Desigualdades de Chebyshev-Markov-Stieltjes - Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalities

Em análise matemática , os Chebyshev-Markov-Stieltjes desigualdades são as desigualdades relacionadas com o problema de momentos que foram formuladas na década de 1880 por Pafnuty Chebyshev e provaram de forma independente por Andrey Markov e (um pouco mais tarde) por Thomas Jan Stieltjes . Informalmente, eles fornecem limites nítidos em uma medida de cima e de baixo em termos de seus primeiros momentos .

Formulação

Dado m ₀ , ..., m _{2 m -1} ∈ R , considere a coleção C de medidas μ em R tal que

${\ displaystyle \ int x ^ {k} d \ mu (x) = m_ {k}}$

para k = 0,1, ..., 2 m  - 1 (e em particular a integral é definida e finita).

Sejam P ₀ , P ₁ , ..., P _m os primeiros m + 1 polinômios ortogonais em relação a μ ∈ C , e sejam ξ ₁ , ... ξ _m os zeros de P _m . Não é difícil ver que os polinômios P ₀ , P ₁ , ..., P _{m -1} e os números ξ ₁ , ... ξ _m são os mesmos para cada μ ∈ C e, portanto, são determinados exclusivamente por m ₀ , ..., m _{2 m -1} .

Denotar

${\ displaystyle \ rho _ {m-1} (z) = 1 {\ Big /} \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} | P_ {k} (z) | ^ {2}}$ .

Teorema para j = 1,2, ..., m , e qualquer μ ∈ C ,

${\ displaystyle \ mu (- \ infty, \ xi _ {j}] \ leq \ rho _ {m-1} (\ xi _ {1}) + \ cdots + \ rho _ {m-1} (\ xi _ {j}) \ leq \ mu (- \ infty, \ xi _ {j + 1}).}$

Referências