Homomorfismo de Chern-Weil - Chern–Weil homomorphism

Em matemática , o homomorphism Chern-Weil é uma construção de base na teoria Chern-Weil que calcula topológicos invariantes de fibrados e feixes principais sobre um alisar colector M em termos de ligações e curvatura as classes representando no Rham cohomología anéis de M . Ou seja, a teoria forma uma ponte entre as áreas da topologia algébrica e da geometria diferencial . Foi desenvolvido no final dos anos 1940 por Shiing-Shen Chern e André Weil , na esteira das provas do teorema de Gauss-Bonnet generalizado . Essa teoria foi um passo importante na teoria das classes características .

Deixe G ser um real ou complexo grupo de Lie com álgebra de Lie , e deixe denotam a álgebra de -valued polinômios sobre (exatamente o mesmo argumento funciona se usado em vez de .) Let ser o subálgebra de pontos fixos em sob a ação adjunta de G ; isto é, a subálgebra que consiste em todos os polinômios f tal que , para todo g em G e x em , ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle f (\ operatorname {Ad} _ {g} x) = f (x)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Dado um principal G-bundle P em M , há um homomorfismo associado de -álgebras, ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G} \ para H ^ {*} (M; \ mathbb {C})}$ ,

chamado de homomorfismo de Chern-Weil , onde na cohomologia certa está a cohomologia de Rham . Este homomorfismo é obtido tomando polinômios invariantes na curvatura de qualquer conexão no feixe dado. Se G for compacto ou semi-simples, então o anel de cohomologia do espaço de classificação para G -bundles,, é isomorfo para a álgebra de polinômios invariantes: ${\ displaystyle BG}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G}}$

${\ displaystyle H ^ {*} (BG; \ mathbb {C}) \ cong \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G}.}$

(O anel de cohomologia de BG ainda pode ser dado no sentido de Rham:

${\ displaystyle H ^ {k} (BG; \ mathbb {C}) = \ varinjlim \ operatorname {ker} (d \ colon \ Omega ^ {k} (B_ {j} G) \ to \ Omega ^ {k + 1} (B_ {j} G)) / \ operatorname {im} d.}$

quando e são múltiplos.) ${\ displaystyle BG = \ varinjlim B_ {j} G}$${\ displaystyle B_ {j} G}$

Definição do homomorfismo

Escolha qualquer forma de conexão ω em P , e seja Ω a forma de curvatura associada ; ou seja, , o derivado covariante exterior de ω. If é uma função polinomial homogênea de grau  k ; isto é, para qualquer número complexo um e x em , então, visualizar f como um simétrica funcional em multilinear (ver o anel de funções polinomiais ), deixar ${\ displaystyle \ Omega = D \ omega}$${\ displaystyle f \ in \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G}}$${\ displaystyle f (ax) = a ^ {k} f (x)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ textstyle \ prod _ {1} ^ {k} {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle f (\ Omega)}$

ser a (valor escalar) forma de 2 k em P dada por

${\ displaystyle f (\ Omega) (v_ {1}, \ dots, v_ {2k}) = {\ frac {1} {(2k)!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S} } _ {2k}} \ epsilon _ {\ sigma} f (\ Omega (v _ {\ sigma (1)}, v _ {\ sigma (2)}), \ dots, \ Omega (v _ {\ sigma (2k- 1)}, v _ {\ sigma (2k)}))}$

onde v _i são vetores tangentes a P , é o sinal da permutação no grupo simétrico em 2 k números (veja formas com valor de álgebra de Lie # Operações , bem como Pfaffiano ). ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {2k}}$

Se, além disso, f é invariante; isto é, então pode-se mostrar que é uma forma fechada , ela desce para uma forma única em M e que a classe de cohomologia de Rham da forma é independente . Primeiro, essa é uma forma fechada que segue dos próximos dois lemas: ${\ displaystyle f (\ operatorname {Ad} _ {g} x) = f (x)}$${\ displaystyle f (\ Omega)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle f (\ Omega)}$

Lema 1: A forma em P desce para uma forma (única) em M ; ou seja, há uma forma em M que retrocede para . ${\ displaystyle f (\ Omega)}$${\ displaystyle {\ overline {f}} (\ Omega)}$${\ displaystyle f (\ Omega)}$

Lema 2: Se uma forma de em P desce para uma forma de M , então . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle d \ varphi = D \ varphi}$

De fato, a segunda identidade de Bianchi diz e, uma vez que D é uma derivação graduada, Finalmente, o Lema 1 diz que satisfaz a hipótese do Lema 2. ${\ displaystyle D \ Omega = 0}$${\ displaystyle Df (\ Omega) = 0.}$${\ displaystyle f (\ Omega)}$

Para ver o Lema 2, seja a projeção eh a projeção do subespaço horizontal. Então o Lema 2 é uma consequência do fato de que (o núcleo de é precisamente o subespaço vertical.) Quanto ao Lema 1, a primeira nota ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos P \ a M}$${\ displaystyle T_ {u} P}$${\ displaystyle d \ pi (hv) = d \ pi (v)}$${\ displaystyle d \ pi}$

${\ displaystyle f (\ Omega) (dR_ {g} (v_ {1}), \ dots, dR_ {g} (v_ {2k})) = f (\ Omega) (v_ {1}, \ dots, v_ {2k}), \, R_ {g} (u) = ug;}$

que é porque e f é invariável. Assim, pode-se definir pela fórmula: ${\ displaystyle R_ {g} ^ {*} \ Omega = \ operatorname {Ad} _ {g ^ {- 1}} \ Omega}$${\ displaystyle {\ overline {f}} (\ Omega)}$

${\ displaystyle {\ overline {f}} (\ Omega) ({\ overline {v_ {1}}}, \ dots, {\ overline {v_ {2k}}}) = f (\ Omega) (v_ {1 }, \ dots, v_ {2k}),}$

onde existem elevadores de : . ${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle {\ overline {v_ {i}}}}$${\ displaystyle d \ pi (v_ {i}) = {\ overline {v}} _ {i}}$

A seguir, mostramos que a classe de cohomologia de de Rham em M é independente de uma escolha de conexão. Sejam formas de conexão arbitrárias em P e seja a projeção. Colocar ${\ displaystyle {\ overline {f}} (\ Omega)}$${\ displaystyle \ omega _ {0}, \ omega _ {1}}$${\ displaystyle p \ dois pontos P \ times \ mathbb {R} \ a P}$

${\ displaystyle \ omega '= t \, p ^ {*} \ omega _ {1} + (1-t) \, p ^ {*} \ omega _ {0}}$

onde t é uma função suave fornecida por . Deixe ser as formas de curvatura de . Deixe ser as inclusões. Então é homotópico para . Assim, e pertencem à mesma classe de cohomologia de de Rham pela invariância de homotopia da cohomologia de de Rham . Finalmente, pela naturalidade e pela singularidade da descida, ${\ displaystyle P \ times \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (x, s) \ mapsto s}$${\ displaystyle \ Omega ', \ Omega _ {0}, \ Omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega ', \ omega _ {0}, \ omega _ {1}}$${\ displaystyle i_ {s}: M \ a M \ times \ mathbb {R}, \, x \ mapsto (x, s)}$${\ displaystyle i_ {0}}$${\ displaystyle i_ {1}}$${\ displaystyle i_ {0} ^ {*} {\ overline {f}} (\ Omega ')}$${\ displaystyle i_ {1} ^ {*} {\ overline {f}} (\ Omega ')}$

${\ displaystyle i_ {0} ^ {*} {\ overline {f}} (\ Omega ') = {\ overline {f}} (\ Omega _ {0})}$

e o mesmo para . Portanto, pertencem à mesma classe de cohomologia. ${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$${\ displaystyle {\ overline {f}} (\ Omega _ {0}), {\ overline {f}} (\ Omega _ {1})}$

A construção dá assim o mapa linear: (cf. Lema 1)

${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] _ {k} ^ {G} \ to H ^ {2k} (M; \ mathbb {C}), \, f \ mapsto \ left [ {\ overline {f}} (\ Omega) \ right].}$

Na verdade, pode-se verificar que o mapa assim obtido:

${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] ^ {G} \ para H ^ {*} (M; \ mathbb {C})}$

é um homomorfismo de álgebra .

Exemplo: classes Chern e personagem Chern

Let and its Lie álgebra. Para cada x em , podemos considerar seu polinômio característico em t : ${\ displaystyle G = \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ det \ left (It {x \ over 2 \ pi i} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} f_ {k} (x) t ^ {k},}$

onde i é a raiz quadrada de -1. Então, os polinômios invariantes estão ligados , já que o lado esquerdo da equação é. A k- ésima classe Chern de um pacote de vetor complexo suave E de classificação n em uma variedade M : ${\ displaystyle f_ {k}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle c_ {k} (E) \ in H ^ {2k} (M, \ mathbb {Z})}$

é dado como a imagem de sob o homomorfismo de Chern-Weil definido por E (ou mais precisamente o feixe de quadros de E ). Se t = 1, então é um polinômio invariante. A classe Chern total de E é a imagem desse polinômio; isso é, ${\ displaystyle f_ {k}}$${\ displaystyle \ det \ left (I- {x \ over 2 \ pi i} \ right) = 1 + f_ {1} (x) + \ cdots + f_ {n} (x)}$

${\ displaystyle c (E) = 1 + c_ {1} (E) + \ cdots + c_ {n} (E).}$

Directamente a partir da definição, pode-se mostrar que a e c dada acima satisfazem os axiomas de classes de Chern. Por exemplo, para a fórmula da soma de Whitney, consideramos ${\ displaystyle c_ {j}}$

${\ displaystyle c_ {t} (E) = [\ det \ left (It {\ Omega / 2 \ pi i} \ right)],}$

onde escrevemos para a forma 2 de curvatura em M do feixe vetorial E (portanto, é o descendente da forma de curvatura no feixe de estrutura de E ). O homomorfismo de Chern-Weil é o mesmo se usado . Agora, suponha que E seja uma soma direta de feixes de vetores e a forma de curvatura de de modo que, no termo da matriz, seja a matriz da diagonal do bloco com Ω _I 's na diagonal. Então, desde então , temos: ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle E_ {i}}$${\ displaystyle \ Omega _ {i}}$${\ displaystyle E_ {i}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ textstyle \ det (It {\ frac {\ Omega} {2 \ pi i}}) = \ det (It {\ frac {\ Omega _ {1}} {2 \ pi i}}) \ wedge \ dots \ wedge \ det (It {\ frac {\ Omega _ {m}} {2 \ pi i}})}$

${\ displaystyle c_ {t} (E) = c_ {t} (E_ {1}) \ cdots c_ {t} (E_ {m})}$

onde à direita a multiplicação é a de um anel de cohomologia: produto de xícara . Para a propriedade de normalização, calcula-se a primeira classe Chern da linha projetiva complexa ; consulte a classe Chern # Exemplo: o feixe tangente complexo da esfera de Riemann .

Desde então , também temos: ${\ displaystyle \ Omega _ {E \ otimes E '} = \ Omega _ {E} \ otimes I_ {E'} + I_ {E} \ otimes \ Omega _ {E '}}$

${\ displaystyle c_ {1} (E \ otimes E ') = c_ {1} (E) \ operatorname {rank} (E') + \ operatorname {rank} (E) c_ {1} (E ').}$

Finalmente, o caráter Chern de E é dado por

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = [\ operatorname {tr} (e ^ {- \ Omega / 2 \ pi i})] \ in H ^ {*} (M, \ mathbb {Q})}$

onde está a forma de curvatura de alguma conexão em E (uma vez que é nilpotente, é um polinômio em .) Então ch é um homomorfismo de anel : ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (E \ oplus F) = \ operatorname {ch} (E) + \ operatorname {ch} (F), \, \ operatorname {ch} (E \ otimes F) = \ operatorname { ch} (E) \ operatorname {ch} (F).}$

Agora, suponha que em algum anel R contendo o anel de cohomologia , haja a fatoração do polinômio em t : ${\ displaystyle H ^ {*} (M, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle c_ {t} (E) = \ prod _ {j = 0} ^ {n} (1+ \ lambda _ {j} t)}$

onde estão em R (às vezes são chamadas de raízes de Chern) . Então . ${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$${\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = e ^ {\ lambda _ {j}}}$

Exemplo: classes Pontrjagin

Se E é um pacote vetorial real suave em uma variedade M , então a k -ésima classe Pontrjagin de E é dada como:

${\ displaystyle p_ {k} (E) = (- 1) ^ {k} c_ {2k} (E \ otimes \ mathbb {C}) \ in H ^ {4k} (M; \ mathbb {Z})}$

onde escreveu para a complexificação de E . Equivalentemente, é a imagem sob a homomorphism Chern-Weil do polinômio invariante no dada por: ${\ displaystyle E \ otimes \ mathbb {C}}$${\ displaystyle g_ {2k}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle \ operatorname {det} \ left (It {x \ over 2 \ pi} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} g_ {k} (x) t ^ {k}.}$

O homomorfismo para pacotes de vetores holomórficos

Deixe E ser um holomórfica (Complex) vector de feixe no colector de um complexo de M . A forma de curvatura de E , com relação a alguma métrica hermitiana, não é apenas uma forma 2, mas é na verdade uma forma (1, 1) (ver pacote vetorial holomórfico # métricas hermitianas em um pacote vetorial holomórfico ). Portanto, o homomorfismo de Chern-Weil assume a forma: com , ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle G = \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} [{\ mathfrak {g}}] _ {k} \ to H ^ {k, k} (M; \ mathbb {C}), f \ mapsto [f (\ Omega)] .}$

Notas

Referências

• Bott, Raoul (1973), "On the Chern-Weil homomorphism and the continuou cohomology of Lie groups", Advances in Mathematics , 11 (3): 289-303, doi : 10.1016 / 0001-8708 (73) 90012-1 .
• Chern, Shiing-Shen (1951), Tópicos em Geometria Diferencial , Instituto de Estudos Avançados, notas de aula mimeografadas .
• Chern, Shiing-Shen (1995), Complex Manifolds Without Potential Theory , Springer-Verlag , ISBN   0-387-90422-0 , ISBN   3-540-90422-0 . (O apêndice deste livro, "Geometria de Classes de Características", é uma introdução muito clara e profunda ao desenvolvimento das idéias de classes de características.)
• Chern, Shiing-Shen ; Simons, James (1974), "formas características e invariantes geométricos", Annals of Mathematics , Second Series, 99 (1): 48–69, doi : 10.2307 / 1971013 , JSTOR   1971013 .
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963), Foundations of Differential Geometry, vol. 2 (nova ed.), Wiley-Interscience (publicado em 2004), MR   0152974 .
• Narasimhan, MS ; Ramanan, S. (1961), "Existence of universal connections" (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572, doi : 10.2307 / 2372896 , hdl : 10338.dmlcz / 700905 , JSTOR   2372896 , MR   0133772 .
• Morita, Shigeyuki (2000), "Geometry of Differential Forms", Translations of Mathematical Monographs , 201 , MR   1851352 .

Leitura adicional

• Freed, Daniel S .; Hopkins, Michael J. (2013). "Formas de Chern-Weil e teoria abstrata da homotopia". Boletim da American Mathematical Society . (NS). 50 (3): 431–468. arXiv : 1301.5959 . doi : 10.1090 / S0273-0979-2013-01415-0 . MR   3049871 .