De Chandrasekhar H -função -Chandrasekhar's H-function

De Chandrasekhar H -função para albedo diferente

Em atmosférica radiação , de Chandrasekhar H -função aparece como as soluções de problemas que envolvem a dispersão, introduzidos pela American Indian astrofisico Subrahmanyan Chandrasekhar . A de Chandrasekhar H -função definida no intervalo , satisfaz a seguinte equação integral não linear ${\ Displaystyle H (\ mu)}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq \ mu \ leq 1}$

{\ Displaystyle H (\ mu) = 1 + \ mu H (\ mu) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ psi (\ mu ')} {\ mu + \ mu'}} H (\ mu ') \, d \ mu'}

em que a função característica é um mesmo polinómio em satisfazer a seguinte condição ${\ Displaystyle \ Psi (\ mu)}$ ${\ Displaystyle \ mu}$

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ psi (\ mu) \, d \ mu \ leq {\ frac {1} {2}}}

.

Se a igualdade é satisfeita na condição acima, ele é chamado caso conservador , de outra forma não-conservadora . Albedo é dada por . Uma forma alternativa que seria mais útil para o cálculo do H função numericamente por iteração foi derivado por Chandrasekhar como, ${\ Displaystyle \ omega _ {O} = 2 \ Psi (\ mu) {= \ text {constante}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {H (\ mu)}} = \ esquerdo [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ psi (\ mu) \, d \ mu \ direita] ^ { 1/2} + int \ _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mu '\ psi (\ mu')} {\ mu mu + \ '}} H (\ mu') \, d \ mu '}

.

No caso conservador, a equação reduz-se para cima

{\ DisplayStyle {\ frac {1} {H (\ mu)}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mu '\ psi (\ mu ')} {\ mu + \ mu' }} H (\ mu ') d \ mu'}

.

Aproximação

O H função pode ser aproximada até uma ordem como ${\ N} displaystyle$

{\ Displaystyle H (\ mu) = {\ frac {1} {\ mu _ {1} \ cdots \ mu _ {n}}} {\ frac {\ prod _ {i = 0} ^ {n} (\ mu + \ mu _ {i})} {\ prod _ {\ alfa} (1 + k _ {\ alfa} \ mu)}}}

onde são os zeros de polinómios de Legendre e são as raízes positivos, não desaparecer da equação característica associada ${\ Displaystyle \ mu _ {i}}$ ${\ Displaystyle P_ {2n}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ alpha}}$

{\ Displaystyle 1 = 2 \ soma _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {j} \ Psi (\ mu _ {J})} {1-k ^ {2} \ mu _ {J } ^ {2}}}}

onde são os pesos de quadratura dada pela ${\ Displaystyle a_ {j}}$

{\ Displaystyle a_ {j} = {\ frac {1} {P_ {2n} '(\ mu _ {J})}} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P_ {2n} ( \ mu _ {J})} {\ MU - \ mu _ {j}}} \, d \ mu _ {j}}

solução explícita no plano complexo

Em variável complexa a H equação é ${\ Z} displaystyle$

{\ Displaystyle H (z) = 1- \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {z} {z + \ mu}} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \, d \ MU, \ quad \ int _ {0} ^ {1} | \ Psi (\ mu) | \, d \ mu \ leq {\ frac {1} {2}}, \ quad \ int _ {0} ^ {\ delta} | \ Psi (\ mu) | \, d \ mu \ rightarrow 0, \ \ delta \ rightarrow 0}

em seguida, por , uma solução única é dada pela ${\ Displaystyle \ Re (z)> 0}$

{\ Displaystyle \ ln H (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {- i \ infty} ^ {+ i \ infty} \ ln T (w) {\ frac {z } {w ^ {2} -z ^ {2}}} \, dw}

onde a parte imaginária da função podem desaparecer sse é real ou seja, . Então nós temos ${\ Displaystyle T (z)}$ ${\ Displaystyle z ^ {2}}$ ${\ Displaystyle z ^ {2} = u + iv = u \ (v = 0)}$

{\ Displaystyle T (z) = 2/1 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu -2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mu ^ {2} \ Psi (\ mu)} {u- \ MU ^ {2}}} \, d \ mu}

A solução acima é único e delimitada no intervalo para casos conservadoras. Em casos não-conservadoras, se a equação admite as raízes , então há uma outra solução dada pela ${\ Displaystyle 0 \ leq z \ leq 1}$ ${\ Displaystyle T (z) = 0}$ ${\ Displaystyle \ pm 1 / k}$

{\ Displaystyle H_ {1} (z) = H (z) {\ frac {1 + KZ} {1-kz}}}

propriedades

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ psi (\ mu) \, d \ mu = 1- \ esquerda [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ direita] ^ {1/2}}$ . Para o caso conservador, isto reduz a . ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) d \ mu = {\ frac {1} {2}}}$
${\ Displaystyle \ esquerda [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ psi (\ mu) \, d \ mu \ direita] ^ {1/2} \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ MU ^ {2} \, d \ mu + {\ frac {1} {2}} \ esquerda [\ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ mu \, d \ mu \ direita] ^ {2} = \ int _ {0} ^ {1} \ psi (\ mu) \ MU ^ {2} \, d \ mu}$ . Para o caso conservador, isto reduz a . ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ psi (\ mu) \ mu d \ mu = \ esquerda [2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \ MU ^ {2} d \ mu \ direita] ^ {1/2}}$
Se a função característica é , onde são duas constantes (tem que satisfazer ) e se é o momento do enésimo H função, então temos ${\ Displaystyle \ Psi (\ mu) = a + b \ MU ^ {2}}$ ${\ Displaystyle a, b}$ ${\ Displaystyle a + b / 3 \ leq 1/2}$ ${\ Displaystyle \ alfa _ {n} = \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ MU ^ {n} \, d \ MU, \ n \ GEQ 1}$