Simetria C - C-symmetry

Na física , a conjugação de carga é uma transformação que troca todas as partículas com suas antipartículas correspondentes , mudando assim o sinal de todas as cargas : não apenas a carga elétrica, mas também as cargas relevantes para outras forças. O termo simetria C é uma abreviatura da frase "simetria de conjugação de carga" e é usado em discussões sobre a simetria das leis físicas sob a conjugação de carga. Outras simetrias discretas importantes são a simetria P (paridade) e a simetria T (inversão de tempo).

Essas simetrias discretas, C, P e T, são simetrias das equações que descrevem as forças fundamentais conhecidas da natureza: eletromagnetismo , gravidade , as interações forte e fraca . Verificar se alguma dada equação matemática modela corretamente a natureza requer dar interpretação física não apenas às simetrias contínuas , como o movimento no tempo, mas também às suas simetrias discretas , e então determinar se a natureza adere a essas simetrias. Ao contrário das simetrias contínuas, a interpretação das simetrias discretas é um pouco mais exigente e confusa intelectualmente. Uma surpresa precoce apareceu na década de 1950, quando Chien Shiung Wu demonstrou que a interação fraca violava a simetria P (e, portanto, C). Por várias décadas, parecia que a simetria combinada CP foi preservada, até que as interações que violam CP foram descobertas. Ambas as descobertas levam a prêmios Nobel .

O C-simetria é particularmente problemático, fisicamente, como o universo é preenchido principalmente com a matéria , não anti-a matéria , enquanto que os ingénuos C-simetria das leis físicas sugere que não deve haver quantidades iguais de ambos. Atualmente, acredita-se que a violação de CP durante o início do universo pode ser responsável pelo "excesso" de matéria, embora o debate não esteja resolvido. Livros anteriores de cosmologia , anteriores à década de 1970, sugeriam rotineiramente que talvez galáxias distantes fossem feitas inteiramente de antimatéria, mantendo assim um saldo líquido de zero no universo.

Este artigo se concentra em expor e articular a simetria C de várias equações e sistemas teóricos importantes, incluindo a equação de Dirac e a estrutura da teoria quântica de campos . As várias partículas fundamentais podem ser classificadas de acordo com o comportamento sob conjugação de carga; isto é descrito no artigo sobre C-paridade .

Visão geral informal

A conjugação de carga ocorre como uma simetria em três configurações diferentes, mas intimamente relacionadas: uma simetria das soluções (clássicas, não quantizadas) de várias equações diferenciais notáveis, incluindo a equação de Klein-Gordon e a equação de Dirac , uma simetria dos campos quânticos correspondentes , e em um cenário geral, uma simetria na geometria (pseudo-) Riemanniana . Em todos os três casos, a simetria é finalmente revelado para ser uma simetria sob conjugação complexa , embora exatamente o que está sendo conjugado, onde pode ser às vezes ofuscado, dependendo de notação, coordenar escolhas e outros fatores.

Em campos clássicos

A simetria de conjugação de carga é interpretada como a de carga elétrica , pois em todos os três casos (clássico, quântico e geometria), podem-se construir correntes Noether que se assemelham às da eletrodinâmica clássica . Isso ocorre porque a própria eletrodinâmica, por meio das equações de Maxwell , pode ser interpretada como uma estrutura em um feixe de fibras U (1) , o chamado feixe circular . Isso fornece uma interpretação geométrica do eletromagnetismo: o potencial eletromagnético é interpretado como a conexão do medidor (a conexão de Ehresmann ) no feixe de círculo. Essa interpretação geométrica então permite (literalmente quase) qualquer coisa que possua uma estrutura de valor numérico complexo ser acoplada ao campo eletromagnético, desde que esse acoplamento seja feito de uma forma invariante de bitola . A simetria de calibre, neste cenário geométrico, é uma afirmação de que, conforme alguém se move ao redor do círculo, o objeto acoplado também deve se transformar de uma "forma circular", seguindo de forma correspondente. Mais formalmente, diz-se que as equações devem ser invariáveis de calibre sob uma mudança de quadros de coordenadas locais no círculo. Para U (1), esta é apenas a afirmação de que o sistema é invariante sob multiplicação por um fator de fase que depende da coordenada (espaço-tempo). Nesta configuração geométrica, a conjugação de carga pode ser entendida como a simetria discreta que realiza a conjugação complexa , que inverte o sentido de direção ao redor do círculo. ${\ displaystyle A _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ phi (x)}}$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle z = (x + iy) \ mapsto {\ overline {z}} = (x-iy)}$

Na teoria quântica

Na teoria quântica de campos , a conjugação de cargas pode ser entendida como a troca de partículas por antipartículas . Para entender essa afirmação, é necessário ter um entendimento mínimo do que é a teoria quântica de campos. Em termos (amplamente) simplificados, é uma técnica para realizar cálculos para obter soluções para um sistema de equações diferenciais acopladas via teoria de perturbação . Um ingrediente chave para este processo é o campo quântico , um para cada uma das equações diferenciais (livres, desacopladas) no sistema. Um campo quântico é convencionalmente escrito como

{\ displaystyle \ psi (x) = \ int d ^ {3} p \ sum _ {\ sigma, n} e ^ {- ip \ cdot x} a \ left ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ direita) u \ esquerda ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ direita) + e ^ {ip \ cdot x} a ^ {\ dagger} \ left ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ direita) v \ esquerda ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ direita)}

onde é o momento, é um rótulo de spin, é um rótulo auxiliar para outros estados do sistema. Os e são operadores de criação e aniquilação ( operadores de escada ) e são soluções para a equação diferencial (livre, não interagente, desacoplada) em questão. O campo quântico desempenha um papel central porque, em geral, não se sabe como obter soluções exatas para o sistema de questões diferenciais acopladas. No entanto, por meio da teoria de perturbação, soluções aproximadas podem ser construídas como combinações das soluções de campo livre. Para realizar esta construção, é necessário ser capaz de extrair e trabalhar com qualquer uma das soluções de campo livre, sob demanda, quando necessário. O campo quântico fornece exatamente isso: ele enumera todas as soluções de campo livre possíveis em um espaço vetorial de forma que qualquer uma delas possa ser destacada em qualquer momento, por meio dos operadores de criação e aniquilação. ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle u, v}$

Os operadores de criação e aniquilação obedecem às relações de comutação canônicas , em que um operador "desfaz" o que o outro "cria". Isso implica que qualquer solução deve ser emparelhada com sua "antissolução" para que uma desfaça ou cancele a outra. O emparelhamento deve ser executado de forma que todas as simetrias sejam preservadas. Como geralmente se está interessado na invariância de Lorentz , o campo quântico contém uma integral sobre todos os quadros de coordenadas de Lorentz possíveis, escrito acima como uma integral sobre todos os momentos possíveis (é uma integral sobre a fibra do feixe do quadro ). O emparelhamento requer que um dado seja associado a um de momento e energia opostos. O campo quântico também é uma soma de todos os possíveis estados de spin; o emparelhamento duplo novamente combinando spins opostos. Da mesma forma para quaisquer outros números quânticos, eles também são emparelhados como opostos. Há uma dificuldade técnica em realizar esse emparelhamento duplo: deve-se descrever o que significa para uma determinada solução ser "dual" para alguma outra solução e descrevê-la de tal forma que permaneça consistentemente dual ao se integrar sobre a fibra de o feixe de quadros, ao integrar (somar) sobre a fibra que descreve o spin, e ao integrar (somar) sobre quaisquer outras fibras que ocorram na teoria. ${\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ right)}$ ${\ displaystyle v \ left ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ right)}$ ${\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}} \ right)}$ ${\ displaystyle v \ left ({\ vec {p}} \ right)}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v,}$

Quando a fibra a ser integrada é a fibra U (1) do eletromagnetismo, o emparelhamento duplo é tal que a direção (orientação) na fibra é invertida. Quando a fibra a ser integrada é a fibra SU (3) da carga de cor , o emparelhamento duplo novamente inverte a orientação. Isso "simplesmente funciona" para SU (3) porque tem duas representações fundamentais duais e que podem ser emparelhadas naturalmente. Essa prescrição para um campo quântico naturalmente se generaliza para qualquer situação em que se possa enumerar as simetrias contínuas do sistema e definir os duais de maneira coerente e consistente. O emparelhamento une cargas opostas no sentido totalmente abstrato. Na física, uma carga está associada a um gerador de simetria contínua. Diferentes cargas estão associadas a diferentes autoespaços dos invariantes de Casimir da álgebra envolvente universal para essas simetrias. Este é o caso de tanto a simetria de Lorentz da subjacente espaço-tempo colector , bem como as simetrias de quaisquer fibras no feixe de fibras colocadas por cima do colector de espaço-tempo. A dualidade substitui o gerador da simetria com menos o gerador. A conjugação de carga está, portanto, associada à reflexão ao longo do feixe de linhas ou feixe determinante do espaço de simetrias. ${\ displaystyle \ mathbf {3}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {3}}}}$

O que está acima, então, é um esboço da ideia geral de um campo quântico na teoria quântica de campos. A interpretação física é que as soluções correspondem a partículas e as soluções correspondem a antipartículas e, portanto, a conjugação de carga é um emparelhamento das duas. Este esboço também fornece dicas suficientes para indicar como a conjugação de carga pode se parecer em um cenário geométrico geral. Não há nenhum requisito particular forçado para usar a teoria de perturbação, para construir campos quânticos que atuarão como intermediários em uma expansão perturbativa. A conjugação de carga pode ter uma configuração geral. ${\ displaystyle u \ left ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ right)}$ ${\ displaystyle v \ left ({\ vec {p}}, \ sigma, n \ right)}$

Em geometria

Para variedades Riemannianas gerais e pseudo-Riemannianas , temos um feixe tangente , um feixe cotangente e uma métrica que une os dois. Existem várias coisas interessantes que podemos fazer, quando nos deparamos com essa situação. Uma é que a estrutura suave permite que equações diferenciais sejam colocadas na variedade; os espaços tangente e cotangente fornecem estrutura suficiente para realizar cálculos em variedades . De grande interesse é o Laplaciano e, com um termo constante, o que equivale ao operador de Klein-Gordon. Os feixes cotangentes, por sua construção básica, são sempre variedades simpléticas . Variedades simpléticas possuem coordenadas canônicas interpretadas como posição e momento, obedecendo a relações de comutação canônicas . Isso fornece a infraestrutura central para estender a dualidade e, assim, a conjugação de carga, para esse cenário geral. ${\ displaystyle x, p}$

Uma segunda coisa interessante que se pode fazer é construir uma estrutura de spin . Talvez a coisa mais notável sobre isso é que é uma generalização muito reconhecível para uma variedade pseudo-Riemanniana -dimensional do conceito de física convencional de espinores vivendo em um espaço-tempo de Minkowski (1,3) -dimensional . A construção passa por uma álgebra de Clifford complexificada para construir um pacote de Clifford e uma variedade de spin . No final desta construção, obtém-se um sistema que é notavelmente familiar, se já se conhece os espinores de Dirac e a equação de Dirac. Várias analogias passam por esse caso geral. Primeiro, os espinores são os espinores de Weyl , e eles vêm em pares complexos-conjugados. Eles são naturalmente anti-comutação (isso segue da álgebra de Clifford), que é exatamente o que se deseja fazer contato com o princípio de exclusão de Pauli . Outra é a existência de um elemento quiral , análogo à matriz gama, que classifica esses espinores em subespaços destros e esquerdos. A complexificação é um ingrediente chave e fornece "eletromagnetismo" neste cenário generalizado. O feixe de spin não "apenas" se transforma sob o grupo pseudo-ortogonal , a generalização do grupo de Lorentz , mas sob um grupo maior, o grupo de spin complexificado. É maior porque tem uma cobertura dupla por ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {5}}$ ${\ displaystyle SO (p, q)}$ ${\ displaystyle SO (1,3)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Spin} ^ {\ mathbb {C}} (p, q).}$ ${\ displaystyle SO (p, q) \ vezes U (1).}$

A peça pode ser identificada com o eletromagnetismo de várias maneiras diferentes. Uma maneira é que os operadores Dirac na variedade de spin, quando ao quadrado, contêm uma peça com origem daquela parte da conexão associada à peça. Isso é inteiramente análogo ao que acontece quando se eleva ao quadrado a equação de Dirac comum no espaço-tempo comum de Minkowski. Uma segunda dica é que essa peça está associada ao feixe determinante da estrutura de spin, efetivamente ligando os espinores esquerdo e direito por meio de uma conjugação complexa. ${\ displaystyle U (1)}$ ${\ displaystyle F = dA}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle U (1)}$ ${\ displaystyle U (1)}$

O que resta é trabalhar as simetrias discretas da construção acima. Há vários que aparecem generalizar P-simetria e T-simetria . Identificando as dimensões com o tempo e as dimensões com o espaço, pode-se inverter os vetores tangentes no subespaço dimensional para obter a reversão do tempo, e inverter a direção das dimensões corresponde à paridade. A simetria C pode ser identificada com a reflexão no feixe de linha. Para amarrar tudo isso em um nó, finalmente temos o conceito de transposição , em que os elementos da álgebra de Clifford podem ser escritos em ordem reversa (transposta). O resultado líquido é que não apenas as idéias convencionais da física de campos passam para o cenário Riemanniano geral, mas também as idéias das simetrias discretas. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

Existem duas maneiras de reagir a isso. Uma é tratá-lo como uma curiosidade interessante. A outra é perceber que, em dimensões baixas (em espaço-tempo de baixa dimensão), existem muitos isomorfismos "acidentais" entre vários grupos de Lie e outras estruturas variadas. Ser capaz de examiná-los em um cenário geral desemaranha essas relações, expondo mais claramente "de onde as coisas vêm".

Conjugação de carga para campos Dirac

As leis do eletromagnetismo ( clássico e quântico ) são invariantes sob a troca de cargas elétricas com seus negativos. Para o caso de elétrons e quarks , os quais são campos de partícula férmion fundamentais , as excitações de campo de partícula única são descritas pela equação de Dirac.

{\ displaystyle (i {\ partial \! \! \! {\ big /}} - q {A \! \! \! {\ big /}} - m) \ psi = 0}

Deseja-se encontrar uma solução de conjugado de carga

{\ displaystyle (i {\ partial \! \! \! {\ big /}} + q {A \! \! \! {\ big /}} - m) \ psi ^ {c} = 0}

Um punhado de manipulações algébricas é suficiente para obter a segunda a partir da primeira. As exposições padrão da equação de Dirac demonstram um campo conjugado interpretado como um campo anti-partícula, satisfazendo a equação de Dirac transposta por complexo ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0},}$

{\ displaystyle {\ overline {\ psi}} (- i {\ partial \! \! \! {\ big /}} - q {A \! \! \! {\ big /}} - m) = 0 }

Observe que alguns sinais, mas não todos, mudaram. Transpor isso de volta dá quase a forma desejada, desde que se possa encontrar uma matriz 4 × 4 que transpõe as matrizes gama para inserir a mudança de sinal necessária: ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle C \ gamma _ {\ mu} C ^ {- 1} = - \ gamma _ {\ mu} ^ {\ textf {T}}}

A solução do conjugado de carga é então dada pela involução

{\ displaystyle \ psi \ mapsto \ psi ^ {c} = \ eta _ {c} \, C {\ overline {\ psi}} ^ {\ textf {T}}}

A matriz 4 × 4, chamada de matriz de conjugação de carga, tem uma forma explícita dada no artigo sobre matrizes gama . Curiosamente, esta forma não é independente de representação, mas depende da representação de matriz específica escolhida para o grupo gama (o subgrupo da álgebra de Clifford captura as propriedades algébricas das matrizes gama ). Esta matriz é dependente da representação devido a uma interação sutil envolvendo a complexificação do grupo de spin que descreve a covariância de Lorentz de partículas carregadas. O número complexo é um fator de fase arbitrário geralmente considerado como ${\ displaystyle C,}$ ${\ displaystyle \ eta _ {c}}$ ${\ displaystyle | \ eta _ {c} | = 1,}$ ${\ displaystyle \ eta _ {c} = 1.}$

Conjugação de carga, quiralidade, helicidade

A interação entre quiralidade e conjugação de carga é um pouco sutil e requer articulação. Costuma-se dizer que a conjugação de carga não altera a quiralidade das partículas. Este não é o caso dos campos , a diferença que surge na interpretação das partículas da "teoria do buraco", em que uma antipartícula é interpretada como a ausência de uma partícula. Isso é articulado a seguir.

Convencionalmente, é usado como o operador quiralidade. Sob conjugação de carga, ele se transforma como ${\ displaystyle \ gamma _ {5}}$

{\ displaystyle C \ gamma _ {5} C ^ {- 1} = \ gamma _ {5} ^ {\ textf {T}}}

e ser igual ou não depende da representação escolhida para as matrizes gama. Na base Dirac e quiral, tem-se isso , enquanto é obtido na base Majorana. Segue um exemplo prático. ${\ displaystyle \ gamma _ {5} ^ {\ textf {T}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {5} ^ {\ textf {T}} = \ gamma _ {5}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {5} ^ {\ textf {T}} = - \ gamma _ {5}}$

Weyl spinors

Para o caso de campos de espinor de Dirac sem massa, quiralidade é igual a helicidade para as soluções de energia positiva (e menos a helicidade para soluções de energia negativa). Consegue-se isso escrevendo a equação de Dirac sem massa como

{\ displaystyle i \ partial \! \! \! {\ big /} \ psi = 0}

Multiplicando por um obtém ${\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {0} = - i \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}$

{\ displaystyle {\ epsilon _ {ij}} ^ {m} \ sigma ^ {ij} \ parcial _ {m} \ psi = \ gamma _ {5} \ parcial _ {t} \ psi}

onde é o operador do momento angular e é o tensor totalmente antissimétrico . Isso pode ser levado a uma forma um pouco mais reconhecível definindo o operador de rotação 3D tomando um estado de onda plana , aplicando a restrição na casca e normalizando o momento para ser um vetor de unidade 3D: escrever ${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} = i \ left [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right] / 2}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$ ${\ displaystyle \ Sigma ^ {m} \ equiv {\ epsilon _ {ij}} ^ {m} \ sigma ^ {ij},}$ ${\ displaystyle \ psi (x) = e ^ {- ik \ cdot x} \ psi (k)}$ ${\ displaystyle k \ cdot k = 0}$ ${\ displaystyle {\ hat {k}} _ {i} = k_ {i} / k_ {0}}$

{\ displaystyle \ left (\ Sigma \ cdot {\ hat {k}} \ right) \ psi = \ gamma _ {5} \ psi ~.}

Examinando o acima, conclui-se que os autoestados do momento angular ( autoestados de helicidade ) correspondem aos autoestados do operador quiral . Isso permite que o campo Dirac sem massa seja claramente dividido em um par de espinores de Weyl e cada um satisfazendo individualmente a equação de Weyl , mas com energia oposta: ${\ displaystyle \ psi _ {\ text {L}}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {\ text {R}},}$

{\ displaystyle \ left (-p_ {0} + \ sigma \ cdot {\ vec {p}} \ right) \ psi _ {\ text {R}} = 0}

e

{\ displaystyle \ left (p_ {0} + \ sigma \ cdot {\ vec {p}} \ right) \ psi _ {\ text {L}} = 0}

Observe a liberdade que se tem de igualar a helicidade negativa com a energia negativa e, portanto, a antipartícula com a partícula de helicidade oposta. Para ficar claro, aqui estão as matrizes de Pauli e é o operador de momento. ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle p _ {\ mu} = i \ parcial _ {\ mu}}$

Conjugação de carga na base quiral

Tomando a representação de Weyl das matrizes gama, pode-se escrever um (agora considerado massivo) espinor de Dirac como

{\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ text {L}} \\\ psi _ {\ text {R}} \ end {pmatrix}}}

O campo duplo (anti-partícula) correspondente é

{\ displaystyle {\ overline {\ psi}} ^ {\ textf {T}} = \ left (\ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ right) ^ {\ textf {T}} = {\ begin {pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ text {L}} ^ {*} \\\ psi _ {\ text {R}} ^ {*} \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatriz} \ psi _ {\ text {R}} ^ {*} \\\ psi _ {\ text {L}} ^ {*} \ end {pmatriz}}}

Os espinores de carga-conjugado são

{\ displaystyle \ psi ^ {c} = {\ begin {pmatriz} \ psi _ {\ text {L}} ^ {c} \\\ psi _ {\ text {R}} ^ {c} \ end {pmatriz }} = \ eta _ {c} C {\ overline {\ psi}} ^ {\ textf {T}} = \ eta _ {c} {\ begin {pmatrix} -i \ sigma ^ {2} & 0 \\ 0 & i \ sigma ^ {2} \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ text {R}} ^ {*} \\\ psi _ {\ text {L}} ^ {*} \ end {pmatrix}} = \ eta _ {c} {\ begin {pmatrix} -i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ text {R}} ^ {*} \\ i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ text {L}} ^ {*} \ end {pmatrix}}}

onde, como antes, é um fator de fase que pode ser considerado como sendo. Observe que os estados esquerdo e direito são trocados. Isso pode ser restaurado com uma transformação de paridade. Sob paridade , o espinor de Dirac se transforma como ${\ displaystyle \ eta _ {c}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {c} = 1.}$

{\ displaystyle \ psi \ left (t, {\ vec {x}} \ right) \ mapsto \ psi ^ {p} \ left (t, {\ vec {x}} \ right) = \ gamma ^ {0} \ psi \ left (t, - {\ vec {x}} \ right)}

Sob carga e paridade combinadas, então tem-se

{\ displaystyle \ psi \ left (t, {\ vec {x}} \ right) \ mapsto \ psi ^ {cp} \ left (t, {\ vec {x}} \ right) = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ text {L}} ^ {cp} \ left (t, {\ vec {x}} \ right) \\\ psi _ {\ text {R}} ^ {cp} \ left (t, {\ vec {x}} \ right) \ end {pmatrix}} = \ eta _ {c} {\ begin {pmatrix} -i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ text {L}} ^ {* } \ left (t, - {\ vec {x}} \ right) \\ i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ text {R}} ^ {*} \ left (t, - {\ vec { x}} \ right) \ end {pmatrix}}}

Convencionalmente, é feito globalmente. Consulte, no entanto, a nota abaixo. ${\ displaystyle \ eta _ {c} = 1}$

Condição de Majorana

A condição de Majorana impõe uma restrição entre o campo e seu conjugado de carga, a saber, que eles devem ser iguais: Isso talvez seja melhor declarado como o requisito de que o espinor de Majorana deve ser um autoestado da involução de conjugação de carga. ${\ displaystyle \ psi = \ psi ^ {c}.}$

Fazer isso requer alguns cuidados notacionais. Em muitos textos que discutem a conjugação de cargas, a involução não recebe um nome simbólico explícito, quando aplicada a soluções de partícula única da equação de Dirac. Isso está em contraste com o caso quando o campo quantizado é discutido, onde um operador unitário é definido (como feito em uma seção posterior, abaixo). Para a presente seção, deixe a involução ser nomeada de forma que Tomando este como um operador linear, pode-se considerar seus autoestados. A condição de Majorana destaca um desses: Existem, no entanto, dois desses auto-estados: Continuando na base de Weyl, como acima, esses auto-estados são ${\ displaystyle \ psi \ mapsto \ psi ^ {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: \ psi \ mapsto \ psi ^ {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi ^ {c}.}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi.}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi ^ {(\ pm)} = \ pm \ psi ^ {(\ pm)}.}$

{\ displaystyle \ psi ^ {(+)} = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ text {L}} \\ i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ text {L}} ^ {* } \ end {pmatrix}}}

e

{\ displaystyle \ psi ^ {(-)} = {\ begin {pmatrix} i \ sigma ^ {2} \ psi _ {\ text {R}} ^ {*} \\\ psi _ {\ text {R} } \ end {pmatrix}}}

O espinor de Majorana é convencionalmente considerado apenas como o autoestado positivo, ou seja, o operador quiral troca esses dois, nesse ${\ displaystyle \ psi ^ {(+)}.}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {5}}$

{\ displaystyle \ gamma _ {5} {\ mathsf {C}} = - {\ mathsf {C}} \ gamma _ {5}}

Isso é facilmente verificado por substituição direta. Tenha em mente que se não têm uma representação 4 × 4 matriz! Mais precisamente, não existe uma matriz 4 × 4 complexa que pode levar um número complexo ao seu conjugado complexo; esta inversão exigiria uma matriz real 8 × 8. A interpretação física da conjugação complexa como conjugação de carga torna-se clara quando se considera a conjugação complexa de campos escalares, descrita em uma seção subsequente abaixo. ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}}$

Os projectores para a autoestados quirais pode ser escrito como e e assim os traduz acima para ${\ displaystyle P _ {\ text {L}} = \ left (1- \ gamma _ {5} \ right) / 2}$ ${\ displaystyle P _ {\ text {R}} = \ left (1+ \ gamma _ {5} \ right) / 2,}$

{\ displaystyle P _ {\ text {L}} {\ mathsf {C}} = {\ mathsf {C}} P _ {\ text {R}} ~.}

Isso demonstra diretamente que a conjugação de carga, aplicada a soluções de número complexo de partícula única da equação de Dirac inverte a quiralidade da solução. Os projetores nos autoespaços de conjugação de carga são e ${\ displaystyle P ^ {(+)} = (1 + {\ mathsf {C}}) P _ {\ text {L}}}$ ${\ displaystyle P ^ {(-)} = (1 - {\ mathsf {C}}) P _ {\ text {R}}.}$

Interpretação geométrica

O fator de fase pode receber uma interpretação geométrica. Foi notado que, para espinores de Dirac massivos, o fator de fase "arbitrário" pode depender tanto do momento quanto da helicidade (mas não da quiralidade). Isso pode ser interpretado como dizendo que esta fase pode variar ao longo da fibra do feixe de espinhos , dependendo da escolha local de um quadro de coordenadas. Colocado de outra forma, um campo de espinor é uma seção local do feixe de espinor, e os impulsos e rotações de Lorentz correspondem a movimentos ao longo das fibras do feixe de quadro correspondente (novamente, apenas uma escolha do quadro de coordenadas local). Examinada dessa forma, essa liberdade de fase extra pode ser interpretada como a fase que surge do campo eletromagnético. Para os espinores Majorana , a fase seria restrita para não variar sob impulsos e rotações. ${\ displaystyle \ eta _ {c}}$ ${\ displaystyle \ eta _ {c}}$

Conjugação de carga para campos quantizados

O acima descreve a conjugação de carga para as soluções de partícula única apenas. Quando o campo de Dirac é quantizado em segundo lugar , como na teoria quântica de campos , o spinor e os campos eletromagnéticos são descritos por operadores. A involução de conjugação de carga, então, se manifesta como um operador unitário atuando nos campos de partículas, expresso como ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle \ psi \ mapsto \ psi ^ {c} = {\ mathcal {C}} \ psi {\ mathcal {C}} ^ {\ dagger} = \ eta _ {c} \, C {\ overline {\ psi}} ^ {\ textf {T}}}$
${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ mapsto {\ overline {\ psi}} ^ {c} = {\ mathcal {C}} {\ overline {\ psi}} {\ mathcal {C}} ^ { \ dagger} = \ eta _ {c} ^ {*} \, \ psi ^ {\ textf {T}} C ^ {- 1}}$
${\ displaystyle A _ {\ mu} \ mapsto A _ {\ mu} ^ {c} = {\ mathcal {C}} A _ {\ mu} {\ mathcal {C}} ^ {\ dagger} = - A _ {\ mu }}$

onde o não caligráfico é a mesma matriz 4x4 fornecida antes. ${\ displaystyle C}$

Reversão de carga na teoria eletrofraca

A conjugação de carga não altera a quiralidade das partículas. Um neutrino canhoto seria levado por conjugação de carga em um antineutrino canhoto , que não interage no modelo padrão. Esta propriedade é o que se entende por "violação máxima" da simetria C na interação fraca.

Algumas extensões postuladas do Modelo Padrão , como os modelos esquerda-direita , restauram essa simetria C.

Campos escalares

O campo de Dirac tem uma liberdade de medida "oculta" , permitindo que ele se acople diretamente ao campo eletromagnético sem quaisquer modificações adicionais na equação de Dirac ou no próprio campo. Este não é o caso dos campos escalares , que devem ser explicitamente "complexificados" para se acoplar ao eletromagnetismo. Isso é feito "tensorando" um fator adicional do plano complexo no campo, ou construindo um produto cartesiano com . ${\ displaystyle U (1)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U (1)}$

Uma técnica muito convencional é simplesmente começar com dois campos escalares reais, e e criar uma combinação linear ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ chi}$

{\ displaystyle \ psi \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ phi + i \ chi \ over {\ sqrt {2}}}}

A involução da conjugação de carga é então o mapeamento, pois isso é suficiente para inverter o sinal do potencial eletromagnético (já que este número complexo está sendo usado para se acoplar a ele). Para campos escalares reais, a conjugação de carga é apenas o mapa de identidade: e , portanto, para o campo complexificado, a conjugação de carga é apenas A seta "mapsto" é conveniente para rastrear "o que vai para onde"; a notação mais antiga equivalente é simplesmente escrever e e ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: i \ mapsto -i}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: \ phi \ mapsto \ phi}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: \ chi \ mapsto \ chi}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: \ psi \ mapsto \ psi ^ {*}.}$ ${\ displaystyle \ mapsto}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ phi = \ phi}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ chi = \ chi}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} \ psi = \ psi ^ {*}.}$

O acima descreve a construção convencional de um campo escalar carregado. Também é possível introduzir estrutura algébrica adicional nos campos de outras maneiras. Em particular, pode-se definir um campo "real" que se comporta como . Como é real, não podem se acoplar com o eletromagnetismo, por si só, mas, quando complexificada, resultaria em um campo carregado que transforma como causa C-simetria é uma simetria discreta , um tem alguma liberdade para jogar estes tipos de jogos algébricas na busca para uma teoria que modela corretamente alguma dada realidade física. ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: \ phi \ mapsto - \ phi}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: \ psi \ mapsto - \ psi ^ {*}.}$

Na literatura da física, uma transformação como aquela que pode ser escrita sem nenhuma explicação adicional. A interpretação matemática formal disso é que o campo é um elemento de onde. Assim, propriamente falando, o campo deve ser escrito como aquele que se comporta sob conjugação de carga, pois é muito tentador, mas não formalmente correto apenas multiplicá-los, para mover em torno da localização deste sinal de menos; na maioria das vezes, isso "simplesmente funciona", mas deixar de rastreá-lo adequadamente levará à confusão. ${\ displaystyle {\ mathsf {C}}: \ phi \ mapsto \ phi ^ {c} = - \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ {+ 1, -1 \}.}$ ${\ displaystyle \ phi = (r, c)}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {C}} :( r, c) \ mapsto (r, -c).}$

Combinação de inversão de carga e paridade

Por algum tempo, acreditou-se que a simetria C poderia ser combinada com a transformação de inversão de paridade (consulte Simetria P ) para preservar uma simetria CP combinada . No entanto, violações dessa simetria foram identificadas nas interações fracas (particularmente nos kaons e mésons B ). No modelo padrão, esta violação de CP é devido a uma única fase na matriz CKM . Se o CP for combinado com a inversão do tempo ( simetria T ), a simetria CPT resultante pode ser mostrada usando apenas os axiomas de Wightman para ser obedecido universalmente.

Em configurações gerais

O análogo de conjugação de carga pode ser definido para matrizes gama de dimensões superiores , com uma construção explícita para espinores de Weyl dada no artigo sobre matrizes de Weyl-Brauer . Note, no entanto, spinors conforme definido abstratamente na teoria da representação de álgebras de Clifford não são campos; em vez disso, eles devem ser considerados como existindo em um espaço-tempo de dimensão zero.

O análogo da simetria T segue de como o operador de conjugação T para espinores de Dirac. Os espinores também têm uma simetria P inerente , obtida invertendo a direção de todos os vetores básicos da álgebra de Clifford a partir da qual os espinores são construídos. A relação com as simetrias P e T para um campo de férmions em uma variedade do espaço-tempo é um pouco sutil, mas pode ser aproximadamente caracterizada como segue. Quando um spinor é construído por meio de uma álgebra de Clifford, a construção requer um espaço vetorial para ser construído. Por convenção, este espaço vetorial é o espaço tangente da variedade do espaço-tempo em um determinado ponto do espaço-tempo fixo (uma única fibra na variedade tangente ). As operações P e T aplicadas ao coletor do espaço-tempo podem então ser entendidas como também a inversão das coordenadas do espaço tangente; assim, os dois são colados. Inverter a paridade ou a direção do tempo em um também inverte o outro. Esta é uma convenção. Pode-se ficar descolado por não conseguir propagar essa conexão. ${\ displaystyle \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {3}}$

Isso é feito tomando o espaço tangente como um espaço vetorial , estendendo-o para uma álgebra de tensores e, em seguida, usando um produto interno no espaço vetorial para definir uma álgebra de Clifford . Tratando cada álgebra como uma fibra, obtém-se um feixe de fibras denominado feixe de Clifford . Sob uma mudança de base do espaço tangente, os elementos da álgebra de Clifford se transformam de acordo com o grupo de spin . Construir um feixe de fibras principal com o grupo de spin como a fibra resulta em uma estrutura de spin .

Tudo o que está faltando nos parágrafos acima são os próprios spinors . Isso requer a "complexificação" da variedade tangente: tensionando-a com o plano complexo. Feito isso, os espinores de Weyl podem ser construídos. Estes têm a forma

{\ displaystyle w_ {j} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (e_ {2j} -ie_ {2j + 1} \ right)}

onde são os vetores de base para o espaço vetorial , o espaço tangente no ponto na variedade do espaço-tempo. Os espinores de Weyl, junto com seus conjugados complexos abrangem o espaço tangente, no sentido de que ${\ displaystyle e_ {j}}$ ${\ displaystyle V = T_ {p} M}$ ${\ displaystyle p \ in M}$ ${\ displaystyle M.}$

{\ displaystyle V \ otimes \ mathbb {C} = W \ oplus {\ overline {W}}}

A álgebra alternada é chamada de espaço espinor , é onde vivem os espinores, bem como produtos de espinores (ou seja, objetos com valores de spin maiores, incluindo vetores e tensores). ${\ displaystyle \ wedge W}$

Tire uma folga; esta seção deve se expandir nas seguintes afirmações:

A obstrução à construção de estruturas de rotação é a classe c_2 de Stiefel-Whitney
A conjugação complexa troca os dois espinores
Os operadores de Dirac podem ser definidos ao quadrado com o Laplaciano, ou seja, o quadrado da conexão de Levi-Civita (mais a curvatura escalar mais a curvatura do feixe de linhas)
a curvatura do feixe de linha é explicitamente F = dA logo deve ser E&M

Veja também

Notas

Referências

Sozzi, MS (2008). Simetrias discretas e violação de CP . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-929666-8.

Languages

In other projects