Centro (geometria) - Centre (geometry)

Ilustração do círculo com circunferência (C) em preto, diâmetro (D) em azul, raio (R) em vermelho e centro ou origem (O) em magenta.

Em geometria , um centro (ou centro ) (do grego κέντρον ) de um objeto é um ponto, em certo sentido, no meio do objeto. De acordo com a definição específica de centro levada em consideração, um objeto pode não ter centro. Se a geometria é considerada como o estudo de grupos de isometria, então um centro é um ponto fixo de todas as isometrias que movem o objeto sobre si mesmo.

Círculos, esferas e segmentos

O centro de um círculo é o ponto equidistante dos pontos na borda. Da mesma forma, o centro de uma esfera é o ponto equidistante dos pontos na superfície, e o centro de um segmento de linha é o ponto médio das duas extremidades.

Objetos simétricos

Para objetos com várias simetrias , o centro de simetria é o ponto que não foi alterado pelas ações simétricas. Assim, o centro de um quadrado , retângulo , losango ou paralelogramo é onde as diagonais se cruzam, sendo este (entre outras propriedades) o ponto fixo de simetrias rotacionais. Da mesma forma, o centro de uma elipse ou hipérbole é onde os eixos se cruzam.

Triângulos

Vários pontos especiais de um triângulo são frequentemente descritos como centros de triângulo :

Para um triângulo equilátero , esses são o mesmo ponto, que se encontra na intersecção dos três eixos de simetria do triângulo, um terço da distância de sua base ao vértice.

Uma definição estrita de um centro de triângulo é um ponto cujas coordenadas trilineares são f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ) onde f é uma função dos comprimentos do três lados do triângulo, a , b , c de modo que:

  1. f é homogêneo em a , b , c ; isto é, f ( ta , tb , tc ) = t h f ( a , b , c ) para alguma potência real h ; assim, a posição de um centro é independente da escala.
  2. f é simétrico em seus dois últimos argumentos; ou seja, f ( a , b , c ) = f ( a , c , b ); assim, a posição de um centro em um triângulo de imagem espelhada é a imagem espelhada de sua posição no triângulo original.

Essa definição estrita exclui pares de pontos bicêntricos, como os pontos de Brocard (que são trocados por um reflexo de imagem de espelho). Em 2020, a Encyclopedia of Triangle Centers lista mais de 39.000 centros triangulares diferentes.

Polígonos tangenciais e polígonos cíclicos

Um polígono tangencial tem cada um de seus lados tangentes a um círculo particular, denominado círculo incircular ou círculo inscrito. O centro do incircle, chamado de incenter, pode ser considerado um centro do polígono.

Um polígono cíclico tem cada um de seus vértices em um círculo particular, chamado de circunferência ou círculo circunscrito. O centro do circumcircle, denominado circuncentro, pode ser considerado um centro do polígono.

Se um polígono é tangencial e cíclico, é denominado bicêntrico . (Todos os triângulos são bicêntricos, por exemplo.) O incentivo e o circuncentro de um polígono bicêntrico não são, em geral, o mesmo ponto.

Polígonos gerais

O centro de um polígono geral pode ser definido de várias maneiras diferentes. O "centróide do vértice" vem considerando o polígono como sendo vazio, mas com massas iguais em seus vértices. O "centróide lateral" vem da consideração de que os lados têm massa constante por unidade de comprimento. O centro usual, chamado apenas de centróide (centro da área), vem da consideração da superfície do polígono como tendo densidade constante. Em geral, esses três pontos não são todos iguais.

Cônicas projetivas

Na geometria projetiva, cada linha tem um ponto no infinito ou "ponto figurativo" onde cruza todas as linhas paralelas a ela. A elipse, a parábola e a hipérbole da geometria euclidiana são chamadas de cônicas na geometria projetiva e podem ser construídas como cônicas de Steiner a partir de uma projetividade que não é uma perspectividade. Uma simetria do plano projetivo com uma determinada cônica relaciona cada ponto ou pólo a uma linha chamada polar . O conceito de centro na geometria projetiva usa essa relação. As seguintes afirmações são de GB Halsted .

  • O conjugado harmônico de um ponto no infinito em relação aos pontos finais de uma seita finita é o 'centro' dessa seita.
  • O pólo da reta no infinito em relação a uma certa cônica é o "centro" da cônica.
  • O polar de qualquer ponto figurativo está no centro da cônica e é chamado de 'diâmetro'.
  • O centro de qualquer elipse está dentro dela, pois seu polar não encontra a curva e, portanto, não há tangentes dela à curva. O centro de uma parábola é o ponto de contato da reta figurativa.
  • O centro de uma hipérbole fica sem a curva, já que a reta figurativa cruza a curva. As tangentes do centro à hipérbole são chamadas de 'assíntotas'. Seus pontos de contato são os dois pontos no infinito da curva.

Veja também

Referências