Fórmula da quadratura de Cavalieri - Cavalieri's quadrature formula

A fórmula da quadratura de Cavalieri calcula a área sob a curva cúbica , junto com outras potências superiores.

No cálculo , a fórmula da quadratura de Cavalieri , em homenagem ao matemático italiano do século XVII Bonaventura Cavalieri , é a integral

e generalizações dos mesmos. Esta é a forma integral definida ; a forma integral indefinida é:

Existem formulários adicionais , listados abaixo. Junto com a linearidade da integral, esta fórmula permite calcular as integrais de todos os polinômios.

O termo " quadratura " é um termo tradicional para área ; a integral é interpretada geometricamente como a área sob a curva y  =  x n . Os casos tradicionalmente importantes são y  =  x 2 , a quadratura da parábola , conhecida na antiguidade, ey  = 1 / x , a quadratura da hipérbole, cujo valor é um logaritmo .

Formulários

Negativo n

Para valores negativos de n (potências negativas de x ), há uma singularidade em x  = 0 e, portanto, a integral definida é baseada em 1, em vez de 0, resultando em:

Além disso, para valores fracionários negativos (não inteiros) de n, a potência x n não é bem definida , portanto, a integral indefinida é definida apenas para x positivo . No entanto, para n um inteiro negativo, a potência x n é definida para todos os x não nulos , e os integrais indefinidos e integrais definidos são definidos e podem ser calculados por meio de um argumento de simetria, substituindo x por - x, e baseando o definido negativo integral em -1.

Sobre os números complexos, a integral definida (para valores negativos de n e x ) pode ser definida via integração de contorno , mas depende da escolha do caminho, especificamente número de enrolamento - a questão geométrica é que a função define um espaço de cobertura com uma singularidade em 0

n = -1

Há também o caso excepcional n  = −1, produzindo um logaritmo em vez de uma potência de  x:

(onde "ln" significa o logaritmo natural , ou seja, o logaritmo para a base e  = 2,71828 ...).

A integral imprópria é frequentemente estendida a valores negativos de x por meio da escolha convencional:

Observe o uso do valor absoluto na integral indefinida; isso é para fornecer uma forma unificada para a integral, e significa que a integral desta função ímpar é uma função par, embora o logaritmo seja definido apenas para entradas positivas e, de fato, diferentes valores constantes de C podem ser escolhidos em ambos os lados de 0, uma vez que não alteram a derivada. A forma mais geral é assim:

Sobre os números complexos não existe uma antiderivada global para 1 / x , devido esta função definir um espaço de cobertura não trivial ; este formulário é especial para os números reais.

Observe que a integral definida a partir de 1 não é definida para valores negativos de a, uma vez que passa por uma singularidade, embora como 1 / x seja uma função ímpar , pode-se basear a integral definida para potências negativas em -1. Se alguém estiver disposto a usar integrais impróprias e calcular o valor principal de Cauchy , obtém-se o que também pode ser argumentado por simetria (uma vez que o logaritmo é ímpar), então não faz diferença se a integral definida é baseada em 1 ou -1. Assim como a integral indefinida, isso é especial para os números reais e não se estende aos números complexos.

Formas alternativas

A integral também pode ser escrita com índices deslocados, o que simplifica o resultado e torna a relação com a diferenciação n- dimensional e o n- cubo mais clara:

De forma mais geral, essas fórmulas podem ser fornecidas como:

De forma geral:

Prova

A prova moderna é usar uma antiderivada: a derivada de x n é mostrada como nx n −1 - para inteiros não negativos. Isso é mostrado a partir da fórmula binomial e da definição da derivada - e, portanto, pelo teorema fundamental do cálculo, a antiderivada é a integral. Este método falha porque a antiderivada candidata é , que é indefinida devido à divisão por zero. A função logaritmo , que é a antiderivada real de 1 / x , deve ser introduzida e examinada separadamente.

A derivada pode ser geometrizada como a mudança infinitesimal no volume do n- cubo, que é a área de n faces, cada uma das dimensões n  - 1. Integrando esta imagem - empilhando as faces - geometriza o teorema fundamental do cálculo, produzindo uma decomposição do n- cubo em n pirâmides, que é uma prova geométrica da fórmula da quadratura de Cavalieri.

Para inteiros positivos, esta prova pode ser geometrizada: se considerarmos a quantidade x n como o volume do n- cubo (o hipercubo em n dimensões), então a derivada é a mudança no volume conforme o comprimento do lado é alterado - isso é x n −1 , que pode ser interpretado como a área de n faces, cada uma de dimensão n  - 1 (fixando um vértice na origem, essas são as n faces que não tocam o vértice), correspondendo ao cubo aumentando de tamanho em crescendo na direção dessas faces - no caso tridimensional, adicionando 3 quadrados infinitesimalmente finos, um para cada uma dessas faces. Por outro lado, geometrizante o teorema fundamental do cálculo, empilhando-se estes infinitesimal ( n  - 1) cubos produz um (hiper) -pyramid, e n dessas pirâmides formar o n -cube, que produz a fórmula. Além disso, há uma simetria cíclica de n vezes do n- cubo em torno da diagonal que faz o ciclo dessas pirâmides (para a qual uma pirâmide é um domínio fundamental ). No caso do cubo (3-cubos), é assim que o volume de uma pirâmide foi originalmente estabelecido com rigor: o cubo tem simetria tripla, com domínio fundamental uma pirâmide, dividindo o cubo em 3 pirâmides, correspondendo ao fato que o volume de uma pirâmide é um terço da base vezes a altura. Isso ilustra geometricamente a equivalência entre a quadratura da parábola e o volume de uma pirâmide, que foram calculados classicamente por diferentes meios.

Existem provas alternativas - por exemplo, Fermat calculou a área por meio de um truque algébrico de dividir o domínio em certos intervalos de comprimento desigual; alternativamente, pode-se provar isso reconhecendo uma simetria do gráfico y  =  x n sob dilatação não homogênea (por d na direção x e d n na direção y , algebraicizing as n dimensões da direção y ), ou derivando a fórmula para todos os valores inteiros expandindo o resultado para n  = −1 e comparando os coeficientes.

História

Arquimedes calculou a área dos segmentos parabólicos em seu The Quadrature of the Parabola .

Uma discussão detalhada da história, com fontes originais, é fornecida em ( Laubenbacher & Pengelley 1998 , Capítulo 3, Análise: Calculando Áreas e Volumes) ; veja também história do cálculo e história da integração .

O caso da parábola foi comprovado na antiguidade pelo antigo matemático grego Arquimedes em sua Quadratura da Parábola (século III aC), por meio do método da exaustão . É digno de nota que Arquimedes calculou a área dentro de uma parábola - um chamado "segmento parabólico" - ao invés da área sob o gráfico y  =  x 2 , que é a perspectiva da geometria cartesiana . Esses são cálculos equivalentes, mas refletem uma diferença de perspectiva. Os antigos gregos, entre outros, também calculavam o volume de uma pirâmide ou cone , que é matematicamente equivalente.

No século 11, o matemático islâmico Ibn al-Haytham (conhecido como Alhazen na Europa) calculou as integrais de cúbicas e quarticas (graus três e quatro) por indução matemática , em seu Livro de Óptica .

O caso de inteiros mais altos foi calculado por Cavalieri para n até 9, usando seu método dos indivisíveis ( princípio de Cavalieri ). Ele os interpretou como integrais superiores, como a computação de volumes de dimensões superiores, embora apenas informalmente, visto que objetos de dimensões superiores ainda não eram familiares. Este método de quadratura foi então estendido pelo matemático italiano Evangelista Torricelli para outras curvas, como a ciclóide , então a fórmula foi generalizada para potências fracionárias e negativas pelo matemático inglês John Wallis , em seu Arithmetica Infinitorum (1656), que também padronizou a noção e notação de poderes racionais - embora Wallis interpretou incorretamente o caso excepcional n  = −1 (quadratura da hipérbole) - antes de finalmente ser colocado em terreno rigoroso com o desenvolvimento do cálculo integral .

Antes da formalização de poderes fracionários e negativos de Wallis, que permitiam funções explícitas , essas curvas eram tratadas implicitamente, por meio das equações e ( p e q sempre inteiros positivos) e referidas, respectivamente, como parábolas superiores e hipérboles superiores (ou "parábolas superiores" e " hipérboles superiores "). Pierre de Fermat também calculou essas áreas (exceto no caso excepcional de -1) por um truque algébrico - ele calculou a quadratura da hipérbole superior dividindo a linha em intervalos iguais e, em seguida, calculou a quadratura das parábolas superiores usando um divisão em intervalos desiguais , presumivelmente invertendo as divisões que ele usou para hipérboles. No entanto, como no resto de seu trabalho, as técnicas de Fermat eram mais truques ad hoc do que tratamentos sistemáticos, e ele não é considerado como tendo desempenhado um papel significativo no desenvolvimento subsequente do cálculo.

Digno de nota é que Cavalieri apenas comparou áreas a áreas e volumes a volumes - estes sempre tendo dimensões, enquanto a noção de considerar uma área como consistindo de unidades de área (em relação a uma unidade padrão), portanto, sendo sem unidade, parece ter se originado com Wallis; Wallis estudou potências fracionárias e negativas, e a alternativa para tratar os valores calculados como números sem unidade era interpretar dimensões fracionárias e negativas.

O caso excepcional de -1 (a hipérbole padrão) foi tratado pela primeira vez com sucesso por Grégoire de Saint-Vincent em seu Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni (1647), embora um tratamento formal tivesse que esperar pelo desenvolvimento do logaritmo natural , que foi realizado por Nicholas Mercator em sua Logarithmotechnia (1668).

Referências

História

  • Cavalieri, Geometria indivisibilibus (continuorum nova quadam ratione promota) (Geometria, exposta de uma nova maneira com o auxílio dos indivisíveis do contínuo), 1635.
  • Cavalieri, Exercitationes Geometricae Sex ("Six Geometrical Exercises"), 1647
    • em Dirk Jan Struik , editor, A source book in mathematics, 1200–1800 (Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1986). ISBN   0-691-08404-1 , ISBN   0-691-02397-2 (pbk).
  • Expedições matemáticas: crônicas dos exploradores, Reinhard Laubenbacher, David Pengelley, 1998, Seção 3.4: "Cavalieri Calculates Areas of Higher Parabolas", pp. 123-127 / 128
  • Um breve relato da história da matemática, Walter William Rouse Ball, "Cavalieri", p. 278-281
  • " Infinitesimal calculus ", Encyclopaedia of Mathematics
  • The Britannica Guide to Analysis and Calculus, por Educational Britannica Educational, p. 171 - discute Wallace principalmente

Provas

links externos