Regra da cadeia - Chain rule

Parte de uma série de artigos sobre
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v t e

No cálculo , a regra da cadeia é uma fórmula que exprime o derivado da composição de duas funções diferenciáveis f e g em termos dos derivados de f e g . Mais precisamente, se a função é tal que para cada x , então a regra da cadeia é, na notação de Lagrange , ${\ displaystyle h = f \ circ g}$${\ displaystyle h (x) = f (g (x))}$

${\ displaystyle h '(x) = f' (g (x)) g '(x).}$

ou equivalente,

${\ displaystyle h '= (f \ circ g)' = (f '\ circ g) \ cdot g'.}$

A regra da cadeia também pode ser expressa na notação de Leibniz . Se uma variável z depende da variável y , que por sua vez depende da variável x (ou seja, y e z são variáveis ​​dependentes ), então z depende de x também, por meio da variável intermediária y . Neste caso, a regra da cadeia é expressa como

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dx}} = {\ frac {dz} {dy}} \ cdot {\ frac {dy} {dx}},}$

e

${\ displaystyle \ left. {\ frac {dz} {dx}} \ right | _ {x} = \ left. {\ frac {dz} {dy}} \ right | _ {y (x)} \ cdot \ esquerda. {\ frac {dy} {dx}} \ right | _ {x},}$

para indicar em quais pontos as derivadas devem ser avaliadas.

Na integração , a contrapartida da regra da cadeia é a regra de substituição .

Explicação intuitiva

Intuitivamente, a regra da cadeia afirma que conhecer a taxa instantânea de mudança de z em relação ayea de y em relação a x permite calcular a taxa instantânea de mudança de z em relação a x como o produto das duas taxas de mudança.

Como colocado por George F. Simmons : "se um carro viaja duas vezes mais rápido que uma bicicleta e a bicicleta é quatro vezes mais rápida que um homem que anda, então o carro viaja 2 × 4 = 8 vezes mais rápido que o homem."

A relação entre este exemplo e a regra da cadeia é a seguinte. Sejam z , y e x as posições (variáveis) do carro, da bicicleta e do homem que anda, respectivamente. A taxa de mudança das posições relativas do carro e da bicicleta é similar, então, a taxa de mudança das posições relativas do carro e do homem que anda é ${\ textstyle {\ frac {dz} {dy}} = 2.}$${\ textstyle {\ frac {dy} {dx}} = 4.}$

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dx}} = {\ frac {dz} {dy}} \ cdot {\ frac {dy} {dx}} = 2 \ cdot 4 = 8.}$

A taxa de mudança de posições é a razão das velocidades, e a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; isso é,

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dx}} = {\ frac {\ frac {dz} {dt}} {\ frac {dx} {dt}}},}$

ou equivalente,

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = {\ frac {dz} {dx}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}},}$

que também é uma aplicação da regra da cadeia.

História

A regra da corrente parece ter sido usada pela primeira vez por Gottfried Wilhelm Leibniz . Ele o usou para calcular a derivada de como o composto da função de raiz quadrada e da função . Ele o mencionou pela primeira vez em um livro de memórias de 1676 (com um erro de sinal no cálculo). A notação comum da regra da cadeia é devida a Leibniz. Guillaume de l'Hôpital usou a regra da cadeia implicitamente em sua Analyze des infiniment petits . A regra da cadeia não aparece em nenhum dos livros de análise de Leonhard Euler , embora tenham sido escritos mais de cem anos após a descoberta de Leibniz. ${\ displaystyle {\ sqrt {a + bz + cz ^ {2}}}}$${\ displaystyle a + bz + cz ^ {2} \!}$

Demonstração

A forma mais simples da regra da cadeia é para funções com valor real de uma variável real . Ele afirma que se g é uma função diferenciável em um ponto c (ou seja, a derivada g ′ ( c ) existe) ef é uma função diferenciável em g ( c ) , então a função composta é diferenciável em c , e a derivada é ${\ displaystyle f \ circ g}$

${\ displaystyle (f \ circ g) '(c) = f' (g (c)) \ cdot g '(c).}$

A regra às vezes é abreviada como

${\ displaystyle (f \ circ g) '= (f' \ circ g) \ cdot g '.}$

Se y = f ( u ) e u = g ( x ) , então esta forma abreviada é escrita na notação de Leibniz como:

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du}} \ cdot {\ frac {du} {dx}}.}$

Os pontos onde os derivados são avaliados também podem ser declarados explicitamente:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {dy} {dx}} \ right | _ {x = c} = \ left. {\ frac {dy} {du}} \ right | _ {u = g (c) } \ cdot \ left. {\ frac {du} {dx}} \ right | _ {x = c}.}$

Seguindo o mesmo raciocínio, dadas n funções com a função composta , se cada função é diferenciável em sua entrada imediata, então a função composta também é diferenciável pela aplicação repetida da Regra da Cadeia, onde a derivada é (na notação de Leibniz): ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \!}$${\ displaystyle f_ {1} \ circ (f_ {2} \ circ \ cdots (f_ {n-1} \ circ f_ {n})) \!}$${\ displaystyle f_ {i} \!}$

${\ displaystyle {\ frac {df_ {1}} {dx}} = {\ frac {df_ {1}} {df_ {2}}} {\ frac {df_ {2}} {df_ {3}}} \ cdots {\ frac {df_ {n}} {dx}}.}$

Formulários

Compostos com mais de duas funções

A regra da cadeia pode ser aplicada a compostos de mais de duas funções. Para obter a derivada de um composto de mais de duas funções, observe que o composto de f , g e h (nessa ordem) é o composto de f com g ∘ h . A regra da cadeia afirma que para calcular a derivada de f ∘ g ∘ h , é suficiente calcular a derivada de f e a derivada de g ∘ h . A derivada de f pode ser calculada diretamente, e a derivada de g ∘ h pode ser calculada aplicando a regra da cadeia novamente.

Para concretude, considere a função

${\ displaystyle y = e ^ {\ sin (x ^ {2})}.}$

Isso pode ser decomposto como a composição de três funções:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} y & = f (u) = e ^ {u}, \\ [6pt] u & = g (v) = \ sin v = \ sin (x ^ {2}), \\ [6pt] v & = h (x) = x ^ {2}. \ End {alinhado}}}$

Seus derivados são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {dy} {du}} & = f '(u) = e ^ {u} = e ^ {\ sin (x ^ {2})}, \\ [ 6pt] {\ frac {du} {dv}} & = g '(v) = \ cos v = \ cos (x ^ {2}), \\ [6pt] {\ frac {dv} {dx}} & = h '(x) = 2x. \ end {alinhado}}}$

A regra da cadeia afirma que a derivada de seu composto no ponto x = a é:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} (f \ circ g \ circ h) '(a) & = f' ((g \ circ h) (a)) \ cdot (g \ circ h) '(a) \ \ [10pt] & = f '((g \ circ h) (a)) \ cdot g' (h (a)) \ cdot h '(a) = (f' \ circ g \ circ h) (a) \ cdot (g '\ circ h) (a) \ cdot h' (a). \ end {alinhado}}}$

Na notação Leibniz, isso é:

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ left. {\ frac {dy} {du}} \ right | _ {u = g (h (a))} \ cdot \ left. {\ frac {du} {dv}} \ right | _ {v = h (a)} \ cdot \ left. {\ frac {dv} {dx}} \ right | _ {x = a},}$

ou para abreviar,

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du}} \ cdot {\ frac {du} {dv}} \ cdot {\ frac {dv} {dx}}.}$

A função derivada é, portanto:

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = e ^ {\ sin (x ^ {2})} \ cdot \ cos (x ^ {2}) \ cdot 2x.}$

Outra maneira de calcular essa derivada é ver a função composta f ∘ g ∘ h como a composição de f ∘ g e h . Aplicar a regra da cadeia dessa maneira resultaria em:

${\ displaystyle (f \ circ g \ circ h) '(a) = (f \ circ g)' (h (a)) \ cdot h '(a) = f' (g (h (a))) \ cdot g '(h (a)) \ cdot h' (a).}$

Isso é igual ao que foi calculado acima. Isso deveria ser esperado porque ( f ∘ g ) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h ) .

Às vezes, é necessário diferenciar uma composição arbitrariamente longa do formulário . Neste caso, defina ${\ displaystyle f_ {1} \ circ f_ {2} \ circ \ cdots \ circ f_ {n-1} \ circ f_ {n} \!}$

${\ displaystyle f_ {a \,. \,. \, b} = f_ {a} \ circ f_ {a + 1} \ circ \ cdots \ circ f_ {b-1} \ circ f_ {b}}$

onde e quando . Em seguida, a regra da cadeia assume a forma ${\ displaystyle f_ {a \,. \,. \, a} = f_ {a}}$${\ displaystyle f_ {a \,. \,. \, b} (x) = x}$${\ displaystyle b <a}$

${\ displaystyle Df_ {1 \,. \,. \, n} = (Df_ {1} \ circ f_ {2 \,. \,. \, n}) (Df_ {2} \ circ f_ {3 \, . \,. \, n}) \ cdots (Df_ {n-1} \ circ f_ {n \,. \,. \, n}) Df_ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {n } \ left [Df_ {k} \ circ f _ {(k + 1) \,. \,. \, n} \ right]}$

ou, na notação de Lagrange,

${\ displaystyle f_ {1 \,. \,. \, n} '(x) = f_ {1}' \ left (f_ {2 \,. \,. \, n} (x) \ right) \; f_ {2} '\ left (f_ {3 \,. \,. \, n} (x) \ right) \ cdots f_ {n-1}' \ left (f_ {n \,. \,. \, n} (x) \ right) \; f_ {n} '(x) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} f_ {k}' \ left (f _ {(k + 1 \,. \, . \, n)} (x) \ direita)}$

Regra do quociente

A regra da cadeia pode ser usada para derivar algumas regras de diferenciação bem conhecidas. Por exemplo, a regra de quociente é uma consequência da regra da cadeia e da regra do produto . Para ver isso, escreva a função f ( x ) / g ( x ) como o produto f ( x ) · 1 / g ( x ) . Primeiro, aplique a regra do produto:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {f (x)} {g (x)}} \ right) & = {\ frac {d} { dx}} \ left (f (x) \ cdot {\ frac {1} {g (x)}} \ right) \\ & = f '(x) \ cdot {\ frac {1} {g (x) }} + f (x) \ cdot {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {g (x)}} \ right). \ end {alinhado}}}$

Para calcular a derivada de 1 / g ( x ) , observe que é a composição de g com a função recíproca, ou seja, a função que envia x para 1 / x . A derivada da função recíproca é . Ao aplicar a regra da cadeia, a última expressão se torna: ${\ displaystyle -1 / x ^ {2} \!}$

${\ displaystyle f '(x) \ cdot {\ frac {1} {g (x)}} + f (x) \ cdot \ left (- {\ frac {1} {g (x) ^ {2}} } \ cdot g '(x) \ right) = {\ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g (x) ^ {2}}},}$

que é a fórmula usual para a regra do quociente.

Derivadas de funções inversas

Suponha que y = g ( x ) tenha uma função inversa . Chame sua função inversa f para que tenhamos x = f ( y ) . Existe uma fórmula para a derivada de f em termos da derivada de g . Para ver isso, observe que f e g satisfazem a fórmula

${\ displaystyle f (g (x)) = x.}$

E porque as funções e x são iguais, seus derivados devem ser iguais. A derivada de x é a função constante com valor 1 e a derivada de é determinada pela regra da cadeia. Portanto, temos que: ${\ displaystyle f (g (x))}$${\ displaystyle f (g (x))}$

${\ displaystyle f '(g (x)) g' (x) = 1.}$

Para expressar f' como uma função de uma variável independente y , substituímos para x onde quer que apareça. Então podemos resolver para f ' . ${\ displaystyle f (y)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f '(g (f (y))) g' (f (y)) & = 1 \\ [5pt] f '(y) g' (f (y)) & = 1 \\ [5pt] f '(y) = {\ frac {1} {g' (f (y))}}. \ End {alinhado}}}$

Por exemplo, considere a função g ( x ) = e ^x . Ele tem um inverso f ( y ) = ln y . Porque g ′ ( x ) = e ^x , a fórmula acima diz que

${\ displaystyle {\ frac {d} {dy}} \ ln y = {\ frac {1} {e ^ {\ ln y}}} = {\ frac {1} {y}}.}$

Esta fórmula é verdadeira sempre que g é diferenciável e seu inverso f também é diferenciável. Essa fórmula pode falhar quando uma dessas condições não for verdadeira. Por exemplo, considere g ( x ) = x ³ . Seu inverso é f ( y ) = y ^1/3 , que não é diferenciável em zero. Se tentarmos usar a fórmula acima para calcular a derivada de f em zero, devemos avaliar 1 / g ′ ( f (0)) . Como f (0) = 0 e g ′ (0) = 0 , devemos avaliar 1/0, que é indefinido. Portanto, a fórmula falha neste caso. Isso não é surpreendente porque f não é diferenciável em zero.

Derivadas superiores

A fórmula de Faà di Bruno generaliza a regra da cadeia para derivados superiores. Supondo que y = f ( u ) e u = g ( x ) , então as primeiras derivadas são:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dy} {dx}} & = {\ frac {dy} {du}} {\ frac {du} {dx}} \\ [4pt] {\ frac { d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} & = {\ frac {d ^ {2} y} {du ^ {2}}} \ left ({\ frac {du} {dx}} \ direita) ^ {2} + {\ frac {dy} {du}} {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} \\ [4pt] {\ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}} & = {\ frac {d ^ {3} y} {du ^ {3}}} \ left ({\ frac {du} {dx}} \ right) ^ {3 } +3 \, {\ frac {d ^ {2} y} {du ^ {2}}} {\ frac {du} {dx}} {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2 }}} + {\ frac {dy} {du}} {\ frac {d ^ {3} u} {dx ^ {3}}} \\ [4pt] {\ frac {d ^ {4} y} { dx ^ {4}}} & = {\ frac {d ^ {4} y} {du ^ {4}}} \ left ({\ frac {du} {dx}} \ right) ^ {4} +6 \, {\ frac {d ^ {3} y} {du ^ {3}}} \ left ({\ frac {du} {dx}} \ right) ^ {2} {\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} + {\ frac {d ^ {2} y} {du ^ {2}}} \ left (4 \, {\ frac {du} {dx}} {\ frac { d ^ {3} u} {dx ^ {3}}} + 3 \, \ left ({\ frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} \ right) ^ {2} \ right ) + {\ frac {dy} {du}} {\ frac {d ^ {4} u} {dx ^ {4}}}. \ end {alinhado}}}$

Provas

Primeira prova

Uma prova da regra da cadeia começa com a definição da derivada:

${\ displaystyle (f \ circ g) '(a) = \ lim _ {x \ a} {\ frac {f (g (x)) - f (g (a))} {xa}}.}$

Presuma, por enquanto, que não é igual para nenhum x próximo a a . Então, a expressão anterior é igual ao produto de dois fatores: ${\ displaystyle g (x) \!}$${\ displaystyle g (a)}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} {\ frac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) -g (a)}} \ cdot {\ frac { g (x) -g (a)} {xa}}.}$

Se oscila perto de um , então pode acontecer que não importa o quão perto chega a um , há sempre um ainda mais perto x tal que g ( x ) = g ( um ) . Por exemplo, isso acontece perto de a = 0 para a função contínua g definida por g ( x ) = 0 para x = 0 e g ( x ) = x ² sen (1 / x ) caso contrário. Sempre que isso acontece, a expressão acima é indefinida porque envolve divisão por zero . Para contornar isso, introduza uma função da seguinte maneira: ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q (y) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {f (y) -f (g (a))} {yg (a)}}, & y \ neq g (a), \ \ f '(g (a)), & y = g (a). \ end {casos}}}$

Mostraremos que o quociente de diferença para f ∘ g é sempre igual a:

${\ displaystyle Q (g (x)) \ cdot {\ frac {g (x) -g (a)} {xa}}.}$

Sempre que g ( x ) não é igual ag ( a ) , isso é claro porque os fatores de g ( x ) - g ( a ) se cancelam. Quando g ( x ) é igual a g ( a ) , então o quociente de diferença para f ∘ g é zero porque f ( g ( x )) é igual a f ( g ( a )) , e o produto acima é zero porque é igual a f ′ ( g ( a )) vezes zero. Assim, o produto acima é sempre igual ao quociente de diferença, e para mostrar que a derivada de f ∘ g em a existe e para determinar seu valor, precisamos apenas mostrar que o limite conforme x vai para a do produto acima existe e determinar seu valor.

Para fazer isso, lembre-se de que o limite de um produto existe se os limites de seus fatores existirem. Quando isso acontecer, o limite do produto desses dois fatores será igual ao produto dos limites dos fatores. Os dois fatores são Q ( g ( x )) e ( g ( x ) - g ( a )) / ( x - a ) . O último é o quociente de diferença para g em a , e como g é diferenciável em a por suposição, seu limite quando x tende a a existe e é igual a g ′ ( a ) .

Quanto a Q ( g ( x )) , observe que Q é definido onde quer que f esteja. Além disso, f é diferenciável em g ( a ) por suposição, então Q é contínuo em g ( a ) , por definição da derivada. A função g é contínua em a porque é diferenciável em a e, portanto, Q ∘ g é contínua em a . Portanto, seu limite quando x vai para a existe e é igual a Q ( g ( a )) , que é f ′ ( g ( a )) .

Isso mostra que os limites de ambos os fatores existem e que são iguais a f ′ ( g ( a )) e g ′ ( a ) , respectivamente. Portanto, a derivada de f ∘ g em a existe e é igual a f ′ ( g ( a )) g ′ ( a ) .

Segunda prova

Outra forma de provar a regra da cadeia é medir o erro na aproximação linear determinada pela derivada. Essa prova tem a vantagem de generalizar para várias variáveis. Ele se baseia na seguinte definição equivalente de diferenciabilidade em um ponto: Uma função g é diferenciável em a se existe um número real g ′ ( a ) e uma função ε ( h ) que tende a zero conforme h tende a zero, e além disso

${\ displaystyle g (a + h) -g (a) = g '(a) h + \ varepsilon (h) h.}$

Aqui, o lado esquerdo representa a verdadeira diferença entre o valor de g em a e em a + h , enquanto o lado direito representa a aproximação determinada pela derivada mais um termo de erro.

Na situação da regra da cadeia, tal função ε existe porque g é assumido como diferenciável em a . Novamente por suposição, uma função semelhante também existe para f em g ( a ). Chamando esta função η , temos

${\ displaystyle f (g (a) + k) -f (g (a)) = f '(g (a)) k + \ eta (k) k.}$

A definição acima não impõe restrições a η (0), embora seja assumido que η ( k ) tende a zero como k tende a zero. Se definirmos η (0) = 0 , então η é contínuo em 0.

Provar o teorema requer o estudo da diferença f ( g ( a + h )) - f ( g ( a )) conforme h tende a zero. A primeira etapa é substituir g ( a + h ) usando a definição de diferenciabilidade de g em a :

${\ displaystyle f (g (a + h)) - f (g (a)) = f (g (a) + g '(a) h + \ varejpsilon (h) h) -f (g (a)). }$

O próximo passo é usar a definição de diferenciabilidade de f em g ( a ). Isso requer um termo da forma f ( g ( a ) + k ) para algum k . Na equação acima, o k correto varia com h . Defina k _h = g ′ ( a ) h + ε ( h ) h e o lado direito se torna f ( g ( a ) + k _h ) - f ( g ( a )) . A aplicação da definição da derivada dá:

${\ displaystyle f (g (a) + k_ {h}) - f (g (a)) = f '(g (a)) k_ {h} + \ eta (k_ {h}) k_ {h}. }$

Para estudar o comportamento dessa expressão à medida que h tende a zero, expanda k _h . Depois de reagrupar os termos, o lado direito se torna:

${\ displaystyle f '(g (a)) g' (a) h + [f '(g (a)) \ varejpsilon (h) + \ eta (k_ {h}) g' (a) + \ eta (k_ {h}) \ varepsilon (h)] h.}$

Como ε ( h ) e η ( k _h ) tendem a zero conforme h tende a zero, os dois primeiros termos entre colchetes tendem a zero enquanto h tende a zero. Aplicando o mesmo teorema sobre produtos de limites como na primeira prova, o terceiro termo entre colchetes também tende a zero. Como a expressão acima é igual à diferença f ( g ( a + h )) - f ( g ( a )) , pela definição da derivada f ∘ g é diferenciável em a e sua derivada é f ′ ( g ( a )) g ′ ( a ).

O papel de Q na primeira prova é desempenhado por η nesta prova. Eles estão relacionados pela equação:

${\ displaystyle Q (y) = f '(g (a)) + \ eta (yg (a)).}$

A necessidade de definir Q em g ( a ) é análoga à necessidade de definir η em zero.

Terceira prova

A definição alternativa de Constantin Carathéodory da diferenciabilidade de uma função pode ser usada para dar uma prova elegante da regra da cadeia.

Sob esta definição, uma função F é diferenciável num ponto um se e apenas se existe uma função q , contínua a uma e de modo a que f ( x ) - f ( um ) = q ( x ) ( x - um ) . Existe no máximo uma dessas funções, e se f é diferenciável em a então f ′ ( a ) = q ( a ) .

Dadas as suposições da regra da cadeia e o fato de que funções diferenciáveis ​​e composições de funções contínuas são contínuas, temos que existem funções q , contínuas em g ( a ) e r , contínuas em a , e tais que,

${\ displaystyle f (g (x)) - f (g (a)) = q (g (x)) (g (x) -g (a))}$

e

${\ displaystyle g (x) -g (a) = r (x) (xa).}$

Portanto,

${\ displaystyle f (g (x)) - f (g (a)) = q (g (x)) r (x) (xa),}$

mas a função dada por h ( x ) = q ( g ( x )) r ( x ) é contínua em a , e obtemos, para isso, um

${\ displaystyle (f (g (a))) '= q (g (a)) r (a) = f' (g (a)) g '(a).}$

Uma abordagem semelhante funciona para funções continuamente diferenciáveis ​​(vetoriais) de muitas variáveis. Este método de fatoração também permite uma abordagem unificada para formas mais fortes de diferenciabilidade, quando a derivada deve ser contínua de Lipschitz , contínua de Hölder , etc. A diferenciação em si pode ser vista como o teorema do resto polinomial (o pequeno teorema de Bézout , ou teorema do fator) , generalizado para uma classe apropriada de funções.

Prova via infinitesimais

Se e, em seguida, escolhendo infinitesimal , calculamos o correspondente e, em seguida, o correspondente , de modo que ${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle x = g (t)}$${\ displaystyle \ Delta t \ not = 0}$${\ displaystyle \ Delta x = g (t + \ Delta t) -g (t)}$${\ displaystyle \ Delta y = f (x + \ Delta x) -f (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta t}} = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}$

e aplicando a parte padrão que obtemos

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {dy} {dx}} {\ frac {dx} {dt}}}$

que é a regra da cadeia.

Caso multivariável

A generalização da regra da cadeia para funções multivariáveis é bastante técnica. No entanto, é mais simples de escrever no caso de funções do formulário

${\ displaystyle f (g_ {1} (x), \ dots, g_ {k} (x)).}$

Como esse caso ocorre com frequência no estudo de funções de uma única variável, vale a pena descrevê-lo separadamente.

Caso de f ( g ₁ ( x ), ..., g _k ( x ))

Para escrever a regra da cadeia para uma função do formulário

f ( g ₁ ( x ), ..., g _k ( x )) ,

precisa-se das derivadas parciais de f com respeito a seus k argumentos. As notações usuais para derivadas parciais envolvem nomes para os argumentos da função. Como esses argumentos não são nomeados na fórmula acima, é mais simples e claro denotar por

${\ displaystyle D_ {i} f}$

a derivada de f em relação ao seu i ésimo argumento, e por

${\ displaystyle D_ {i} f (z)}$

o valor desta derivada em z .

Com esta notação, a regra da cadeia é

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} f (g_ {1} (x), \ dots, g_ {k} (x)) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ( {\ frac {d} {dx}} {g_ {i}} (x) \ direita) D_ {i} f (g_ {1} (x), \ pontos, g_ {k} (x)).}$

Exemplo: operações aritméticas

Se a função f é adição, isto é, se

${\ displaystyle f (u, v) = u + v,}$

então e . Assim, a regra da cadeia dá ${\ textstyle D_ {1} f = {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} = 1}$${\ textstyle D_ {2} f = {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} = 1}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (g (x) + h (x)) = \ left ({\ frac {d} {dx}} g (x) \ right) D_ {1} f + \ left ({\ frac {d} {dx}} h (x) \ right) D_ {2} f = {\ frac {d} {dx}} g (x) + {\ frac {d} {dx} } h (x).}$

Para multiplicação

${\ displaystyle f (u, v) = uv,}$

os parciais são e . Assim, ${\ displaystyle D_ {1} f = v}$${\ displaystyle D_ {2} f = u}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (g (x) h (x)) = h (x) {\ frac {d} {dx}} g (x) + g (x) {\ frac {d} {dx}} h (x).}$

O caso de exponenciação

${\ displaystyle f (u, v) = u ^ {v}}$

é um pouco mais complicado, pois

${\ displaystyle D_ {1} f = vu ^ {v-1},}$

e como ${\ displaystyle u ^ {v} = e ^ {v \ ln u},}$

${\ displaystyle D_ {2} f = u ^ {v} \ ln u.}$

Segue que

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (g (x) ^ {h (x)} \ right) = h (x) g (x) ^ {h (x) -1} {\ frac {d} {dx}} g (x) + g (x) ^ {h (x)} \ ln g (x) {\ frac {d} {dx}} h (x).}$

Regra geral

A maneira mais simples de escrever a regra da cadeia no caso geral é usar a derivada total , que é uma transformação linear que captura todas as derivadas direcionais em uma única fórmula. Considere funções diferenciáveis f  : R ^m → R ^k e g  : R ⁿ → R ^m , e um ponto a em R ⁿ . Seja D _a g a derivada total de g em a e D _{g ( a )} f denote a derivada total de f em g ( a ) . Essas duas derivadas são transformações lineares R ⁿ → R ^m e R ^m → R ^k , respectivamente, para que possam ser compostas. A regra da cadeia para derivadas totais é que seu composto é a derivada total de f ∘ g em a :

${\ displaystyle D _ {\ mathbf {a}} (f \ circ g) = D_ {g (\ mathbf {a})} f \ circ D _ {\ mathbf {a}} g,}$

ou para abreviar,

${\ displaystyle D (f \ circ g) = Df \ circ Dg.}$

A regra da cadeia de dimensão superior pode ser provada usando uma técnica semelhante à segunda prova fornecida acima.

Como a derivada total é uma transformação linear, as funções que aparecem na fórmula podem ser reescritas como matrizes. A matriz correspondente a uma derivada total é chamada de matriz Jacobiana , e a composição de duas derivadas corresponde ao produto de suas matrizes Jacobianas. Desta perspectiva, a regra da cadeia, portanto, diz:

${\ displaystyle J_ {f \ circ g} (\ mathbf {a}) = J_ {f} (g (\ mathbf {a})) J_ {g} (\ mathbf {a}),}$

ou para abreviar,

${\ displaystyle J_ {f \ circ g} = (J_ {f} \ circ g) J_ {g}.}$

Ou seja, o Jacobiano de uma função composta é o produto dos Jacobianos das funções compostas (avaliadas nos pontos apropriados).

A regra da cadeia de dimensão superior é uma generalização da regra da cadeia unidimensional. Se k , m e n são 1, de modo que f  : R → R e g  : R → R , então as matrizes Jacobianas de f e g são 1 × 1 . Especificamente, eles são:

${\ displaystyle {\ begin {align} J_ {g} (a) & = {\ begin {pmatrix} g '(a) \ end {pmatrix}}, \\ J_ {f} (g (a)) & = {\ begin {pmatriz} f '(g (a)) \ end {pmatriz}}. \ end {alinhado}}}$

O Jacobiano de f ∘ g é o produto dessas matrizes 1 × 1 , então é f ′ ( g ( a )) ⋅ g ′ ( a ) , como esperado da regra da cadeia unidimensional. Na linguagem das transformações lineares, D _a ( g ) é a função que dimensiona um vetor por um fator de g ′ ( a ) e D _{g ( a )} ( f ) é a função que dimensiona um vetor por um fator de f ′ ( g ( a )). A regra da cadeia diz que o composto dessas duas transformações lineares é a transformação linear D _a ( f ∘ g ) e, portanto, é a função que dimensiona um vetor por f ′ ( g ( a )) ⋅ g ′ ( a ).

Outra maneira de escrever a regra da cadeia é utilizado quando f e g são expressos em termos dos seus componentes como y = f ( L ) = ( f ₁ ( u ), ..., f _k ( u )) e u = g ( x ) = ( g ₁ ( x ),…, g _m ( x )) . Nesse caso, a regra acima para matrizes Jacobianas é geralmente escrita como:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (y_ {1}, \ ldots, y_ {k})} {\ partial (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}} = {\ frac {\ partial (y_ {1}, \ ldots, y_ {k})} {\ parcial (u_ {1}, \ ldots, u_ {m})}} {\ frac {\ parcial (u_ {1}, \ ldots, u_ {m})} {\ parcial (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}}.}$

A regra da cadeia para derivados totais implica uma regra da cadeia para derivados parciais. Lembre-se de que, quando existe a derivada total, a derivada parcial na i- ésima direção da coordenada é encontrada multiplicando-se a matriz Jacobiana pelo i- ésimo vetor de base. Fazendo isso com a fórmula acima, encontramos:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (y_ {1}, \ ldots, y_ {k})} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ partial (y_ {1}, \ ldots, y_ {k})} {\ parcial (u_ {1}, \ ldots, u_ {m})}} {\ frac {\ parcial (u_ {1}, \ ldots, u_ {m})} {\ parcial x_ { eu}}}.}$

Como as entradas da matriz Jacobiana são derivadas parciais, podemos simplificar a fórmula acima para obter:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (y_ {1}, \ ldots, y_ {k})} {\ partial x_ {i}}} = \ sum _ {\ ell = 1} ^ {m} {\ frac {\ parcial (y_ {1}, \ ldots, y_ {k})} {\ parcial u _ {\ ell}}} {\ frac {\ parcial u _ {\ ell}} {\ parcial x_ {i}}}. }$

Mais conceitualmente, essa regra expressa o fato de que uma mudança na direção x _i pode mudar totalmente de g ₁ a g _m , e qualquer uma dessas mudanças pode afetar f .

No caso especial em que k = 1 , de modo que f é uma função de valor real, esta fórmula simplifica ainda mais:

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial y} {\ parcial x_ {i}}} = \ sum _ {\ ell = 1} ^ {m} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial u _ {\ ell} }} {\ frac {\ partial u _ {\ ell}} {\ partial x_ {i}}}.}$

Isso pode ser reescrito como um produto escalar . Lembrando que u = ( g ₁ , ..., g _m ) , a derivada parcial ∂ u / ∂ x _i também é um vetor, e a regra da cadeia diz que:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {i}}} = \ nabla y \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial x_ {i}}}.}$

Exemplo

Dado u ( x , y ) = x ² + 2 Y , onde X ( R , t ) = r sen ( t ) e Y ( R , t ) = sin ² ( t ) , determinar o valor de ∂ u / ∂ r e ∂ u / ∂ t usando a regra da cadeia.

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial r}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial r}} = (2x) (\ sin (t)) + (2) (0) = 2r \ sin ^ {2 } (t),}$

e

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} & = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial t}} \\ & = (2x) (r \ cos (t)) + (2 ) (2 \ sin (t) \ cos (t)) \\ & = (2r \ sin (t)) (r \ cos (t)) + 4 \ sin (t) \ cos (t) \\ & = 2 (r ^ {2} +2) \ sin (t) \ cos (t) \\ & = (r ^ {2} +2) \ sin (2t). \ End {alinhado}}}$

Derivadas mais altas de funções multivariáveis

A fórmula de Faà di Bruno para derivadas de ordem superior de funções de variável única generaliza para o caso multivariável. Se y = f ( u ) é uma função de u = g ( x ) como acima, então a segunda derivada de f ∘ g é:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} y} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = \ sum _ {k} \ left ({\ frac {\ partial y} {\ parcial u_ {k}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} u_ {k}} {\ parcial x_ {i} \ parcial x_ {j}}} \ direita) + \ sum _ {k, \ ell} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} y} {\ parcial u_ {k} \ parcial u _ {\ ell}}} {\ frac {\ parcial u_ {k}} {\ parcial x_ {i}} } {\ frac {\ partial u _ {\ ell}} {\ partial x_ {j}}} \ right).}$

Outras generalizações

Todas as extensões do cálculo têm uma regra em cadeia. Na maioria deles, a fórmula permanece a mesma, embora o significado dessa fórmula possa ser muito diferente.

Uma generalização é para variedades . Nessa situação, a regra da cadeia representa o fato de que a derivada de f ∘ g é a composição da derivada de f e da derivada de g . Este teorema é uma consequência imediata da regra da cadeia dimensional superior dada acima e tem exatamente a mesma fórmula.

A regra da cadeia também é válida para derivados de Fréchet em espaços de Banach . A mesma fórmula é válida como antes. Este caso e o anterior admitem uma generalização simultânea para variedades de Banach .

Em álgebra diferencial , a derivada é interpretada como um morfismo de módulos de diferenciais de Kähler . Um homomorfismo de anéis comutativos f  : R → S determina um morfismo de diferenciais de Kähler Df  : Ω _R → Ω _S que envia um elemento dr para d ( f ( r )), o diferencial exterior de f ( r ). A fórmula D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg também é válida neste contexto.

A característica comum desses exemplos é que eles são expressões da ideia de que a derivada é parte de um functor . Um functor é uma operação em espaços e funções entre eles. Ele associa a cada espaço um novo espaço e a cada função entre dois espaços uma nova função entre os novos espaços correspondentes. Em cada um dos casos acima, o functor envia cada espaço para seu feixe tangente e envia cada função para sua derivada. Por exemplo, no caso da variedade, a derivada envia uma variedade C ^r para uma variedade C ^{r −1} (seu feixe tangente) e uma função C ^r para sua derivada total. Há um requisito para que este seja um functor, a saber, que a derivada de um composto deve ser o composto das derivadas. Esta é exatamente a fórmula D ( f ∘ g ) = Df ∘ Dg .

Existem também regras em cadeia no cálculo estocástico . Um deles, o lema de Itō , expressa o composto de um processo Itō (ou mais geralmente um semimartingale ) dX _t com uma função duas vezes diferenciável f . No lema de Itō, a derivada da função composta depende não apenas de dX _t e da derivada de f, mas também da segunda derivada de f . A dependência da segunda derivada é uma consequência da variação quadrática diferente de zero do processo estocástico, o que, de modo geral, significa que o processo pode se mover para cima e para baixo de uma forma muito grosseira. Essa variante da regra da cadeia não é um exemplo de functor porque as duas funções que estão sendo compostas são de tipos diferentes.

Veja também

• Integração por substituição
• Regra integral de Leibniz
• Regra do quociente
• Regra tripla do produto
• Regra do produto
• Diferenciação automática , um método computacional que faz uso intenso da regra da cadeia para calcular derivadas numéricas exatas.

Referências

links externos

• "Leibniz rule" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Chain Rule" . MathWorld .