar o restante da eliminação de noventa e nove para obter o restante da divisão por onze. Isso é chamado de expulsar onze .

A eliminação de novecentos e noventa e nove é feita adicionando grupos de três dígitos.

Uma vez que 37,27 = 999,

${\ displaystyle n {\ bmod {3}} 7 = (n {\ bmod {9}} 99) {\ bmod {3}} 7.}$

Portanto, podemos usar o restante da eliminação de novecentos e noventa e nove para obter o restante da divisão por trinta e sete.

Notas

Referências

• Datta, Bibhatibhusan ; Singh, Avadhesh Narayan (1962) [1935], History of Hindu Mathematics: A Source Book , Bombay: Asia Publishing House
• Fuller, R. Buckminster (abril de 1982), Synergetics: Explorations in the Geometry of Thinking (Nova ed.), New York, NY: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-065320-4
• Heath, Sir Thomas (1921), A History of Greek Mathematics , I: From Thales to Euclid , Oxford: Oxford University Press
• Hipólito de Roma (1919) [c.230], The Refutation of all Heresies , traduzido por MacMahon, Rev. JH, In Roberts & Donaldson (1919 , pp. 9-153)
• Krantz, Steven G. (2010), An Episodic History of Mathematics - Mathematical Culture through Problem Solving , The Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-766-3, LCCN  2010921168
• Roberts, The Rev. Alexander, DD ; Donaldson, James, LL.D. , eds. (1919), The Ante-Nicene Fathers. Traduções de The Writings of the Fathers até 325 AD , Vol. V, reimpressão americana da edição de Edimburgo, Nova York, NY: Charles Scribner's Sons |volume=tem texto extra ( ajuda )

links externos

• Weisstein, Eric W. "Casting Out Nines" . MathWorld .
• "Numerologia" por R. Buckminster Fuller
• "Paranormal Numbers" por Paul Niquette
• Sujeira, James. "Casting Out Nines" (vídeo) . YouTube . Brady Haran . Retirado em 13 de setembro de 2017 .