Equações de Chandrasekhar-Page - Chandrasekhar–Page equations

As equações de Chandrasekhar-Page descrevem a função de onda das partículas massivas de spin-½ , que resultou na busca de uma solução separável para a equação de Dirac na métrica de Kerr ou na métrica de Kerr-Newman . Em 1976, Subrahmanyan Chandrasekhar mostrou que uma solução separável pode ser obtida a partir da equação de Dirac na métrica de Kerr . Mais tarde, Don Page estendeu seu trabalho à métrica Kerr-Newman , que é aplicável a buracos negros carregados. Em seu artigo, Page nota que N. Toop também derivou seus resultados de forma independente, conforme informado a ele por Chandrasekhar.

Ao assumir uma decomposição de modo normal da forma para o tempo e o componente azimutal das coordenadas polares esféricas , Chandrasekhar mostrou que os quatro componentes bispinor podem ser expressos como produto de funções radiais e angulares. As duas funções radiais e angulares, respectivamente, são indicadas por , e , . A energia medida no infinito é e o momento angular axial é meio-inteiro. ${\ displaystyle e ^ {i (\ omega t + m \ phi)}}$${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$${\ displaystyle R _ {+ {\ frac {1} {2}}} (r)}$${\ displaystyle R _ {- {\ frac {1} {2}}} (r)}$${\ displaystyle S _ {+ {\ frac {1} {2}}} (\ theta)}$${\ displaystyle S _ {- {\ frac {1} {2}}} (\ theta)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle m}$

Equações angulares de Chandrasekhar-Page

As funções angulares satisfazem as equações de autovalor acopladas,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {L}} _ {\ frac {1} {2}} S _ {+ {\ frac {1} {2}}} & = - (\ lambda -a \ mu \ cos \ theta) S _ {- {\ frac {1} {2}}}, \\ {\ mathcal {L}} _ {\ frac {1} {2}} ^ {\ dagger} S _ {- { \ frac {1} {2}}} & = + (\ lambda + a \ mu \ cos \ theta) S _ {+ {\ frac {1} {2}}}, \ end {alinhado}}}$

Onde

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ frac {1} {2}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} + Q + {\ frac {\ cot \ theta} {2}}, \ quad {\ mathcal {L}} _ {\ frac {1} {2}} ^ {\ dagger} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} - Q + {\ frac {\ cot \ theta} {2}}}$

e . Aqui está o momento angular por unidade de massa do buraco negro e é a massa restante da partícula. Eliminando entre as duas equações anteriores, obtém-se ${\ displaystyle Q = a \ omega \ sin \ theta + m \ csc \ theta}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle S _ {+ 1/2} (\ theta)}$

${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {L}} _ {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {L}} _ {\ frac {1} {2}} ^ {\ dagger} + {\ frac {a \ mu \ sin \ theta} {\ lambda + a \ mu \ cos \ theta}} {\ mathcal {L}} _ {\ frac {1} {2}} ^ {\ dagger} + \ lambda ^ {2} -a ^ {2} \ mu ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \ right) S _ {- {\ frac {1} {2}}} = 0.}$

A função satisfaz a equação adjunta, que pode ser obtida a partir da equação acima substituindo por . As condições de contorno para essas equações diferenciais de segunda ordem são que (e ) sejam regulares em e . O problema de autovalores apresentado aqui em geral requer integrações numéricas para ser resolvido. Soluções explícitas estão disponíveis para o caso em que . ${\ displaystyle S _ {+ {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ pi - \ theta}$${\ displaystyle S _ {- {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle S _ {+ {\ frac {1} {2}}}}$${\ displaystyle \ theta = 0}$${\ displaystyle \ theta = \ pi}$${\ displaystyle \ omega = \ mu}$

Referências