Categoria de conjuntos - Category of sets
No campo matemático da teoria das categorias , a categoria de conjuntos , denotada como Conjunto , é a categoria cujos objetos são conjuntos . As setas ou morfismos entre os conjuntos A e B são as funções totais de A a B , e a composição dos morfismos é a composição das funções .
Muitas outras categorias (como a categoria de grupos , com homomorfismos de grupo como setas) adicionam estrutura aos objetos da categoria de conjuntos e / ou restringem as setas a funções de um tipo particular.
Propriedades da categoria de conjuntos
Os axiomas de uma categoria são satisfeitos por Set porque a composição de funções é associativa e porque cada conjunto X tem uma função de identidade id X : X → X que serve como elemento de identidade para a composição da função.
Os epimorfismos em Set são os mapas sobrejetivos , os monomorfismos são os mapas injetivos e os isomorfismos são os mapas bijetivos .
O conjunto vazio serve como o objeto inicial em Conjunto com funções vazias como morfismos. Cada singleton é um objeto terminal , com as funções mapeando todos os elementos dos conjuntos de origem para o único elemento de destino como morfismos. Portanto, não há nenhum objeto em Conjunto .
A categoria Set está completa e co-completa . O produto nesta categoria é dado pelo produto cartesiano de conjuntos. O coproduto é dado pela união disjunta : dados conjuntos A i onde i varia sobre algum conjunto de índice I , construímos o coproduto como a união de A i × { i } (o produto cartesiano com i serve para garantir que todos os componentes fiquem disjunto).
Set é o protótipo de uma categoria concreta ; outras categorias são concretos se forem "construído em" Set de alguma forma bem definida.
Cada conjunto de dois elementos serve como um classificador de subobjeto em Set . O objeto potência de um conjunto A é dada por seu conjunto de alimentação , e o objeto exponencial dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto de todas as funções de A para B . Set é, portanto, um topos (e em particular cartesiano fechado e exato no sentido de Barr ).
O conjunto não é abeliano , aditivo nem pré- aditivo .
Cada conjunto não vazio é um objeto injetivo em Conjunto . Cada conjunto é um objeto projetivo em Set (assumindo o axioma de escolha ).
Os objetos finitamente apresentáveis em Set são os conjuntos finitos. Uma vez que cada conjunto é um limite direto de seus subconjuntos finitos, a categoria Conjunto é uma categoria finitamente apresentável localmente .
Se C é uma categoria arbitrária, os functores contravariantes de C para Set são freqüentemente um importante objeto de estudo. Se A é um objeto de C , então o functor de C para Set que envia X para Hom C ( X , A ) (o conjunto de morfismos em C de X para A ) é um exemplo de tal functor. Se C é uma pequena categoria (ou seja, a coleção de seus objetos forma um conjunto), então os functores contravariantes de C para Set , junto com transformações naturais como morfismos, formam uma nova categoria, uma categoria de functor conhecida como a categoria de pré - subidas em C .
Fundações para a categoria de conjuntos
Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, a coleção de todos os conjuntos não é um conjunto; isso decorre do axioma da fundação . Um se refere a coleções que não são conjuntos como classes adequadas . Não se pode lidar com classes adequadas como se lida com conjuntos; em particular, não se pode escrever que essas classes próprias pertencem a uma coleção (um conjunto ou uma classe própria). Isso é um problema porque significa que a categoria de conjuntos não pode ser formalizada diretamente neste cenário. Categorias como Conjunto, cuja coleção de objetos forma uma classe adequada, são conhecidas como categorias grandes , para distingui-las das pequenas categorias cujos objetos formam um conjunto.
Uma maneira de resolver o problema é trabalhar em um sistema que conceda status formal às classes adequadas, como a teoria dos conjuntos NBG . Nesse cenário, as categorias formadas por conjuntos são consideradas pequenas e aquelas (como Set ) que são formadas por classes próprias são consideradas grandes .
Outra solução é assumir a existência de universos de Grothendieck . A grosso modo, um universo de Grothendieck é um conjunto que é ele mesmo um modelo de ZF (C) (por exemplo, se um conjunto pertence a um universo, seus elementos e seu conjunto de poderes pertencerão ao universo). A existência de universos de Grothendieck (exceto o conjunto vazio e o conjunto de todos os conjuntos hereditariamente finitos ) não está implícita nos axiomas ZF usuais; é um axioma adicional independente, aproximadamente equivalente à existência de cardeais fortemente inacessíveis . Assumindo esse axioma extra, pode-se limitar os objetos de Set aos elementos de um universo particular. (Não há "conjunto de todos os conjuntos" dentro do modelo, mas ainda se pode raciocinar sobre a classe U de todos os conjuntos internos, ou seja, elementos de U. )
Em uma variação desse esquema, a classe de conjuntos é a união de toda a torre dos universos de Grothendieck. (Esta é necessariamente uma classe adequada , mas cada universo de Grothendieck é um conjunto porque é um elemento de algum universo de Grothendieck maior.) No entanto, não se trabalha diretamente com a "categoria de todos os conjuntos". Em vez disso, teoremas são expressos em termos da categoria Conjunto L cuja objectos são os elementos de um grupo suficientemente grande de Grothendieck universo L , e são, então, exibidos para não depender da escolha particular de L . Como base para a teoria das categorias , essa abordagem combina bem com um sistema como a teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendieck, no qual não se pode raciocinar diretamente sobre as classes adequadas; sua principal desvantagem é que um teorema pode ser verdadeiro para todo o Conjunto U, mas não para o Conjunto .
Várias outras soluções e variações das anteriores foram propostas.
As mesmas questões surgem com outras categorias concretas, como a categoria de grupos ou a categoria de espaços topológicos .
Veja também
Notas
Referências
- Blass, A. A interação entre a teoria das categorias e a teoria dos conjuntos . Contemporary Mathematics 30 (1984).
- Feferman, S. Set-teórico fundações da teoria das categorias. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 201–247.
- Lawvere, FW Uma teoria elementar da categoria de conjuntos (versão longa) com comentários
- Mac Lane, S. Um universo como base para a teoria das categorias. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 192–200.
- Mac Lane, Saunders (setembro de 1998). Categorias para o Matemático Operário . Springer. ISBN 0-387-98403-8.(Volume 5 da série Textos de Graduação em Matemática )
- Pareigis, Bodo (1970), Categorias e functores , Matemática pura e aplicada, 39 , Academic Press , ISBN 978-0-12-545150-5