Formulário de Chern-Simons - Chern–Simons form

Em matemática , as formas de Chern-Simons são certas classes características secundárias . A teoria leva o nome de Shiing-Shen Chern e James Harris Simons , co-autores de um artigo de 1974 intitulado "Formas características e invariantes geométricos", do qual surgiu a teoria.

Definição

Dada uma variedade e uma álgebra de Lie com valor 1 de forma , sobre ela, podemos definir uma família de p- formas : ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Em uma dimensão, a forma 1 de Chern-Simons é dada por

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} [\ mathbf {A}].}$

Em três dimensões, a forma 3 de Chern-Simons é dada por

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} \ left [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {A} - {\ frac {1} {3}} \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ right] = \ operatorname {Tr} \ left [d \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} + {\ frac {2} {3}} \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A } \ wedge \ mathbf {A} \ right].}$

Em cinco dimensões, a forma 5 de Chern-Simons é dada por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ operatorname {Tr} \ left [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {A} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} + {\ frac {1} {10}} \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ right] \\ [6pt] = {} & \ operatorname {Tr} \ left [d \ mathbf {A} \ wedge d \ mathbf { A} \ wedge \ mathbf {A} + {\ frac {3} {2}} d \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} + {\ frac {3} {5}} \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ right] \ end {alinhado}} }$

onde a curvatura F é definida como

${\ displaystyle \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}.}$

A forma geral de Chern-Simons é definida de tal forma que ${\ displaystyle \ omega _ {2k-1}}$

${\ displaystyle d \ omega _ {2k-1} = \ operatorname {Tr} (F ^ {k}),}$

onde o produto da cunha é usado para definir F ^k . O lado direito desta equação é proporcional ao k- ésimo caractere Chern da conexão . ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Em geral, a forma p de Chern-Simons é definida para qualquer p ímpar .

Aplicação à física

Em 1978, Albert Schwarz formulou a teoria de Chern-Simons , a primeira teoria topológica de campo quântico , usando a forma de Chern-Simons.

Na teoria de calibre , a integral da forma de Chern-Simons é um invariante geométrico global e é tipicamente invariante de calibre adição de módulo de um inteiro.

Veja também

• Homomorfismo de Chern-Weil
• Anomalia quiral
• Teoria de campo quântico topológico
• Polinômio de Jones

Referências

Leitura adicional

• Chern, S.-S. ; Simons, J. (1974). "Formas características e invariantes geométricos". Annals of Mathematics . Segunda série. 99 (1): 48–69. doi : 10.2307 / 1971013 . JSTOR   1971013 .
• Bertlmann, Reinhold A. (2001). "Forma de Chern-Simons, operador de homotopia e anomalia" . Anomalies in Quantum Field Theory (edição revisada). Clarendon Press . pp. 321–341. ISBN   0-19-850762-3 .