Quadro de centro de impulso - Center-of-momentum frame

Em física , o referencial do centro de momentum (também referencial de momento zero ou COM ) de um sistema é o referencial inercial único (até a velocidade, mas não a origem) em que o momentum total do sistema desaparece. O centro de momentum de um sistema não é um local (mas uma coleção de momentos / velocidades relativas: um referencial). Assim, "centro de força" meios "de centro-de-momentum quadro " e é uma forma abreviada desta frase.

Um caso especial do referencial do centro de momento é o referencial do centro de massa : um referencial inercial no qual o centro de massa (que é um ponto físico) permanece na origem. Em todos os quadros COM, o centro de massa está em repouso, mas não necessariamente na origem do sistema de coordenadas.

Na relatividade especial , o quadro COM é necessariamente único apenas quando o sistema está isolado.

Propriedades

Em geral

O referencial do centro de momento é definido como o referencial inercial no qual a soma dos momentos lineares de todas as partículas é igual a 0. Seja S denotando o sistema de referência do laboratório e S ′ denotando o referencial do centro de momento. Usando uma transformação galileana , a velocidade da partícula em S ′ é

{\ displaystyle v '= v-V_ {c},}

Onde

{\ displaystyle V_ {c} = {\ frac {\ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}} {\ sum _ {i} m_ {i}}}}

é a velocidade do centro de massa. O momento total no sistema de centro de momento então desaparece:

{\ displaystyle \ sum _ {i} p '_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} v' _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} (v_ {i} -V_ {c}) = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {\ sum _ {j} m_ {j} v_ {j}} { \ sum _ {j} m_ {j}}} = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {j} m_ {j} v_ {j} = 0.}

Além disso, a energia total do sistema é a energia mínima , visto de todos os referenciais inerciais .

Relatividade especial

Na relatividade , o quadro COM existe para um sistema massivo isolado. Esta é uma consequência do teorema de Noether . No quadro COM, a energia total do sistema é a energia de repouso , e esta quantidade (quando dividida pelo fator c ² , onde c é a velocidade da luz ) dá a massa de repouso ( massa invariante ) do sistema:

{\ displaystyle m_ {0} = {\ frac {E_ {0}} {c ^ {2}}}.}

A massa invariante do sistema é dada em qualquer referencial inercial pela relação invariante relativística

{\ displaystyle m_ {0} {} ^ {2} = \ left ({\ frac {E} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {p} {c }} \ right) ^ {2},}

mas para o momento zero, o termo do momento ( p / c ) ² desaparece e, portanto, a energia total coincide com a energia de repouso.

Sistemas que têm energia diferente de zero, mas zero, massa de repouso (tais como fótons movendo-se em uma única direção, ou equivalentemente, avião ondas eletromagnéticas ) não têm quadros COM, porque não há nenhum quadro em que eles têm de zero impulso líquido. Devido à invariância da velocidade da luz , um sistema sem massa deve viajar na velocidade da luz em qualquer quadro e sempre possui um momento líquido. Sua energia é - para cada referencial - igual à magnitude do momento multiplicado pela velocidade da luz:

{\ displaystyle E = pc.}

Problema de dois corpos

Um exemplo do uso desta estrutura é dado abaixo - em uma colisão de dois corpos, não necessariamente elástica (onde a energia cinética é conservada). O quadro COM pode ser usado para encontrar o momento das partículas muito mais facilmente do que em um quadro de laboratório : o quadro onde a medição ou cálculo é feito. A situação é analisada usando transformações de Galileu e conservação do momento (por generalidade, ao invés de energias cinéticas sozinho), para duas partículas de massa m ₁ e m ₂ , movendo-se a velocidades iniciais (antes da colisão) L ₁ e L ₂ , respectivamente. As transformações são aplicadas para tirar a velocidade do quadro da velocidade de cada partícula do quadro do laboratório (quantidades não programadas) para o quadro COM (quantidades iniciadas):

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V}, \ quad \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {2} - \ mathbf {V}}

onde V é a velocidade do quadro COM. Uma vez que V é a velocidade do COM, ou seja, o tempo derivado da localização R do COM (posição do centro de massa do sistema):

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {R}} {{\ rm {d}} t}} & = {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} t}} \ left ({\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1 } + m_ {2}}} \\ & = \ mathbf {V} \\\ fim {alinhado}}}

então, na origem do quadro COM, R ' = 0 , isso implica

{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

Os mesmos resultados podem ser obtidos aplicando a conservação do momento no quadro do laboratório, onde os momentos são p ₁ e p ₂ :

{\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {p} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac { m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

e no quadro COM, onde é afirmado definitivamente que os momentos totais das partículas, p ₁ 'e p ₂ ', desaparecem:

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} + \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime } + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

Usar a equação do quadro COM para resolver V retorna a equação do quadro do laboratório acima, demonstrando que qualquer quadro (incluindo o quadro COM) pode ser usado para calcular os momentos das partículas. Foi estabelecido que a velocidade do quadro COM pode ser removida do cálculo usando o quadro acima, de modo que os momentos das partículas no quadro COM podem ser expressos em termos de quantidades no quadro do laboratório (ou seja, os valores iniciais dados ):

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} & = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} \\ & = m_ {1 } \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V} \ right) = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2} \ right) \\ & = - m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} \\\ end {alinhado}}}

observe que a velocidade relativa na estrutura do laboratório das partículas 1 a 2 é

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2}}

e a massa reduzida de 2 corpos é

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

então os momentos das partículas reduzem compactamente para

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = \ mu \ Delta \ mathbf {u}}

Este é um cálculo substancialmente mais simples dos momentos de ambas as partículas; a massa reduzida e a velocidade relativa podem ser calculadas a partir das velocidades iniciais na estrutura do laboratório e das massas, e o momento de uma partícula é simplesmente o negativo da outra. O cálculo pode ser repetido para velocidades finais v ₁ e v ₂ , em lugar das velocidades iniciais u ₁ e L ₂ , uma vez que após a colisão das velocidades ainda satisfazer as equações acima: