Princípio variacional de Chandrasekhar - Chandrasekhar's variational principle

Na astrofísica , o princípio variacional de Chandrasekhar fornece o critério de estabilidade para uma estrela barotrópica estática , sujeita a perturbação radial, em homenagem ao astrofísico indiano americano Subrahmanyan Chandrasekhar .

Demonstração

Uma estrela baratrópica com e é estável se a quantidade${\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {dr}} <0}$${\ displaystyle \ rho (R) = 0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ rho ') = \ int _ {V} \ left | {\ frac {d \ Phi} {d \ rho}} \ right | _ {0} \ rho' ^ {2} d \ mathbf {x} -G \ int _ {V} \ int _ {V} {\ frac {\ rho '(\ mathbf {x}) \ rho' (\ mathbf {x '})} { | \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} d \ mathbf {x} d \ mathbf {x'} \ quad {\ text {onde}} \ quad \ Phi = -G \ int _ {V } {\ frac {\ rho (\ mathbf {x '})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |}} d \ mathbf {x},}$

não é negativo para todas as funções reais que conservam a massa total da estrela .${\ displaystyle \ rho '(\ mathbf {x})}$${\ displaystyle \ int _ {V} \ rho 'd \ mathbf {x} = 0}$

Onde

• ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ é o sistema de coordenadas fixado no centro da estrela
• ${\ displaystyle R}$ é o raio da estrela
• ${\ displaystyle V}$ é o volume da estrela
• ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x})}$é a densidade imperturbada
• ${\ displaystyle \ rho '(\ mathbf {x})}$ é a pequena densidade perturbada, de modo que no estado perturbado, a densidade total é ${\ displaystyle \ rho + \ rho '}$
• ${\ displaystyle \ Phi}$é o potencial autogravitante da lei da gravidade de Newton
• ${\ displaystyle G}$é a constante gravitacional

Referências