polinômio característico - Characteristic polynomial


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Em álgebra linear , o polinomial característica de uma matriz quadrada é um polinomial que é invariante sob semelhança da matriz e tem os valores próprios como raízes . Tem o determinante e o traço da matriz como coeficientes. O polinomial característica de um endomorfismo de espaço vectorial de dimensão finita é o polinómio característico da matriz do endomorfismo sobre qualquer base; não dependem da escolha de uma base. A equação característica é a equação obtida igualando a zero o polinómio característico.

O polinomial característica de um gráfico representa a característica polinomial da sua matriz de adjacência . É um gráfico invariante , embora não está completa: o menor par de gráficos não-isomórficas com o mesmo polinômio característico tem cinco nós .

Motivação

Dada uma matriz quadrada A , queremos encontrar um polinômio cujos zeros são os valores próprios de A . Para uma matriz diagonal Um , o polinomial característica é fácil definir: se as entradas diagonais são uma 1um 2um 3 , etc., em seguida, o polinomial característica será:

Isso funciona porque as entradas diagonais são também os valores próprios desta matriz.

Para uma matriz geral A , pode-se proceder como se segue. Um escalar λ é um valor próprio de A , se e apenas se existe um vector próprio v ≠ 0 tal que

ou

(onde I é a matriz identidade ). Uma vez que v é diferente de zero, isto significa que a matriz λ I  -  Um é singular (não-invertível), que por sua vez significa que o seu determinante é 0. Assim, as raízes da função det ( λ  I  -  Um ) são os valores próprios de a , e é claro que esse determinante é um polinômio em λ .

Definição formal

Consideramos um n × n matriz A . O polinomial característica de um , designado por p A ( t ), é a polinomial definido pela

onde I indica o n -by- n matriz identidade .

Alguns autores definem o polinômio característico para ser det ( A  -  t  I ). Polinomial que difere da aqui definido por um sinal (-1) n , por isso não faz qualquer diferença para propriedades como ter como raízes dos valores próprios de uma ; No entanto, a atual definição sempre dá um polinômio monic , ao passo que a definição alternativa é monic somente quando é mesmo.

Exemplos

Suponha que queremos calcular o polinômio característico da matriz

Vamos agora calcular o determinante de

que é o polinómio característico de um .

Outro exemplo utiliza funções hiperbólicas de um ângulo hiperbólica φ. Para a matriz tomar

Sua polinômio característico é

propriedades

O polinómio p Um ( t ) é mónico (o seu coeficiente principal é 1) e o seu grau é n . O fato mais importante sobre o polinômio característico já foi mencionado no parágrafo motivacional: os valores próprios de A são precisamente as raízes de p A ( t ) (isto também vale para o polinômio mínimo de A , mas o seu grau pode ser inferior a n ) . Os coeficientes do polinômio característico são todas as expressões polinomiais nas entradas da matriz. Em particular, a sua constante coeficiente p A  (0) é det (- A ) = (-1) n det ( A ), o coeficiente de t n é um, e o coeficiente de t n -1 é tr (- A ) = -TR ( a ), em que tr ( a ) representa a matriz de rastreio de  um . (Os sinais fornecidos aqui correspondem à definição formal indicado na secção anterior, para a definição alternativa estes, ao invés, ser det ( A ) e (-1) n  - 1 tr ( A ), respectivamente).

Para uma matriz de 2 x 2 A , o polinomial característica é, assim, dada pela

Usando o idioma de álgebra exterior , pode-se expressar de forma compacta o polinómio característico de um n × n matriz Uma quanto

onde tr (Λ k A) é o traço do k th poder exterior de uma , a qual tem a dimensão . Este rastreamento pode ser calculado como a soma de todos os menores principais de A de tamanho k . O recursiva algoritmo Faddeev-Leverrier calcula esses coeficientes de forma mais eficiente.

Quando a característica é 0, pode, alternativamente, ser calculado como um único determinante, que do k x k matriz,

O teorema de Cayley-Hamilton afirma que a substituição t pela Uma no polinomial característica (interpretação dos poderes resultantes como potências de matriz, e o termo constante c como c vezes a matriz identidade) produz a matriz nula. Informalmente falando, cada matriz satisfaz sua própria equação característica. Esta declaração é equivalente a dizer que o polinômio mínimo de A divide o polinômio característico de A .

Duas matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico. O inverso, contudo, não é verdade em geral: duas matrizes com o mesmo polinômio característico não precisa ser similar.

A matriz A e da sua transposição têm a mesma característica polinomial. Um é semelhante a uma matriz triangular se e apenas se a sua característica polinomial pode ser completamente tidos em conta factores lineares mais de K (o mesmo acontece com o polinómio mínima em vez do polinómio característica). Neste caso Uma é semelhante a uma matriz em forma normal Jordan .

polinômio característico de um produto de duas matrizes

Se A e B são dois quadrados n X n matrizes, em seguida, polinómios característicos de AB e BA coincidem:

Quando A é não singular este resultado decorre do facto de que AB e BA são semelhantes :

Para o caso em que tanto A e B são diferentes, pode-se observar que a identidade desejada é uma igualdade entre polinómios em T e os coeficientes das matrizes. Assim, para provar esta igualdade, é suficiente para provar que é verificado sobre um não-vazia subconjunto aberto (para o habitual topologia , ou, mais geralmente, para a topologia Zariski ) do espaço de todos os coeficientes. À medida que as matrizes não singulares formar um subconjunto tais aberta do espaço de todas as matrizes, isto prova o resultado.

De modo mais geral, se A é uma matriz de ordem m × n e B é uma matriz de ordem n x m , em seguida, AB é m x m e BA é nxn matriz, e um tem

Para provar isso, pode-se supor n > m , por meio da troca, se necessário, A e B . Em seguida, por fronteira com um na parte inferior por n - m filas de zeros, e B no lado direito, por, n - m colunas de zeros, obtém-se dois nxn matrizes A ' e B' tal que B'A' = BA , e A'B' é igual a AB limitada por n - m linhas e colunas de zeros. O resultado segue a partir do caso de matrizes quadradas, comparando os polinómios característicos de A'B' e AB .

função secular e equação secular

função secular

O termo função secular tem sido usado para o que agora é chamado polinômio característico (em alguma literatura a função secular termo ainda é usado). O termo vem do fato de que o polinômio característico foi usado para calcular perturbações seculares (em uma escala de tempo de um século, isto é lenta comparada com movimento anual) das órbitas planetárias, de acordo com Lagrange teoria de oscilações 's.

equação secular

Equação secular pode ter vários significados.

  • Em álgebra linear às vezes é usado no lugar da equação característica.
  • Em astronomia é a expressão algébrica ou numérica da magnitude das desigualdades em movimento de um planeta que permanecem após as desigualdades de um curto período foram autorizados para.
  • Em orbitais moleculares cálculos relacionados com a energia do electrão e a sua função de onda também for usado em vez da equação característica.

Veja também

Referências

links externos