Centro de massa (relativístico) - Center of mass (relativistic)

Na física , centro relativístico de massa refere-se aos conceitos matemáticos e físicos que definem o centro de massa de um sistema de partículas na mecânica relativística e na mecânica quântica relativística .

Introdução

Na física não relativística, há uma noção única e bem definida do vetor do centro de massa , um vetor tridimensional (abreviado: "vetor 3"), de um sistema isolado de partículas massivas dentro dos 3 espaços de quadros inerciais do espaço-tempo de Galileu . No entanto, tal noção não existe na relatividade especial dentro dos 3-espaços dos quadros inerciais do espaço-tempo de Minkowski .

Em qualquer quadro de rotação rígida (incluindo o caso especial de um quadro inercial Galileano) com coordenadas , o centro de massa de Newton de N partículas de massa e 3 posições é o vetor 3 ${\ displaystyle (t, x)}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {i} (t)}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {(nr)} (t) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \, m_ {i} \, {\ vec {x} } _ {i} (t)} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \, m_ {i}}}}$

tanto para partículas livres como interagentes.

Em um referencial inercial relativístico especial no espaço-tempo de Minkowski com quatro coordenadas vetoriais , não existe uma variável coletiva com todas as propriedades do centro de massa de Newton. As propriedades primárias do centro de massa não relativístico são ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {0}, x)}$

i) junto com o momento total, ele forma um par canônico ,

ii) ele se transforma em rotações como um vetor tríplice, e

iii) é uma posição associada à distribuição espacial da massa dos constituintes.

É interessante que as três seguintes propostas para um centro de massa relativístico que aparecem na literatura do século passado assumem individualmente essas três propriedades:

1. O centro de spin de Newton-Wigner-Pryce ou centro de massa canônico (é a contraparte clássica do operador de posição quântica de Newton-Wigner). É um vetor triplo que satisfaz as mesmas condições canônicas do centro de massa de Newton, tendo parênteses de Poisson desaparecendo no espaço de fase . No entanto, não existe um 4-vetor tendo-o como parte do espaço, de forma que não identifica uma linha de mundo , mas apenas uma pseudo-linha de mundo, dependendo do referencial inercial escolhido. ${\ displaystyle {\ vec {\ tilde {x}}}}$ ${\ displaystyle \ {{\ tilde {x}} ^ {i}, {\ tilde {x}} ^ {j} \} = 0}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} = ({\ tilde {x}} ^ {o}, {\ vec {\ tilde {x}}})}$
2. O centro de inércia Fokker-Pryce . É a parte espacial de um vetor 4 , de modo que identifica uma linha de mundo, mas não é canônica, ou seja . ${\ displaystyle {\ vec {Y}}}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} = (Y ^ {0}, {\ vec {Y}})}$${\ displaystyle \ {Y ^ {i}, Y ^ {j} \} \ not = 0}$
3. O centro de energia de Møller , definido como o centro de massa de Newton com as massas restantes das partículas substituídas por suas energias relativísticas. Isso não é canônico, ou seja , nem a parte espacial de um vetor de 4, ou seja, apenas identifica uma pseudo-linha de mundo dependente de quadro. ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle \ {R ^ {i}, R ^ {j} \} \ not = 0}$

Essas três variáveis ​​coletivas têm todas a mesma velocidade 3 constante e todas elas colapsam no centro de massa de Newton no limite não relativístico. Na década de 1970 houve um grande debate sobre esse problema, sem nenhuma conclusão definitiva.

Definição teórica de grupo

Na mecânica não relativística, a expressão do espaço de fase dos dez geradores do grupo Galilei de um sistema isolado de N partículas com 3 posições , 3 momentos e massas no referencial inercial com coordenadas são é um potencial interpartícula ) ${\ displaystyle {{\ vec {x}} _ {i} (t)}}$${\ displaystyle {{\ vec {p}} _ {i} (t)}}$${\ displaystyle m_ {i} (i = 1..N)}$${\ displaystyle (t, x)}$${\ displaystyle (V (t) = V ({\ vec {x}} _ {i} (t) - {\ vec {x}} _ {j} (t))}$

${\ displaystyle E_ {G} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, {\ frac {{\ vec {p}} _ {i} ^ {2} (t)} {2m_ {i} }} + V (t), \ qquad {\ vec {P}} _ {G} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, {\ vec {p}} _ {i} (t) ,}$

${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {G} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, {\ vec {x}} _ {i} (t) \ times {\ vec {p }} _ {i} (t), \ qquad {\ vec {K}} _ {G} = {\ vec {P}} \, t- \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, m_ {i} \, {\ vec {x}} _ {i} (t).}$

Eles são constantes do movimento que geram as transformações que conectam os frames inerciais. Portanto, em uma definição teórica de grupo do centro de massa de Newton é ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {(nr)} = - {\ frac {{\ vec {K}} _ {G}} {M}}, M = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i}}$

Na relatividade especial, os referenciais inerciais são conectados por transformações geradas pelo grupo de Poincaré . A forma de seus dez geradores para um sistema isolado de N partículas com interações de ação à distância é muito complicada, depende de como as partículas são parametrizadas no espaço de fase e é conhecida explicitamente apenas para certas classes de interações. Porém as dez quantidades são constantes do movimento e, quando é um vetor 4 do tipo tempo, pode-se definir os dois invariantes de Casimir da representação dada do grupo de Poincaré. Essas duas constantes de movimento identificam a massa invariante e o spin restante do sistema de partículas isoladas. A relação relativística energia-momento é: ${\ displaystyle P ^ {\ mu}, J ^ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle P ^ {\ mu}, J ^ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle P ^ {\ mu}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle M ^ {2} c ^ {2} = (P ^ {0}) ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2},}$

onde está o componente zero dos quatro momentos , a energia relativística total do sistema de partículas e o pseudovetor Pauli-Lubanski é: ${\ displaystyle P ^ {0}}$

${\ displaystyle W ^ {\ mu} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {\ mu \ nu \ kappa \ lambda} P _ {\ nu} J _ {\ kappa \ lambda}}$

${\ displaystyle {\ vec {W}} | _ {{\ vec {P}} = 0} = Mc {\ vec {S}},}$

${\ displaystyle W ^ {2} = M ^ {2} c ^ {2} S ^ {2}}$

Pode-se mostrar que em um referencial inercial com coordenadas as três variáveis ​​coletivas anteriores 1), 2) e 3) são as únicas que podem ser expressas apenas em termos de e com ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {0}, {\ vec {x}})}$${\ displaystyle P ^ {\ mu}, J ^ {\ mu \ nu}, M}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle J ^ {i} = {\ frac {1} {2}} \, \ sum _ {jk} \, \ epsilon ^ {ijk} \, J ^ {jk}, K ^ {i} = J ^ {0i}}$

em : ${\ displaystyle x ^ {0} = 0}$

${\ displaystyle {\ vec {R}} = - {\ frac {\ vec {K}} {Mc}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ tilde {x}}} = - {\ frac {\ vec {K}} {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ { 2}}}} + {\ frac {{\ vec {J}} \ times {\ vec {P}}} {{\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}} (Mc + {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}})}} + {\ frac {{\ vec {K} } \ cdot {\ vec {P}} \, {\ vec {P}}} {Mc \, {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2} }} (Mc + {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}})}}}$

${\ displaystyle {\ vec {Y}} = {\ frac {(Mc + {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}}) \, {\ vec {\ tilde {x}}} - Mc \, {\ vec {R}}} {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}}} }$

Como os geradores de Poincaré dependem de todos os componentes do sistema isolado mesmo quando estão a grandes distâncias espaciais, este resultado mostra que as variáveis ​​coletivas relativísticas são quantidades globais (não definidas localmente). Portanto, todos eles são grandezas não mensuráveis, pelo menos com medições locais. Isso sugere que pode haver problemas também com a medição do centro de massa de Newton com métodos locais.

As três variáveis ​​coletivas como 4-quantidades no quadro de repouso

Os quadros de repouso inercial de um sistema isolado podem ser geometricamente definidos como os quadros inerciais cujos 3-espaços semelhantes ao espaço são ortogonais ao momento conservado de 4, semelhante ao tempo, do sistema: eles diferem apenas para a escolha da origem do observador inercial de as 4 coordenadas . Escolhe-se o centro Fokker-Pryce do vetor 4 de inércia como origem, pois é um vetor 4, de modo que é a única variável coletiva que pode ser usada para um observador inercial. Se for o tempo adequado do relógio atômico transportado pelo observador inercial e as 3 coordenadas nos 3 espaços restantes , as localizações do espaço - tempo dentro desses 3 espaços podem ser descritas em um quadro inercial arbitrário com os embeddings, ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ Sigma}} _ {\ tau}}$

${\ displaystyle z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, {\ vec {\ sigma}}) = Y ^ {\ mu} (\ tau) + \ sum _ {r = 1} ^ {3} \ epsilon _ {r} ^ {\ mu} ({\ vec {h}}) \ sigma ^ {r},}$

onde . O vetor 4 semelhante ao tempo e os três vetores 4 semelhantes ao espaço são as colunas dos impulsos de Wigner para as órbitas temporais do grupo de Poincaré. Como consequência, as 3 coordenadas definem 3 vetores de spin 1 de Wigner que se transformam sob as rotações de Wigner quando se faz uma transformação de Lorentz . Portanto, devido a essa covariância de Wigner, esses 3 espaços de repouso privilegiados (denominados 3 espaços de Wigner ) podem se mostrar intrinsecamente definidos e não dependem do observador inercial que os descreve. Eles permitem a descrição de estados ligados relativísticos sem a presença dos tempos relativos de seus constituintes, cujas excitações nunca foram observadas em espectroscopia. ${\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {P}} / Mc}$${\ displaystyle h ^ {\ mu} = P ^ {\ mu} / Mc}$${\ displaystyle \ epsilon _ {r} ^ {\ mu} ({\ vec {h}})}$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {(W) \ tau}}$

Neste quadro é possível descrever as três variáveis ​​coletivas com 4-quantidades , tal que . Pode-se mostrar que eles têm as seguintes expressões em termos de (os dados de Jacobi em para o centro de massa canônico), e ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau), Y ^ {\ mu} (\ tau), R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau = h _ {\ mu} {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau) = h _ {\ mu} Y ^ {\ mu} (\ tau) = h _ {\ mu} R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau, {\ vec {z}} = Mc {\ vec {\ tilde {x}}} (0)}$${\ displaystyle \ tau = 0}$${\ displaystyle {\ vec {h}}, M}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau) & = \ left ({\ tilde {x}} ^ {0} (\ tau); {\ tilde { \ vec {x}}} (\ tau) \ right) = \ left ({\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}} (\ tau + {\ frac {{\ vec {h }} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc}}); {\ frac {\ vec {z}} {Mc}} + (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc}}) {\ vec {h}} \ right) \\ & = z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, {\ tilde {\ vec {\ sigma} }}) = Y ^ {\ mu} (\ tau) + \ left (0, {\ frac {- {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc (1 + {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}})}} \ direita) \\\ end {alinhado}}}$ ,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} Y ^ {\ mu} (\ tau) & = \ left ({\ tilde {x}} ^ {0} (\ tau); {\ vec {Y}} (\ tau ) \ right) = \ left ({\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}} (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z} }} {Mc}}); {\ frac {\ vec {z}} {Mc}} + (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc }}) {\ vec {h}} + {\ frac {{\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc (1 + {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}})}} \ right) \\ & = z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, {\ vec {0}}) \ end {alinhado}},}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} R ^ {\ mu} (\ tau) & = \ left ({\ tilde {x}} ^ {0} (\ tau); {\ vec {R}} (\ tau ) \ right) = \ left ({\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}} (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z} }} {Mc}}); {\ frac {\ vec {z}} {Mc}} + (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc }}) {\ vec {h}} - {\ frac {\ {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ { 2}}} (1 + {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}})}} \ right) \\ & = z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, { \ vec {\ sigma}} _ {R}) = Y ^ {\ mu} (\ tau) + \ left (0; {\ frac {- {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}} } {Mc {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}}}} \ direita) \ end {alinhado}}}$

As localizações no privilegiado resto Wigner 3-espaço do centro canônico de massa e do centro de energia são

${\ displaystyle {\ tilde {\ vec {\ sigma}}} = {\ frac {- {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc (1 + {\ sqrt {1+ { \ vec {h}} ^ {2}}})}}}$

e

${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {R} = {\ frac {- \, {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}}}}}$ .

A pseudo-linha mundial do centro canônico de massa está sempre mais próxima do centro de inércia do que do centro de energia.

Tubo de mundo de Møller de não covariância

Møller mostrou que se em um referencial inercial arbitrário alguém desenha todas as pseudo-linhas de mundo e associadas a todos os referenciais inerciais possíveis, então eles preenchem um tubo de mundo em torno do vetor 4 com um raio de Møller invariante transversal determinado pelos dois Casimirs de o sistema isolado. Este tubo-mundo descreve a região de não covariância das variáveis ​​coletivas relativísticas e coloca um limite teórico para a localização das partículas relativísticas. Isso pode ser visto tomando a diferença entre e ou . Em ambos os casos, a diferença tem apenas um componente espacial perpendicular a ambos e e uma magnitude variando de zero ao raio de Møller, já que a velocidade de três do sistema de partículas isoladas na estrutura inercial arbitrária varia de 0 a c. Uma vez que a diferença tem apenas componente espacial, é evidente que o volume corresponde a um tubo-mundo de não covariância em torno do vetor 4 de Fokker-Pryce . ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ rho = | {\ vec {S}} | / Mc}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$${\ displaystyle {\ vec {h}}}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} (\ tau)}$

Como o raio de Møller é da ordem do comprimento de onda Compton do sistema isolado, é impossível explorar seu interior sem produzir pares, ou seja, sem levar em conta a mecânica quântica relativística. Além disso, o tubo-mundo é o remanescente das condições de energia da relatividade geral na solução plana de Minkowski: se um corpo material tem seu raio material menor que seu raio de Møller, então em algum referencial a densidade de energia do corpo não é definida positivo, mesmo se a energia total for positiva.

A diferença entre as três variáveis ​​coletivas relativísticas e o tubo-mundo sem covariância são efeitos globais (não definidos localmente) induzidos pela assinatura de Lorentz do espaço-tempo de Minkowski e desaparecem no limite não relativístico.

Veja também

Referências