Teorema de Chern-Gauss-Bonnet - Chern–Gauss–Bonnet theorem

Na matemática , o teorema de Chern (ou o teorema de Chern-Gauss-Bonnet após Shiing-Shen Chern , Carl Friedrich Gauss e Pierre Ossian Bonnet ) afirma que a característica de Euler-Poincaré (um invariante topológico definido como a soma alternada dos números de Betti de um espaço topológico) de uma variedade Riemanniana de dimensão par fechada é igual à integral de um certo polinômio (a classe de Euler ) de sua forma de curvatura (um invariante analítico ).

É uma generalização altamente não trivial do teorema de Gauss-Bonnet clássico (para variedades / superfícies bidimensionais ) para variedades Riemannianas pares mais altas. Em 1943, Carl B. Allendoerfer e André Weil provaram ser um caso especial para variedades extrínsecas. Em um artigo clássico publicado em 1944, Shiing-Shen Chern provou o teorema em total generalidade conectando a topologia global com a geometria local .

Riemann-Roch e Atiyah-Singer são outras generalizações do teorema de Gauss-Bonnet.

Demonstração

Uma forma útil do teorema de Chern é que

{\ displaystyle \ chi (M) = \ int _ {M} e (\ Omega)}

onde denota a característica de Euler de M. A classe de Euler é definida como ${\ displaystyle \ chi (M)}$

{\ displaystyle e (\ Omega) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ operatorname {Pf} (\ Omega).}

onde temos o Pfaffian . Aqui M é uma variedade Riemanniana compacta orientável 2 n- dimensional sem limite , e é a forma de curvatura associada da conexão de Levi-Civita . Na verdade, a afirmação vale para a forma de curvatura de qualquer conexão métrica no feixe tangente, bem como para outros feixes de vetores over . ${\ displaystyle \ operatorname {Pf} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle M}$

Como a dimensão é 2 n , temos que é uma forma 2-diferencial avaliada em M (ver grupo ortogonal especial ). Portanto, pode ser considerada como uma matriz 2 n × 2 n simétrica com entradas em 2 formas, portanto, é uma matriz sobre o anel comutativo . Portanto, o Pfaffian é uma forma 2 n . Também é um polinômio invariante . ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {s}} {\ mathfrak {o}} (2n)}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ textstyle {\ bigwedge} ^ {\ text {even}} \, T ^ {*} M}$

No entanto, o teorema de Chern em geral é que para qualquer M n- dimensional orientável fechado , ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$

{\ displaystyle \ chi (M) = (e (TM), [M])}

onde o emparelhamento acima (,) denota o produto de cobertura com a classe de Euler do feixe tangente TM.

Provas

Em 1944, o teorema geral foi provado pela primeira vez por SS Chern em um artigo clássico publicado pelo departamento de matemática da Universidade de Princeton .

Em 2013, uma prova do teorema via Teorias de Campos Euclidianas supersimétricas também foi encontrada.

Formulários

O teorema de Chern-Gauss-Bonnet pode ser visto como uma instância especial na teoria das classes características . O integrando Chern é a classe Euler . Por ser uma forma diferencial de dimensão superior, ela é fechada. A naturalidade da classe de Euler significa que ao mudar a métrica Riemanniana , fica-se na mesma classe de cohomologia . Isso significa que a integral da classe de Euler permanece constante conforme a métrica é variada e, portanto, é uma invariante global da estrutura suave.

O teorema também encontrou inúmeras aplicações na física , incluindo:

fase adiabática ou fase de Berry ,
teoria das cordas ,
física da matéria condensada ,
Teoria de campo quântico topológico ,
fases topológicas da matéria (veja o Prêmio Nobel de Física 2016 por Duncan Haldane et al.).

Casos especiais

Variedades quadridimensionais

Em dimensão , para uma variedade orientada compacta, obtemos ${\ displaystyle 2n = 4}$

{\ displaystyle \ chi (M) = {\ frac {1} {32 \ pi ^ {2}}} \ int _ {M} \ left (| {\ text {Riem}} | ^ {2} -4 | {\ text {Ric}} | ^ {2} + R ^ {2} \ right) \, d \ mu}

onde é o tensor de curvatura de Riemann completo , é o tensor de curvatura de Ricci e é a curvatura escalar . Isso é particularmente importante na relatividade geral , onde o espaço-tempo é visto como uma variedade quadridimensional. ${\ displaystyle {\ text {Riem}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Ric}}}$ ${\ displaystyle R}$

Hipersuperfícies uniformes

Quando M é uma hipersuperfície compacta e dimensional em R ^{n + 1} , obtemos

{\ displaystyle \ int _ {M} K \, dV = {\ frac {1} {2}} \ gamma _ {n} \, \ chi (M)}

onde dV é o elemento de volume da hipersuperfície, é o determinante Jacobiano do mapa de Gauss e é a área da superfície da n-esfera unitária . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n}}$

Teorema de Gauss-Bonnet

O teorema de Gauss-Bonnet é um caso especial quando M é uma variedade bidimensional. Surge como o caso especial em que o índice topológico é definido em termos de números de Betti e o índice analítico é definido em termos do integrando de Gauss-Bonnet.

Tal como acontece com o teorema bidimensional de Gauss-Bonnet, existem generalizações quando M é uma variedade com limite .

Outras generalizações

Atiyah – Singer

Uma generalização de longo alcance do teorema de Gauss-Bonnet é o Teorema do Índice de Atiyah-Singer .

Let Ser um operador diferencial fracamente elíptico entre feixes de vetores. Isso significa que o símbolo principal é um isomorfismo . A elipticidade forte exigiria, além disso, que o símbolo fosse positivo-definido . ${\ displaystyle D}$

Deixe ser seu operador adjunto . Em seguida, o índice analítico é definido como ${\ displaystyle D ^ {*}}$

dim (ker ( D )) - dim (ker ( D *)),

Por elipticidade, isso é sempre finito. O teorema do índice diz que isso é constante, pois o operador elíptico é variado suavemente. É igual a um índice topológico , que pode ser expresso em termos de classes de características como a classe de Euler .

O teorema de Chern-Gauss-Bonnet é derivado considerando o operador de Dirac

{\ displaystyle D = d + d ^ {*}}

Dimensões ímpares

A fórmula de Chen é definida para dimensões pares porque a característica de Euler desaparece para dimensões ímpares. Há algumas pesquisas sendo feitas sobre 'torcer' o teorema do índice na teoria K para fornecer resultados não triviais para dimensões ímpares.

Também existe uma versão da fórmula de Chen para orbifolds .

História

Shiing-Shen Chern publicou sua prova do teorema em 1944, enquanto estava no Instituto de Estudos Avançados . Esta foi, historicamente, a primeira vez que a fórmula foi provada sem assumir que o múltiplo estava embutido em um espaço euclidiano, que é o que significa "intrínseco". O caso especial de uma hipersuperfície (uma subvariedade n-1-dimensional em um espaço euclidiano n-dimensional) foi provado por H. Hopf em que o integrando é a curvatura de Gauss-Kronecker (o produto de todas as curvaturas principais em um ponto do hipersuperfície). Isso foi generalizado independentemente por Allendoerfer em 1939 e Fenchel em 1940 para uma subvariedade Riemanniana de um espaço euclidiano de qualquer codimensão, para a qual eles usaram a curvatura de Lipschitz-Killing (a média da curvatura de Gauss-Kronecker ao longo de cada vetor normal da unidade sobre a unidade esfera no espaço normal; para uma subvariedade dimensional par, esta é uma invariante apenas dependendo da métrica de Riemann da subvariedade). Seu resultado seria válido para o caso geral se o teorema de incorporação de Nash pudesse ser assumido. No entanto, esse teorema não estava disponível então, pois John Nash publicou seu famoso teorema de incorporação para variedades Riemannianas em 1956. Em 1943, Allendoerfer e Weil publicaram sua prova para o caso geral, na qual eles primeiro usaram um teorema de aproximação de H. Whitney para reduzir o caso para variedades Riemannianas analíticas, então eles incorporaram "pequenas" vizinhanças da variedade isometricamente em um espaço euclidiano com a ajuda do teorema de incorporação local de Cartan-Janet, de modo que eles possam remendar essas vizinhanças incorporadas e aplicar o teorema de Allendoerfer acima e Fenchel para estabelecer o resultado global. Isso é, obviamente, insatisfatório porque o teorema envolve apenas invariantes intrínsecos da variedade, então a validade do teorema não deve depender de sua incorporação em um espaço euclidiano. Weil conheceu Chern em Princeton depois que Chern chegou em agosto de 1943. Ele disse a Chern que acreditava que deveria haver uma prova intrínseca, que Chern foi capaz de obter em duas semanas. O resultado é o artigo clássico de Chern "Uma prova intrínseca simples da fórmula de Gauss-Bonnet para variedades Riemannianas fechadas", publicado no Annals of Mathematics no ano seguinte. Os trabalhos anteriores de Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer e Weil foram citados por Chern neste artigo. O trabalho de Allendoerfer e Weil também foi citado por Chern em seu segundo artigo relacionado ao mesmo tópico.

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