Teoria do caos - Chaos theory
A teoria do caos é uma teoria interdisciplinar e um ramo da matemática com foco no estudo do caos : sistemas dinâmicos cujos estados aparentemente aleatórios de desordem e irregularidades são na verdade governados por padrões subjacentes e leis determinísticas altamente sensíveis às condições iniciais . A teoria do caos afirma que, dentro da aparente aleatoriedade dos sistemas complexos caóticos , existem padrões subjacentes, interconexão, ciclos de feedback constantes , repetição, auto-similaridade , fractais e auto-organização . O efeito borboleta , um princípio subjacente do caos, descreve como uma pequena mudança em um estado de um sistema não linear determinístico pode resultar em grandes diferenças em um estado posterior (o que significa que há uma dependência sensível das condições iniciais). Uma metáfora para esse comportamento é que o bater de asas de uma borboleta no Brasil pode causar um tornado no Texas .
Pequenas diferenças nas condições iniciais, como aquelas devido a erros nas medições ou devido a erros de arredondamento na computação numérica, podem produzir resultados amplamente divergentes para tais sistemas dinâmicos, tornando a previsão de longo prazo de seu comportamento impossível em geral. Isso pode acontecer mesmo que esses sistemas sejam determinísticos , ou seja, seu comportamento futuro segue uma evolução única e é totalmente determinado por suas condições iniciais, sem elementos aleatórios envolvidos. Em outras palavras, a natureza determinística desses sistemas não os torna previsíveis. Esse comportamento é conhecido como caos determinístico ou simplesmente caos . A teoria foi resumida por Edward Lorenz como:
Caos: Quando o presente determina o futuro, mas o presente aproximado não determina aproximadamente o futuro.
O comportamento caótico existe em muitos sistemas naturais, incluindo fluxo de fluidos, irregularidades nos batimentos cardíacos, tempo e clima. Também ocorre espontaneamente em alguns sistemas com componentes artificiais, como bolsa de valores e tráfego rodoviário . Esse comportamento pode ser estudado por meio da análise de um modelo matemático caótico , ou por meio de técnicas analíticas como gráficos de recorrência e mapas de Poincaré . A teoria do caos tem aplicações em uma variedade de disciplinas, incluindo meteorologia , antropologia , sociologia , ciência ambiental , ciência da computação , engenharia , economia , ecologia , gerenciamento de crises pandêmicas ,. A teoria formou a base para campos de estudo como sistemas dinâmicos complexos , teoria do limite do caos e processos de automontagem .
Introdução
A teoria do caos diz respeito a sistemas determinísticos cujo comportamento pode, em princípio, ser previsto. Os sistemas caóticos são previsíveis por um tempo e então "parecem" tornar-se aleatórios. A quantidade de tempo que o comportamento de um sistema caótico pode ser efetivamente previsto depende de três coisas: quanta incerteza pode ser tolerada na previsão, quão precisamente seu estado atual pode ser medido e uma escala de tempo dependendo da dinâmica do sistema , chamado de horário Lyapunov . Alguns exemplos dos tempos de Lyapunov são: circuitos elétricos caóticos, cerca de 1 milissegundo; sistemas meteorológicos, alguns dias (não comprovado); o sistema solar interno, 4 a 5 milhões de anos. Em sistemas caóticos, a incerteza em uma previsão aumenta exponencialmente com o tempo decorrido. Portanto, matematicamente, dobrar o tempo de previsão mais do que eleva ao quadrado a incerteza proporcional na previsão. Isso significa que, na prática, uma previsão significativa não pode ser feita em um intervalo de mais de duas ou três vezes o tempo de Lyapunov. Quando previsões significativas não podem ser feitas, o sistema parece aleatório.
A teoria do caos é um método de análise qualitativa e quantitativa para investigar o comportamento de sistemas dinâmicos que não podem ser explicados e previstos por relacionamentos de dados únicos, mas devem ser explicados e previstos por relacionamentos de dados contínuos e inteiros.
Dinâmica caótica
No uso comum, "caos" significa "um estado de desordem". No entanto, na teoria do caos, o termo é definido com mais precisão. Embora não exista uma definição matemática universalmente aceita de caos, uma definição comumente usada, originalmente formulada por Robert L. Devaney , diz que para classificar um sistema dinâmico como caótico, ele deve ter estas propriedades:
- deve ser sensível às condições iniciais ,
- deve ser topologicamente transitivo ,
- deve ter órbitas periódicas densas .
Em alguns casos, as duas últimas propriedades acima demonstraram realmente implicar sensibilidade às condições iniciais. No caso de tempo discreto, isso é verdadeiro para todos os mapas contínuos em espaços métricos . Nesses casos, embora seja freqüentemente a propriedade mais significativa na prática, "sensibilidade às condições iniciais" não precisa ser declarada na definição.
Se a atenção se restringe a intervalos , a segunda propriedade implica nas outras duas. Uma definição alternativa e geralmente mais fraca de caos usa apenas as duas primeiras propriedades da lista acima.
Caos como uma quebra espontânea da supersimetria topológica
Em sistemas dinâmicos de tempo contínuo, o caos é o fenômeno da quebra espontânea da supersimetria topológica, que é uma propriedade intrínseca dos operadores de evolução de todas as equações diferenciais estocásticas e determinísticas (parciais). Este quadro de caos dinâmico funciona não apenas para modelos determinísticos, mas também para modelos com ruído externo, o que é uma generalização importante do ponto de vista físico, uma vez que, na realidade, todos os sistemas dinâmicos sofrem influência de seus ambientes estocásticos. Dentro dessa imagem, o comportamento dinâmico de longo alcance associado à dinâmica caótica (por exemplo, o efeito borboleta ) é uma consequência do teorema de Goldstone - na aplicação à quebra espontânea da supersimetria topológica.
Sensibilidade às condições iniciais
A sensibilidade às condições iniciais significa que cada ponto em um sistema caótico é arbitrariamente aproximado por outros pontos que têm caminhos ou trajetórias futuras significativamente diferentes. Assim, uma mudança ou perturbação arbitrariamente pequena da trajetória atual pode levar a um comportamento futuro significativamente diferente.
A sensibilidade às condições iniciais é popularmente conhecida como " efeito borboleta ", assim chamado por causa do título de um artigo dado por Edward Lorenz em 1972 à Associação Americana para o Avanço da Ciência em Washington, DC, intitulado Previsibilidade: O Flap das asas de uma borboleta no Brasil desencadeou um Tornado no Texas? . A asa oscilante representa uma pequena mudança na condição inicial do sistema, o que provoca uma cadeia de eventos que impede a previsibilidade de fenômenos em grande escala. Se a borboleta não tivesse batido as asas, a trajetória do sistema como um todo poderia ter sido muito diferente.
Uma consequência da sensibilidade às condições iniciais é que, se começarmos com uma quantidade limitada de informações sobre o sistema (como geralmente é o caso na prática), depois de um certo tempo, o sistema não será mais previsível. Isso é mais prevalente no caso do clima, que geralmente é previsível apenas cerca de uma semana antes. Isso não significa que não se possa afirmar nada sobre eventos distantes no futuro - apenas que algumas restrições ao sistema estão presentes. Por exemplo, sabemos com o clima que a temperatura não atingirá naturalmente 100 ° C ou cairá para -130 ° C na terra (durante a era geológica atual ), mas isso não significa que podemos prever exatamente qual dia terá o temperatura mais quente do ano.
Em termos mais matemáticos, o expoente de Lyapunov mede a sensibilidade às condições iniciais, na forma de taxa de divergência exponencial das condições iniciais perturbadas. Mais especificamente, dadas duas trajetórias iniciais no espaço de fase que são infinitesimalmente próximas, com a separação inicial , as duas trajetórias acabam divergindo a uma taxa dada por
onde está a hora e é o expoente de Lyapunov. A taxa de separação depende da orientação do vetor de separação inicial, então todo um espectro de expoentes de Lyapunov pode existir. O número de expoentes de Lyapunov é igual ao número de dimensões do espaço de fase, embora seja comum referir-se apenas ao maior. Por exemplo, o expoente de Lyapunov máximo (MLE) é usado com mais frequência, porque determina a previsibilidade geral do sistema. Um MLE positivo é geralmente considerado uma indicação de que o sistema está caótico.
Além da propriedade acima, outras propriedades relacionadas à sensibilidade das condições iniciais também existem. Estes incluem, por exemplo, medida teórica- mistura (como discutido em ergodic teoria) e propriedades de um K-sistema .
Não periodicidade
Um sistema caótico pode ter sequências de valores para a variável em evolução que se repetem exatamente, dando um comportamento periódico a partir de qualquer ponto dessa sequência. No entanto, essas sequências periódicas são repelentes em vez de atraentes, o que significa que se a variável em evolução estiver fora da sequência, por mais próxima que seja, ela não entrará na sequência e, de fato, irá divergir dela. Assim, para quase todas as condições iniciais, a variável evolui caoticamente com comportamento não periódico.
Mistura topológica
A mistura topológica (ou a condição mais fraca de transitividade topológica) significa que o sistema evolui ao longo do tempo para que qualquer região ou conjunto aberto de seu espaço de fase eventualmente se sobreponha a qualquer outra região. Este conceito matemático de "mistura" corresponde à intuição padrão, e a mistura de corantes ou fluidos coloridos é um exemplo de sistema caótico.
A mistura topológica é freqüentemente omitida dos relatos populares de caos, que igualam o caos apenas à sensibilidade às condições iniciais. No entanto, a dependência sensível das condições iniciais por si só não causa o caos. Por exemplo, considere o sistema dinâmico simples produzido pela duplicação repetida de um valor inicial. Este sistema tem uma dependência sensível das condições iniciais em todos os lugares, uma vez que qualquer par de pontos próximos eventualmente se torna amplamente separado. No entanto, este exemplo não tem mistura topológica e, portanto, não tem caos. Na verdade, ele tem um comportamento extremamente simples: todos os pontos, exceto 0, tendem ao infinito positivo ou negativo.
Transitividade topológica
Diz-se que um mapa é topologicamente transitivo se, para qualquer par de conjuntos abertos não vazios , existir tal . A transitividade topológica é uma versão mais fraca da mistura topológica . Intuitivamente, se um mapa é topologicamente transitória seguida dado um ponto X e uma região V , existe um ponto Y perto x cuja órbita passa através V . Isso implica que é impossível decompor o sistema em dois conjuntos abertos.
Um importante teorema relacionado é o Teorema da Transitividade de Birkhoff. É fácil perceber que a existência de uma órbita densa implica em transitividade topológica. O Teorema da Transitividade de Birkhoff afirma que se X é um segundo espaço métrico completo contável , então a transitividade topológica implica a existência de um conjunto denso de pontos em X que têm órbitas densas.
Densidade de órbitas periódicas
Para um sistema caótico ter órbitas periódicas densas significa que cada ponto no espaço é aproximado arbitrariamente por órbitas periódicas. O mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 - x ) é um dos sistemas mais simples com densidade de órbitas periódicas. Por exemplo, → → (ou aproximadamente 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) é uma órbita (instável) do período 2, e órbitas semelhantes existem para os períodos 4, 8, 16, etc. (na verdade, para todos os períodos especificados pelo teorema de Sharkovskii ) .
O teorema de Sharkovskii é a base da prova de Li e Yorke (1975) de que qualquer sistema unidimensional contínuo que exibe um ciclo regular de período três também exibirá ciclos regulares de todos os outros comprimentos, bem como órbitas completamente caóticas.
Atratores estranhos
Alguns sistemas dinâmicos, como o mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 - x ), são caóticos em todos os lugares, mas em muitos casos o comportamento caótico é encontrado apenas em um subconjunto do espaço de fase. Os casos de maior interesse surgem quando o comportamento caótico ocorre em um atrator , pois então um grande conjunto de condições iniciais leva a órbitas que convergem para essa região caótica.
Uma maneira fácil de visualizar um atrator caótico é começar com um ponto na bacia de atração do atrator e simplesmente traçar sua órbita subsequente. Por causa da condição de transitividade topológica, é provável que isso produza uma imagem de todo o atrator final e, de fato, ambas as órbitas mostradas na figura à direita fornecem uma imagem da forma geral do atrator de Lorenz. Este atrator resulta de um modelo tridimensional simples do sistema meteorológico de Lorenz . O atrator de Lorenz é talvez um dos diagramas de sistemas caóticos mais conhecidos, provavelmente porque não é apenas um dos primeiros, mas também um dos mais complexos e, como tal, dá origem a um padrão muito interessante que, com um pouca imaginação, parece as asas de uma borboleta.
Ao contrário dos atratores de ponto fixo e ciclos limite , os atratores que surgem de sistemas caóticos, conhecidos como atratores estranhos , têm grande detalhe e complexidade. Atratores estranhos ocorrem em sistemas dinâmicos contínuos (como o sistema de Lorenz) e em alguns sistemas discretos (como o mapa de Hénon ). Outros sistemas dinâmicos discretos possuem uma estrutura repelente chamada conjunto Julia , que se forma na fronteira entre bacias de atração de pontos fixos. Os conjuntos de Julia podem ser considerados repelentes estranhos. Ambos atratores estranhos e conjuntos de Julia geralmente têm uma estrutura fractal , e a dimensão fractal pode ser calculada para eles.
Complexidade mínima de um sistema caótico
Sistemas caóticos discretos, como o mapa logístico , podem exibir atratores estranhos, qualquer que seja sua dimensionalidade . Universalidade dos mapas unidimensionais com maxima parabólica e constantes Feigenbaum , é bem visível com o mapa proposto como um modelo de brinquedo para a dinâmica do laser discretos: , onde representa amplitude do campo elétrico, é o ganho de laser como parâmetro bifurcação. O aumento gradual de no intervalo muda a dinâmica de regular para caótica com qualitativamente o mesmo diagrama de bifurcação que os do mapa logístico .
Em contraste, para sistemas dinâmicos contínuos , o teorema de Poincaré-Bendixson mostra que um atrator estranho só pode surgir em três ou mais dimensões. Os sistemas lineares de dimensão finita nunca são caóticos; para um sistema dinâmico exibir um comportamento caótico, ele deve ser não linear ou infinito.
O teorema de Poincaré-Bendixson afirma que uma equação diferencial bidimensional tem um comportamento muito regular. O atrator Lorenz discutido abaixo é gerado por um sistema de três equações diferenciais, tais como:
onde , e tornar-se o estado do sistema , é o tempo, e , , são o sistema de parâmetros . Cinco dos termos do lado direito são lineares, enquanto dois são quadráticos; um total de sete termos. Outro atrator caótico bem conhecido é gerado pelas equações de Rössler , que têm apenas um termo não linear em sete. Sprott encontrou um sistema tridimensional com apenas cinco termos, que tinha apenas um termo não linear, o que exibe caos para determinados valores de parâmetros. Zhang e Heidel mostraram que, pelo menos para sistemas quadráticos dissipativos e conservadores, sistemas quadráticos tridimensionais com apenas três ou quatro termos no lado direito não podem exibir comportamento caótico. A razão é, simplesmente, que as soluções para tais sistemas são assintóticas a uma superfície bidimensional e, portanto, as soluções são bem comportadas.
Enquanto o teorema de Poincaré-Bendixson mostra que um sistema dinâmico contínuo no plano euclidiano não pode ser caótico, sistemas contínuos bidimensionais com geometria não euclidiana podem exibir comportamento caótico. Talvez surpreendentemente, o caos pode ocorrer também em sistemas lineares, desde que tenham dimensões infinitas. Uma teoria do caos linear está sendo desenvolvida em um ramo da análise matemática conhecido como análise funcional .
Mapas dimensionais infinitos
A generalização directa de mapas discretas acoplados baseia-se integrante convolução que medeia a interacção entre mapas espacialmente distribuídos: ,
onde kernel é propagador derivado como função Green de um sistema físico relevante, pode ser mapa logístico ou mapa complexo . Para exemplos de mapas complexos, o conjunto de Julia ou o mapa de Ikeda podem servir. Quando problemas de propagação de ondas à distância com comprimento de onda são considerados, o kernel pode ter uma forma de função de Green para a equação de Schrödinger :.
.
Sistemas de empurrão
Em física , jerk é a terceira derivada da posição , com respeito ao tempo. Como tal, as equações diferenciais da forma
às vezes são chamadas de equações de empurrão . Foi demonstrado que uma equação de jerk, que é equivalente a um sistema de três equações diferenciais não lineares ordinárias de primeira ordem, é, em certo sentido, o cenário mínimo para soluções que mostram comportamento caótico. Isso motiva o interesse matemático em sistemas jerk. Os sistemas que envolvem uma quarta derivada ou superior são chamados de sistemas hyperjerk.
O comportamento de um sistema de jerk é descrito por uma equação de jerk e, para certas equações de jerk, circuitos eletrônicos simples podem modelar soluções. Esses circuitos são conhecidos como circuitos de empurrão.
Uma das propriedades mais interessantes dos circuitos de empurrão é a possibilidade de comportamento caótico. Na verdade, certos sistemas caóticos bem conhecidos, como o atrator de Lorenz e o mapa de Rössler , são convencionalmente descritos como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem que podem se combinar em uma única (embora bastante complicada) equação de jerk. Outro exemplo de uma equação de jerk com não linearidade na magnitude de é:
Aqui, A é um parâmetro ajustável. Esta equação tem uma solução caótica para A = 3/5 e pode ser implementada com o seguinte circuito de jerk; a não linearidade necessária é provocada pelos dois diodos:
No circuito acima, todos os resistores têm o mesmo valor, exceto , e todos os capacitores são do mesmo tamanho. A frequência dominante é . A saída do amplificador operacional 0 corresponderá à variável x, a saída de 1 corresponde à primeira derivada de xe a saída de 2 corresponde à segunda derivada.
Circuitos semelhantes requerem apenas um diodo ou nenhum diodo.
Veja também o conhecido circuito de Chua , uma base para verdadeiros geradores de números aleatórios caóticos. A facilidade de construção do circuito tornou-o um exemplo onipresente de sistema caótico no mundo real.
Ordem espontânea
Sob as condições certas, o caos evolui espontaneamente para um padrão sincronizado. No modelo de Kuramoto , quatro condições são suficientes para produzir a sincronização em um sistema caótico. Os exemplos incluem a oscilação acoplada dos pêndulos, vaga-lumes, neurônios de Christiaan Huygens , a ressonância da London Millennium Bridge e grandes matrizes de junções Josephson .
História
Um dos primeiros defensores da teoria do caos foi Henri Poincaré . Na década de 1880, ao estudar o problema dos três corpos , ele descobriu que pode haver órbitas que não são periódicas e, ainda assim, não aumentam para sempre nem se aproximam de um ponto fixo. Em 1898, Jacques Hadamard publicou um estudo influente do movimento caótico de uma partícula livre deslizando sem atrito em uma superfície de curvatura negativa constante, chamado de " bilhar de Hadamard ". Hadamard foi capaz de mostrar que todas as trajetórias são instáveis, em que todas as trajetórias de partículas divergem exponencialmente umas das outras, com um expoente de Lyapunov positivo .
A teoria do caos começou no campo da teoria ergódica . Estudos posteriores, também sobre o tópico de equações diferenciais não lineares , foram realizados por George David Birkhoff , Andrey Nikolaevich Kolmogorov , Mary Lucy Cartwright e John Edensor Littlewood e Stephen Smale . Exceto por Smale, esses estudos foram todos diretamente inspirados pela física: o problema dos três corpos no caso de Birkhoff, turbulência e problemas astronômicos no caso de Kolmogorov e engenharia de rádio no caso de Cartwright e Littlewood. Embora o movimento planetário caótico não tenha sido observado, os experimentalistas encontraram turbulência no movimento dos fluidos e oscilação não periódica em circuitos de rádio sem o benefício de uma teoria para explicar o que estavam vendo.
Apesar dos insights iniciais na primeira metade do século XX, a teoria do caos tornou-se formalizada como tal apenas depois de meados do século, quando se tornou evidente para alguns cientistas que a teoria linear , a teoria do sistema prevalecente naquela época, simplesmente não conseguia explicar o observado comportamento de certos experimentos como o do mapa logístico . O que havia sido atribuído à imprecisão da medida e ao simples " ruído " foi considerado pelos teóricos do caos como um componente completo dos sistemas estudados.
O principal catalisador para o desenvolvimento da teoria do caos foi o computador eletrônico. Grande parte da matemática da teoria do caos envolve a iteração repetida de fórmulas matemáticas simples, o que seria impraticável de fazer à mão. Computadores eletrônicos tornaram práticos esses cálculos repetidos, enquanto figuras e imagens possibilitaram a visualização desses sistemas. Como estudante de graduação no laboratório de Chihiro Hayashi na Universidade de Kyoto, Yoshisuke Ueda estava fazendo experiências com computadores analógicos e percebeu, em 27 de novembro de 1961, o que chamou de "fenômenos de transição aleatória". Mesmo assim, seu conselheiro não concordou com suas conclusões na época e não permitiu que ele relatasse suas descobertas até 1970.
Edward Lorenz foi um dos primeiros pioneiros da teoria. Seu interesse pelo caos surgiu acidentalmente por meio de seu trabalho com previsão do tempo em 1961. Lorenz estava usando um computador digital simples, um Royal McBee LGP-30 , para executar sua simulação do tempo. Ele queria ver uma sequência de dados novamente e, para economizar tempo, iniciou a simulação no meio de seu curso. Ele fez isso inserindo uma impressão dos dados que correspondiam às condições no meio da simulação original. Para sua surpresa, o tempo que a máquina começou a prever era completamente diferente do cálculo anterior. Lorenz rastreou isso até a impressão do computador. O computador funcionou com precisão de 6 dígitos, mas a impressão arredondou as variáveis para um número de 3 dígitos, portanto, um valor como 0,506127 impresso como 0,506. Essa diferença é minúscula, e o consenso na época seria que não deveria ter efeito prático. No entanto, Lorenz descobriu que pequenas mudanças nas condições iniciais produziram grandes mudanças no resultado de longo prazo. A descoberta de Lorenz, que deu o nome aos atratores de Lorenz , mostrou que mesmo a modelagem atmosférica detalhada não pode, em geral, fazer previsões meteorológicas precisas de longo prazo.
Em 1963, Benoit Mandelbrot encontrou padrões recorrentes em todas as escalas nos dados sobre os preços do algodão. Antes, ele havia estudado a teoria da informação e concluído que o ruído era padronizado como um conjunto de Cantor : em qualquer escala, a proporção de períodos contendo ruído para períodos livres de erros era uma constante - portanto, os erros eram inevitáveis e devem ser planejados incorporando redundância. Mandelbrot descreveu tanto o "efeito Noah" (no qual mudanças descontínuas repentinas podem ocorrer) quanto o "efeito Joseph" (no qual a persistência de um valor pode ocorrer por um tempo, mas mudar repentinamente depois). Isso desafiou a ideia de que as mudanças no preço eram normalmente distribuídas . Em 1967, ele publicou " Qual é a extensão da costa da Grã-Bretanha? Auto-similaridade estatística e dimensão fracionária ", mostrando que o comprimento de um litoral varia com a escala do instrumento de medição, se assemelha a si mesmo em todas as escalas e é infinito em comprimento para um dispositivo de medição infinitesimalmente pequeno. Argumentando que uma bola de barbante aparece como um ponto quando vista de longe (0-dimensional), uma bola quando vista de perto (tridimensional) ou um fio curvo (unidimensional), ele argumentou que as dimensões de um objeto é relativo ao observador e pode ser fracionário. Um objeto cuja irregularidade é constante em diferentes escalas ("auto-similaridade") é um fractal (exemplos incluem a esponja Menger , a junta Sierpiński e a curva de Koch ou floco de neve , que é infinitamente longo, mas envolve um espaço finito e tem um fractal dimensão de cerca de 1,2619). Em 1982, Mandelbrot publicou The Fractal Geometry of Nature , que se tornou um clássico da teoria do caos. Os sistemas biológicos, como a ramificação dos sistemas circulatório e brônquico, mostraram-se adequados a um modelo fractal.
Em dezembro de 1977, a Academia de Ciências de Nova York organizou o primeiro simpósio sobre o caos, com a presença de David Ruelle, Robert May , James A. Yorke (inventor do termo "caos" usado em matemática), Robert Shaw e o meteorologista Edward Lorenz. No ano seguinte, Pierre Coullet e Charles Tresser publicaram "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", e o artigo de Mitchell Feigenbaum "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations" finalmente apareceu em um jornal, após 3 anos de rejeições de árbitros. Assim, Feigenbaum (1975) e Coullet & Tresser (1978) descobriram a universalidade no caos, permitindo a aplicação da teoria do caos a muitos fenômenos diferentes.
Em 1979, Albert J. Libchaber , durante um simpósio organizado em Aspen por Pierre Hohenberg , apresentou sua observação experimental da cascata de bifurcação que leva ao caos e turbulência nos sistemas de convecção Rayleigh-Bénard . Ele recebeu o Prêmio Wolf de Física em 1986, juntamente com Mitchell J. Feigenbaum, por suas conquistas inspiradoras.
Em 1986, a Academia de Ciências de Nova York co-organizou com o Instituto Nacional de Saúde Mental e o Escritório de Pesquisa Naval a primeira conferência importante sobre o caos na biologia e na medicina. Lá, Bernardo Huberman apresentou um modelo matemático do transtorno de rastreamento ocular entre esquizofrênicos . Isso levou a uma renovação da fisiologia na década de 1980, por meio da aplicação da teoria do caos, por exemplo, no estudo dos ciclos cardíacos patológicos .
Em 1987, Per Bak , Chao Tang e Kurt Wiesenfeld publicaram um artigo na Physical Review Letters descrevendo pela primeira vez a criticidade auto-organizada (SOC), considerada um dos mecanismos pelos quais a complexidade surge na natureza.
Ao lado de abordagens baseadas em laboratório, como a pilha de areia Bak-Tang-Wiesenfeld , muitas outras investigações se concentraram em sistemas naturais ou sociais de grande escala que são conhecidos (ou suspeitos) por exibirem comportamento invariável em escala . Embora essas abordagens nem sempre fossem bem-vindas (pelo menos inicialmente) por especialistas nos assuntos examinados, SOC, no entanto, se estabeleceu como um forte candidato para explicar uma série de fenômenos naturais, incluindo terremotos , (que, muito antes de SOC ser descoberto, eram conhecidos como uma fonte de comportamento invariante de escala, como a lei de Gutenberg-Richter, que descreve a distribuição estatística dos tamanhos dos terremotos, e a lei de Omori, que descreve a frequência dos tremores secundários), erupções solares , flutuações em sistemas econômicos, como os mercados financeiros (referências a SOC são comum em econofísica ), formação de paisagem, incêndios florestais , deslizamentos de terra , epidemias e evolução biológica (onde SOC foi invocado, por exemplo, como o mecanismo dinâmico por trás da teoria de " equilíbrios pontuados " apresentada por Niles Eldredge e Stephen Jay Gould ) . Dadas as implicações de uma distribuição livre de escala de tamanhos de eventos, alguns pesquisadores sugeriram que outro fenômeno que deveria ser considerado um exemplo de SOC é a ocorrência de guerras . Essas investigações de SOC incluíram tentativas de modelagem (seja desenvolvendo novos modelos ou adaptando os existentes às especificações de um determinado sistema natural) e uma extensa análise de dados para determinar a existência e / ou características das leis de escala natural.
No mesmo ano, James Gleick publicou Chaos: Making a New Science , que se tornou um best-seller e apresentou os princípios gerais da teoria do caos, bem como sua história, para o grande público, embora sua história subestimasse importantes contribuições soviéticas. Inicialmente domínio de poucos indivíduos isolados, a teoria do caos progressivamente emergiu como uma disciplina transdisciplinar e institucional, principalmente sob o nome de análise de sistemas não lineares . Aludindo ao conceito de Thomas Kuhn de uma mudança de paradigma exposto em The Structure of Scientific Revolutions (1962), muitos "chaologistas" (como alguns se descreveram) afirmaram que esta nova teoria era um exemplo de tal mudança, uma tese defendida por Gleick .
A disponibilidade de computadores mais baratos e poderosos amplia a aplicabilidade da teoria do caos. Atualmente, a teoria do caos permanece uma área ativa de pesquisa, envolvendo muitas disciplinas diferentes, como matemática , topologia , física , sistemas sociais , modelagem populacional , biologia , meteorologia , astrofísica , teoria da informação , neurociência computacional , gerenciamento de crises pandêmicas , etc.
Formulários
Embora a teoria do caos tenha nascido da observação de padrões climáticos, ela se tornou aplicável a uma variedade de outras situações. Algumas áreas que se beneficiam da teoria do caos hoje são geologia , matemática , biologia , ciência da computação , economia , engenharia , finanças , comércio algorítmico , meteorologia , filosofia , antropologia , física , política , dinâmica populacional , psicologia e robótica . Algumas categorias estão listadas abaixo com exemplos, mas esta não é uma lista abrangente, pois novos aplicativos estão aparecendo.
Criptografia
A teoria do caos foi usada por muitos anos na criptografia . Nas últimas décadas, o caos e a dinâmica não linear foram usados no projeto de centenas de primitivas criptográficas . Esses algoritmos incluem algoritmos de criptografia de imagem , funções hash , geradores de números pseudo-aleatórios seguros , cifras de fluxo , marca d'água e esteganografia . A maioria desses algoritmos é baseada em mapas caóticos unimodais e uma grande parte desses algoritmos usa os parâmetros de controle e a condição inicial dos mapas caóticos como suas chaves. De uma perspectiva mais ampla, sem perda de generalidade, as semelhanças entre os mapas caóticos e os sistemas criptográficos são a principal motivação para o projeto de algoritmos criptográficos baseados no caos. Um tipo de criptografia, chave secreta ou chave simétrica , depende de difusão e confusão , que é bem modelada pela teoria do caos. Outro tipo de computação, a computação de DNA , quando combinada com a teoria do caos, oferece uma maneira de criptografar imagens e outras informações. Muitos dos algoritmos criptográficos DNA-Chaos provaram ser inseguros ou sugeriu-se que a técnica aplicada não era eficiente.
Robótica
A robótica é outra área que recentemente se beneficiou da teoria do caos. Em vez de robôs agindo em um tipo de refinamento de tentativa e erro para interagir com seu ambiente, a teoria do caos foi usada para construir um modelo preditivo . Dinâmicas caóticas foram exibidas por robôs bípedes que andam passivos .
Biologia
Por mais de cem anos, os biólogos têm monitorado populações de diferentes espécies com modelos populacionais . A maioria dos modelos são contínuos , mas recentemente os cientistas foram capazes de implementar modelos caóticos em certas populações. Por exemplo, um estudo sobre modelos de lince canadense mostrou que havia um comportamento caótico no crescimento populacional. O caos também pode ser encontrado em sistemas ecológicos, como a hidrologia . Embora um modelo caótico para hidrologia tenha suas deficiências, ainda há muito a aprender examinando os dados pelas lentes da teoria do caos. Outra aplicação biológica é encontrada na cardiotocografia . A vigilância fetal é um equilíbrio delicado entre a obtenção de informações precisas e, ao mesmo tempo, o mais não invasivo possível. Melhores modelos de sinais de alerta de hipóxia fetal podem ser obtidos por meio de modelagem caótica.
Economia
É possível que os modelos econômicos também possam ser aprimorados por meio da aplicação da teoria do caos, mas prever a saúde de um sistema econômico e quais fatores mais o influenciam é uma tarefa extremamente complexa. Os sistemas econômicos e financeiros são fundamentalmente diferentes daqueles nas ciências naturais clássicas, uma vez que os primeiros são inerentemente estocásticos por natureza, pois resultam das interações das pessoas e, portanto, os modelos determinísticos puros provavelmente não fornecerão representações precisas dos dados. A literatura empírica que testa o caos em economia e finanças apresenta resultados muito mistos, em parte devido à confusão entre testes específicos para o caos e testes mais gerais para relações não lineares.
O caos pode ser encontrado na economia por meio da análise de quantificação de recorrência . Na verdade, Orlando et al. por meio do chamado índice de correlação de quantificação de recorrência foram capazes de detectar mudanças ocultas nas séries temporais. Em seguida, a mesma técnica foi empregada para detectar as transições das fases laminar (isto é, regular) para as turbulentas (ou seja, caóticas), bem como as diferenças entre as variáveis macroeconômicas e destacar as características ocultas da dinâmica econômica. Finalmente, o caos pode ajudar na modelagem de como a economia opera, bem como na incorporação de choques devido a eventos externos, como COVID-19. Para uma conta atualizada sobre as ferramentas e os resultados obtidos calibrando empiricamente e testando modelos caóticos determinísticos (por exemplo, Kaldor-Kalecki, Goodwin, Harrod), consulte Orlando et al.
Outras áreas
Em química, prever a solubilidade do gás é essencial para a fabricação de polímeros , mas os modelos que usam a otimização por enxame de partículas (PSO) tendem a convergir para os pontos errados. Uma versão melhorada do PSO foi criada introduzindo o caos, que evita que as simulações travem. Na mecânica celeste , especialmente ao observar asteróides, a aplicação da teoria do caos leva a melhores previsões sobre quando esses objetos se aproximarão da Terra e de outros planetas. Quatro das cinco luas de Plutão giram caoticamente. Em física quântica e engenharia elétrica , o estudo de grandes arranjos de junções Josephson se beneficiou muito da teoria do caos. Mais perto de casa, as minas de carvão sempre foram lugares perigosos, onde freqüentes vazamentos de gás natural causam muitas mortes. Até recentemente, não havia uma maneira confiável de prever quando eles ocorreriam. Mas esses vazamentos de gás têm tendências caóticas que, quando adequadamente modeladas, podem ser previstas com bastante precisão.
A teoria do caos pode ser aplicada fora das ciências naturais, mas historicamente quase todos esses estudos sofreram com a falta de reprodutibilidade; validade externa pobre; e / ou falta de atenção à validação cruzada, resultando em baixa precisão preditiva (se a previsão fora da amostra tiver sido tentada). Glass, Mandell e Selz descobriram que nenhum estudo de EEG ainda indicou a presença de atratores estranhos ou outros sinais de comportamento caótico.
Os pesquisadores continuaram a aplicar a teoria do caos à psicologia. Por exemplo, ao modelar o comportamento do grupo no qual membros heterogêneos podem se comportar como se compartilhassem em diferentes graus o que na teoria de Wilfred Bion é uma suposição básica, os pesquisadores descobriram que a dinâmica do grupo é o resultado da dinâmica individual dos membros: cada indivíduo reproduz a dinâmica do grupo em uma escala diferente, e o comportamento caótico do grupo se reflete em cada membro.
Redington e Reidbord (1992) tentaram demonstrar que o coração humano pode apresentar características caóticas. Eles monitoraram as mudanças nos intervalos entre os batimentos cardíacos de uma única paciente em psicoterapia à medida que ela passava por períodos de intensidade emocional variável durante uma sessão de terapia. Os resultados foram reconhecidamente inconclusivos. Não só havia ambigüidades nos vários gráficos que os autores produziram para supostamente mostrar evidências de dinâmica caótica (análise espectral, trajetória de fase e gráficos de autocorrelação), mas também quando eles tentaram calcular um expoente de Lyapunov como uma confirmação mais definitiva do comportamento caótico, o os autores descobriram que não podiam fazer isso de maneira confiável.
Em seu artigo de 1995, Metcalf e Allen sustentaram que descobriram no comportamento animal um padrão de duplicação do período que leva ao caos. Os autores examinaram uma resposta bem conhecida chamada polidipsia induzida por cronograma, pela qual um animal privado de comida por certo período de tempo beberá quantidades incomuns de água quando o alimento for finalmente apresentado. O parâmetro de controle (r) operando aqui era a duração do intervalo entre as mamadas, uma vez retomado. Os autores tiveram o cuidado de testar um grande número de animais e incluir muitas replicações, e planejaram seu experimento de modo a descartar a probabilidade de que mudanças nos padrões de resposta fossem causadas por diferentes pontos de partida para r.
As séries temporais e os primeiros gráficos de atraso fornecem o melhor suporte para as reivindicações feitas, mostrando uma marcha bastante clara da periodicidade para a irregularidade à medida que os tempos de alimentação aumentavam. Os vários gráficos de trajetória de fase e análises espectrais, por outro lado, não combinam bem o suficiente com os outros gráficos ou com a teoria geral para levar inexoravelmente a um diagnóstico caótico. Por exemplo, as trajetórias de fase não mostram uma progressão definida para uma complexidade cada vez maior (e para longe da periodicidade); o processo parece bastante turvo. Além disso, onde Metcalf e Allen viram períodos de dois e seis em seus gráficos espectrais, há espaço para interpretações alternativas. Toda essa ambigüidade requer alguma explicação serpentina e post-hoc para mostrar que os resultados se encaixam em um modelo caótico.
Ao adaptar um modelo de aconselhamento de carreira para incluir uma interpretação caótica da relação entre os funcionários e o mercado de trabalho, Amundson e Bright descobriram que melhores sugestões podem ser feitas para pessoas que lutam com decisões de carreira. As organizações modernas são cada vez mais vistas como sistemas adaptativos complexos abertos com estruturas não lineares naturais fundamentais, sujeitas a forças internas e externas que podem contribuir para o caos. Por exemplo, a construção de equipes e o desenvolvimento de grupos estão cada vez mais sendo pesquisados como um sistema inerentemente imprevisível, pois a incerteza de diferentes indivíduos que se encontram pela primeira vez torna a trajetória da equipe desconhecida.
Alguns dizem que a metáfora do caos - usada em teorias verbais - baseada em modelos matemáticos e aspectos psicológicos do comportamento humano fornece insights úteis para descrever a complexidade de pequenos grupos de trabalho, que vão além da própria metáfora.
A previsão de tráfego pode se beneficiar das aplicações da teoria do caos. Melhores previsões de quando o tráfego ocorrerá permitiriam que medidas fossem tomadas para dispersá-lo antes que ocorresse. A combinação dos princípios da teoria do caos com alguns outros métodos levou a um modelo de previsão de curto prazo mais preciso (veja o gráfico do modelo de tráfego BML à direita).
A teoria do caos foi aplicada aos dados do ciclo ambiental da água (também conhecidos como dados hidrológicos), como precipitação e vazão. Esses estudos produziram resultados controversos, porque os métodos para detectar uma assinatura caótica costumam ser relativamente subjetivos. Os primeiros estudos tenderam a "ter sucesso" em encontrar o caos, ao passo que estudos e metanálises subsequentes questionaram esses estudos e forneceram explicações de por que esses conjuntos de dados provavelmente não teriam uma dinâmica caótica de baixa dimensão.
Veja também
- Exemplos de sistemas caóticos
- Contornos Advected
- Mapa do gato de Arnold
- Dinâmica de bola quicando
- Circuito de Chua
- Cliodinâmica
- Estrutura do mapa acoplado
- Pêndulo duplo
- Equação de Duffing
- Bilhar Dinâmico
- Bolha econômica
- Sistema Gaspard-Rice
- Mapa Hénon
- Mapa de ferradura
- Lista de mapas caóticos
- Atrator Rössler
- Mapa padrão
- Máquina de balançar de Atwood
- Incline um redemoinho
- Outros tópicos relacionados
- Morte de amplitude
- Difeomorfismo anosov
- Teoria da catástrofe
- Causalidade
- Teoria do caos no desenvolvimento organizacional
- Máquina do caos
- Mistura caótica
- Dispersão caótica
- Controle do caos
- Determinismo
- Borda do caos
- Emergência
- Conjunto Mandelbrot
- Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser
- Mal-condicionado
- Maldade
- Sistema não linear
- Padrões na natureza
- Previsibilidade
- Caos quântico
- Instituto Santa Fe
- Sincronização do caos
- Conseqüência não intencional
- Pessoas
Referências
Leitura adicional
Artigos
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links externos
Recursos da biblioteca sobre a teoria do caos |
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- Grupo de pesquisa de dinâmica não linear com animações em Flash
- O grupo Chaos da Universidade de Maryland
- The Chaos Hypertextbook . Uma cartilha introdutória sobre caos e fractais
- ChaosBook.org Um livro de pós-graduação avançado sobre o caos (sem fractais)
- Sociedade para a Teoria do Caos em Psicologia e Ciências da Vida
- Grupo de Pesquisa de Dinâmica Não Linear no CSDC , Florença , Itália
- Experimento interativo de pêndulo caótico ao vivo , permite que os usuários interajam e amostrem dados de um pêndulo caótico acionado amortecido em funcionamento real
- Dinâmica não linear: como a ciência compreende o caos , palestra apresentada por Sunny Auyang, 1998.
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- Uma página sobre a equação de Mackey-Glass
- High Anxieties - The Mathematics of Chaos (2008) Documentário da BBC dirigido por David Malone
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- Jos Leys, Étienne Ghys e Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure . Nove filmes sobre sistemas dinâmicos, o efeito borboleta e a teoria do caos, destinados a um amplo público.
- "Chaos Theory" , BBC Radio 4 Discussion with Susan Greenfield, David Papineau & Neil Johnson ( In Our Time , 16 de maio de 2002)
- Caos: A Ciência do Efeito Borboleta (2019), uma explicação apresentada por Derek Muller