Aula Chern - Chern class

Em matemática , em particular em topologia algébrica , geometria diferencial e geometria algébrica , as classes de Chern são classes características associadas a pacotes vetoriais complexos . Eles têm desde aplicações encontradas em física , manifolds Calabi-Yau , teoria da corda , teoria de Chern-Simons , teoria dos nós , invariantes de Gromov-Witten , teoria quântica de campos topológica , o Chern teorema etc.

As aulas de Chern foram introduzidas por Shiing-Shen Chern  ( 1946 ).

Abordagem geométrica

Ideia básica e motivação

As classes Chern são classes características . Eles são invariantes topológicos associados a pacotes vetoriais em uma variedade lisa. A questão de saber se dois pacotes vetoriais ostensivamente diferentes são iguais pode ser muito difícil de responder. As classes Chern fornecem um teste simples: se as classes Chern de um par de pacotes vetoriais não concordam, então os pacotes vetoriais são diferentes. O contrário, entretanto, não é verdade.

Em topologia, geometria diferencial e geometria algébrica, muitas vezes é importante contar quantas seções linearmente independentes um pacote vetorial possui. As classes de Chern oferecem algumas informações sobre isso por meio, por exemplo, do teorema de Riemann-Roch e do teorema do índice Atiyah-Singer .

As classes de Chern também podem ser calculadas na prática. Na geometria diferencial (e em alguns tipos de geometria algébrica), as classes de Chern podem ser expressas como polinômios nos coeficientes da forma de curvatura .

Construção

Existem várias maneiras de abordar o assunto, cada uma das quais enfoca um sabor ligeiramente diferente da aula de Chern.

A abordagem original para as classes de Chern era por meio da topologia algébrica: as classes de Chern surgem por meio da teoria da homotopia, que fornece um mapeamento associado a um pacote vetorial para um espaço de classificação (um Grassmanniano infinito neste caso). Para qualquer pacote vetorial complexo V sobre uma variedade M , existe um mapa f de M para o espaço de classificação, de modo que o pacote V é igual à retração, por f , de um pacote universal sobre o espaço de classificação, e as classes Chern de V pode, portanto, ser definido como o recuo das classes Chern do pacote universal. Por sua vez, essas classes universais de Chern podem ser explicitamente escritas em termos de ciclos de Schubert .

Pode-se mostrar que para quaisquer dois mapas f , g de M para o espaço de classificação cujas retrações são o mesmo feixe V , os mapas devem ser homotópicos. Portanto, o retrocesso de f ou g de qualquer classe universal de Chern para uma classe de cohomologia de M deve ser a mesma classe. Isso mostra que as classes Chern de V são bem definidas.

A abordagem de Chern usou geometria diferencial, por meio da abordagem da curvatura descrita predominantemente neste artigo. Ele mostrou que a definição anterior era de fato equivalente à dele. A teoria resultante é conhecida como teoria de Chern-Weil .

Há também uma abordagem de Alexander Grothendieck mostrando que axiomaticamente basta definir o caso do feixe de linha.

As aulas de Chern surgem naturalmente na geometria algébrica . As classes generalizadas de Chern em geometria algébrica podem ser definidas para feixes de vetores (ou mais precisamente, feixes localmente livres ) sobre qualquer variedade não singular. As classes algebro-geométricas de Chern não exigem que o campo subjacente tenha propriedades especiais. Em particular, os feixes de vetores não precisam ser necessariamente complexos.

Independentemente do paradigma particular, o significado intuitivo da classe Chern diz respeito aos 'zeros necessários' de uma seção de um pacote vetorial: por exemplo, o teorema que diz que não se pode pentear uma bola cabeluda ( teorema da bola cabeluda ). Embora essa seja uma questão estritamente falando sobre um feixe vetorial real (os "cabelos" em uma bola são na verdade cópias da linha real), existem generalizações em que os cabelos são complexos (veja o exemplo do teorema da bola peluda complexa abaixo) , ou para espaços projetivos unidimensionais sobre muitos outros campos.

Veja a teoria de Chern-Simons para mais discussão.

A classe Chern de pacotes de linha

(Seja X um espaço topológico com o tipo de homotopia de um complexo CW .)

Um caso especial importante ocorre quando V é um feixe de linha . Em seguida, a classe Chern única não trivial representa a primeira classe de Chern, que é um elemento do segundo grupo de cohomología X . Por ser a melhor classe de Chern, é igual à classe Euler do pacote.

A primeira classe Chern acaba sendo um invariante completo para classificar feixes de linhas complexos, topologicamente falando. Ou seja, há uma bijeção entre as classes de isomorfismo de feixes de linha sobre X e os elementos de , que associa a um feixe de linha sua primeira classe Chern. Além disso, esta bijeção é um homomorfismo de grupo (portanto, um isomorfismo): ${\ displaystyle H ^ {2} (X; \ mathbb {Z})}$

${\ displaystyle c_ {1} (L \ otimes L ') = c_ {1} (L) + c_ {1} (L');}$

o produto tensorial de feixes de linha complexos corresponde à adição no segundo grupo de cohomologia.

Na geometria algébrica, esta classificação de (classes de isomorfismo de) feixes de linhas complexas pela primeira classe de Chern é uma aproximação grosseira da classificação de (classes de isomorfismo de) feixes de linhas holomórficas por classes de divisores de equivalência linear .

Para pacotes vetoriais complexos de dimensão maior que um, as classes de Chern não são invariantes completas.

Construções

Via a teoria de Chern-Weil

Dado um complexo hermitiana vector feixe V de classificação complexo n ao longo de um tubo de distribuição suave H , um representante de cada classe de Chern (também chamado uma forma Chern ) de V são dadas como os coeficientes do polinómio característico da forma de curvatura de V . ${\ displaystyle c_ {k} (V)}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ det \ left ({\ frac {it \ Omega} {2 \ pi}} + I \ right) = \ sum _ {k} c_ {k} (V) t ^ {k}}$

O determinante é sobre o anel de matrizes cujas entradas são polinómios em T com coeficientes no álgebra conmutativo de até mesmo formas diferenciais complexas sobre M . A forma de curvatura de V é definida como ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega = d \ omega + {\ frac {1} {2}} [\ omega, \ omega]}$

ω com a forma de ligação e d o derivado de exterior , ou através do mesmo de expressão em que ω é uma forma de calibre para o grupo de calibre de V . O escalar t é usado aqui apenas como um indeterminado para gerar a soma do determinante, e que indica o n x n matriz identidade .

Dizer que a expressão dada é um representante da classe de Chern indica que 'classe' aqui significa até a adição de uma forma diferencial exata . Ou seja, as classes de Chern são classes de cohomologia no sentido da cohomologia de de Rham . Pode ser mostrado que as classes de cohomología das formas de Chern não dependem da escolha de ligação em V .

Se segue da identidade da matriz isso . Agora, aplicando a série Maclaurin para , obtemos a seguinte expressão para as formas Chern: ${\ displaystyle \ mathrm {tr} (\ ln (X)) = \ ln (\ det (X))}$${\ displaystyle \ mathrm {det} (X) = \ mathrm {exp} (\ mathrm {tr} (\ mathrm {ln} (X)))}$${\ displaystyle \ ln (X + I)}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} c_ {k} (V) t ^ {k} = \ left [I + i {\ frac {\ mathrm {tr} (\ Omega)} {2 \ pi}} t + { \ frac {\ mathrm {tr} (\ Omega ^ {2}) - \ mathrm {tr} (\ Omega) ^ {2}} {8 \ pi ^ {2}}} t ^ {2} + i {\ frac {-2 \ mathrm {tr} (\ Omega ^ {3}) + 3 \ mathrm {tr} (\ Omega ^ {2}) \ mathrm {tr} (\ Omega) - \ mathrm {tr} (\ Omega ) ^ {3}} {48 \ pi ^ {3}}} t ^ {3} + \ cdots \ right].}$

Por meio de uma aula de Euler

Pode-se definir uma classe Chern em termos de uma classe Euler. Essa é a abordagem do livro de Milnor e Stasheff e enfatiza o papel de uma orientação de um feixe vetorial .

A observação básica é que um pacote vetorial complexo vem com uma orientação canônica, em última análise porque está conectado. Conseqüentemente, alguém simplesmente define a classe Chern superior do bundle como sua classe de Euler (a classe de Euler do bundle vetorial real subjacente) e trata as classes Chern inferiores de maneira indutiva. ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$

A construção precisa é a seguinte. A ideia é fazer a mudança de base para obter um pacote de classificação a menos. Vamos ser um pacote complexo vector ao longo de um espaço paracompacto B . Pensando em B como sendo embutido em E como a seção zero, deixe e defina o novo pacote vetorial: ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos E \ a B}$ ${\ displaystyle B '= E \ setminus B}$

${\ displaystyle E '\ a B'}$

de tal modo que cada fibra é o quociente de uma fibra F de E pela recta definida por um diferente de zero vetor v em F (um ponto de B ' é especificada por uma fibra F de E e um vector diferente de zero em F ). Em seguida, tem posto uma menos do que a de E . Da sequência de Gisina para o feixe de fibras : ${\ displaystyle E '}$${\ displaystyle \ pi | _ {B '} \ dois pontos B' \ a B}$

${\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {H} ^ {k} (B; \ mathbb {Z}) {\ overset {\ pi | _ {B '} ^ {*}} {\ to}} \ operatorname { H} ^ {k} (B '; \ mathbb {Z}) \ para \ cdots,}$

vemos que é um isomorfismo para . Deixar ${\ displaystyle \ pi | _ {B '} ^ {*}}$${\ displaystyle k <2n-1}$

${\ displaystyle c_ {k} (E) = {\ begin {cases} {\ pi | _ {B '} ^ {*}} ^ {- 1} c_ {k} (E') & k <n \\ e (E _ {\ mathbb {R}}) & k = n \\ 0 & k> n \ end {casos}}}$

Em seguida, é necessário algum trabalho para verificar se os axiomas das classes de Chern são satisfeitos para esta definição.

Veja também: O isomorfismo de Thom .

Exemplos

O complexo feixe tangente da esfera de Riemann

Seja a esfera de Riemann : espaço projetivo complexo unidimensional . Suponha que z seja uma coordenada local holomórfica para a esfera de Riemann. Let Ser o feixe de vetores tangentes complexos tendo a forma em cada ponto, onde a é um número complexo. Provamos a versão complexa do teorema da bola cabeluda : V não tem seção que seja diferente de zero em todos os lugares. ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$ ${\ displaystyle V = T \ mathbb {CP} ^ {1}}$${\ displaystyle a \ parcial / \ parcial z}$

Para isso, precisamos do seguinte fato: a primeira classe Chern de um pacote trivial é zero, ou seja,

${\ displaystyle c_ {1} (\ mathbb {CP} ^ {1} \ times \ mathbb {C}) = 0.}$

Isso é evidenciado pelo fato de que um pacote trivial sempre admite uma conexão plana. Então, vamos mostrar que

${\ displaystyle c_ {1} (V) \ not = 0.}$

Considere a métrica Kähler

${\ displaystyle h = {\ frac {dzd {\ bar {z}}} {(1+ | z | ^ {2}) ^ {2}}}.}$

Um mostra prontamente que a forma da curvatura 2 é dada por

${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {2dz \ wedge d {\ bar {z}}} {(1+ | z | ^ {2}) ^ {2}}}.}$

Além disso, pela definição da primeira classe de Chern

${\ displaystyle c_ {1} = \ left [{\ frac {i} {2 \ pi}} \ operatorname {tr} \ Omega \ right].}$

Devemos mostrar que esta classe de cohomologia é diferente de zero. Basta calcular sua integral sobre a esfera de Riemann:

${\ displaystyle \ int c_ {1} = {\ frac {i} {\ pi}} \ int {\ frac {dz \ wedge d {\ bar {z}}} {(1+ | z | ^ {2} ) ^ {2}}} = 2}$

depois de mudar para coordenadas polares . Pelo teorema de Stokes , uma forma exata se integraria em 0, então a classe de cohomologia é diferente de zero.

Isso prova que não é um pacote vetorial trivial. ${\ displaystyle T \ mathbb {CP} ^ {1}}$

Espaço projetivo complexo

Existe uma sequência exata de feixes / feixes:

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} (1) ^ {\ oplus (n + 1)} \ para T \ mathbb {CP} ^ {n} \ para 0}$

onde está o feixe de estrutura (ou seja, o feixe de linha trivial), é o feixe de torção de Serre (ou seja, o feixe de hiperplano ) e o último termo diferente de zero é o feixe / feixe tangente . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {CP} ^ {n}} (1)}$

Existem duas maneiras de obter a sequência acima:

Pela aditividade da classe total de Chern (ou seja, a fórmula da soma de Whitney), ${\ displaystyle c = 1 + c_ {1} + c_ {2} + \ cdots}$

${\ displaystyle c (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}) {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} c (T \ mathbb {CP} ^ {n}) = c ( {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} (1)) ^ {n + 1} = (1 + a) ^ {n + 1},}$

onde a é o gerador canônico do grupo de cohomologia ; ou seja, o negativo da primeira classe Chern do feixe de linha tautológica (nota: quando é o dual de E ). Em particular, para qualquer , ${\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$${\ displaystyle c_ {1} (E ^ {*}) = - c_ {1} (E)}$${\ displaystyle E ^ {*}}$${\ displaystyle k \ geq 0}$

${\ displaystyle c_ {k} (\ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {n}) = {\ binom {n + 1} {k}} a ^ {k}.}$

Polinômio de Chern

Um polinômio Chern é uma maneira conveniente de lidar sistematicamente com classes Chern e noções relacionadas. Por definição, para um pacote vetorial complexo E , o polinômio de Chern c _t de E é dado por:

${\ displaystyle c_ {t} (E) = 1 + c_ {1} (E) t + \ cdots + c_ {n} (E) t ^ {n}.}$

Este não é um novo invariante: a variável formal t simplesmente mantém o controle do grau de c _k ( E ). Em particular, é completamente determinado pela classe total de Chern de E : e vice-versa. ${\ displaystyle c_ {t} (E)}$${\ displaystyle c (E) = 1 + c_ {1} (E) + \ cdots + c_ {n} (E)}$

A fórmula da soma de Whitney, um dos axiomas das classes de Chern (veja abaixo), diz que c _t é aditivo no sentido de:

${\ displaystyle c_ {t} (E \ oplus E ') = c_ {t} (E) c_ {t} (E').}$

Agora, se é uma soma direta de pacotes de linhas (complexas), segue-se da fórmula da soma que: ${\ displaystyle E = L_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {n}}$

${\ displaystyle c_ {t} (E) = (1 + a_ {1} (E) t) \ cdots (1 + a_ {n} (E) t)}$

onde estão as primeiras aulas de Chern. As raízes , chamadas raízes de Chern de E , determinam os coeficientes do polinômio: ou seja, ${\ displaystyle a_ {i} (E) = c_ {1} (L_ {i})}$${\ displaystyle a_ {i} (E)}$

${\ displaystyle c_ {k} (E) = \ sigma _ {k} (a_ {1} (E), \ ldots, a_ {n} (E))}$

onde σ _k são polinômios simétricos elementares . Em outras palavras, pensando em a _i como variáveis ​​formais, c _k "são" σ _k . Um fato básico sobre polinômios simétricos é que qualquer polinômio simétrico em, digamos, t _i 's é um polinômio em polinômios simétricos elementares em t _i 's. Tanto pelo princípio da divisão quanto pela teoria do anel, qualquer polinômio de Chern fatoriza em fatores lineares após ampliar o anel de cohomologia; E não precisa ser uma soma direta de feixes de linhas na discussão anterior. A conclusão é ${\ displaystyle c_ {t} (E)}$

"Pode-se avaliar qualquer polinômio simétrico f em um pacote vetorial complexo E escrevendo f como um polinômio em σ _k e, em seguida, substituindo σ _k por c _k ( E )."

Exemplo : temos polinômios s _k

${\ displaystyle t_ {1} ^ {k} + \ cdots + t_ {n} ^ {k} = s_ {k} (\ sigma _ {1} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {k} (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}))}$

com e assim por diante (cf. as identidades de Newton ). A soma ${\ displaystyle s_ {1} = \ sigma _ {1}, s_ {2} = \ sigma _ {1} ^ {2} -2 \ sigma _ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = e ^ {a_ {1} (E)} + \ cdots + e ^ {a_ {n} (E)} = \ sum s_ {k} (c_ {1} (E), \ ldots, c_ {n} (E)) / k!}$

é chamado de caractere Chern de E , cujos primeiros termos são: (retiramos E da escrita).

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (E) = \ operatorname {rk} + c_ {1} + {\ frac {1} {2}} (c_ {1} ^ {2} -2c_ {2}) + { \ frac {1} {6}} (c_ {1} ^ {3} -3c_ {1} c_ {2} + 3c_ {3}) + \ cdots.}$

Exemplo : A classe Todd de E é dada por:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {td} (E) & = \ prod _ {1} ^ {n} {a_ {i} \ over 1-e ^ {- a_ {i}}} = 1 + {1 \ over 2} c_ {1} + {1 \ over 12} (c_ {1} ^ {2} + c_ {2}) + \ cdots. \ End {alinhados}}}$

Observação : A observação de que uma classe Chern é essencialmente um polinômio simétrico elementar pode ser usada para "definir" as classes Chern. Seja G _n o Grassmanniano infinito de espaços vetoriais complexos n- dimensionais. É um espaço de classificação no sentido de que, dado um pacote vetorial complexo E de classificação n sobre X , há um mapa contínuo

${\ displaystyle f_ {E}: X \ para G_ {n}}$

único até a homotopia. O teorema de Borel diz que o anel de cohomologia de G _n é exatamente o anel de polinômios simétricos, que são polinômios em polinômios simétricos elementares σ _k ; então, o recuo de f _E diz:

${\ displaystyle f_ {E} ^ {*}: \ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}] \ to H ^ {*} (X, \ mathbb {Z} ).}$

Em seguida, coloca-se:

${\ displaystyle c_ {k} (E) = f_ {E} ^ {*} (\ sigma _ {k}).}$

Observação : Qualquer classe de característica é um polinômio nas classes de Chern, pela razão a seguir. Seja o functor contravariante que, para um complexo CW X , atribui o conjunto de classes de isomorfismo de feixes vetoriais complexos de classificação n sobre X e, para um mapa, seu retrocesso. Por definição, uma classe de característica é uma transformação natural do functor de cohomologia. As classes de características formam um anel por causa da estrutura do anel do anel de cohomologia. O lema de Yoneda diz que este anel de classes características é exatamente o anel de cohomologia de G _n : ${\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {C}} = [-, G_ {n}]}$${\ displaystyle H ^ {*} (-, \ mathbb {Z}).}$

${\ displaystyle \ operatorname {Nat} ([-, G_ {n}], H ^ {*} (-, \ mathbb {Z})) = H ^ {*} (G_ {n}, \ mathbb {Z} ) = \ mathbb {Z} [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}].}$

Fórmulas de computação

Deixe E ser um pacote vector de posição r e o polinômio #Chern dele. ${\ displaystyle c_ {t} (E) = \ sum _ {i = 0} ^ {r} c_ {i} (E) t ^ {i}}$

• Para a dupla pacote de , .${\ displaystyle E ^ {*}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle c_ {i} (E ^ {*}) = (- 1) ^ {i} c_ {i} (E)}$
• Se L for um pacote de linha, então

${\ displaystyle c_ {t} (E \ otimes L) = \ sum _ {i = 0} ^ {r} c_ {i} (E) c_ {t} (L) ^ {ri} t ^ {i}}$

e então são ${\ displaystyle c_ {i} (E \ otimes L), i = 1,2, \ dots, r}$

${\ displaystyle c_ {1} (E) + rc_ {1} (L), \ dots, \ sum _ {j = 0} ^ {i} {\ binom {r-i + j} {j}} c_ { ij} (E) c_ {1} (L) ^ {j}, \ dots, \ sum _ {j = 0} ^ {r} c_ {rj} (E) c_ {1} (L) ^ {j} .}$

• Para as raízes de Chern ,${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {r}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} c_ {t} (\ operatorname {Sym} ^ {p} E) & = \ prod _ {i_ {1} \ leq \ cdots \ leq i_ {p}} (1+ ( \ alpha _ {i_ {1}} + \ cdots + \ alpha _ {i_ {p}}) t), \\ c_ {t} (\ wedge ^ {p} E) & = \ prod _ {i_ {1 } <\ cdots <i_ {p}} (1 + (\ alpha _ {i_ {1}} + \ cdots + \ alpha _ {i_ {p}}) t). \ end {alinhado}}}$

Em particular, ${\ displaystyle c_ {1} (\ wedge ^ {r} E) = c_ {1} (E).}$

• Por exemplo, para ,${\ displaystyle c_ {i} = c_ {i} (E)}$

quando ,${\ displaystyle r = 2}$${\ displaystyle c (\ operatorname {Sym} ^ {2} E) = 1 + 3c_ {1} + 2c_ {1} ^ {2} + 4c_ {2} + 4c_ {1} c_ {2},}$

quando ,${\ displaystyle r = 3}$${\ displaystyle c (\ operatorname {Sym} ^ {2} E) = 1 + 4c_ {1} + 5c_ {1} ^ {2} + 5c_ {2} + 2c_ {1} ^ {3} + 11c_ {1 } c_ {2} + 7c_ {3}.}$

(cf. Classe Segre # Exemplo 2. )

Aplicações de fórmulas

Podemos usar essas propriedades abstratas para calcular o resto das classes chern de feixes de linha . Lembre-se dessa exibição . Então, usando poderes tensores, podemos relacioná-los às classes chern de qualquer inteiro. ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- 1) ^ {*} \ cong {\ mathcal {O}} (1)}$${\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {O}} (1)) = 1 \ in H ^ {2} (\ mathbb {CP} ^ {1}; \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {O}} (n)) = n}$

Propriedades

Dado um vector complexo feixe E ao longo de um espaço topológico X , as classes de Chern E são uma sequência de elementos do cohomología de X . A k- ésima classe Chern de E , que geralmente é denotada c _k ( E ), é um elemento de

${\ displaystyle H ^ {2k} (X; \ mathbb {Z}),}$

a cohomologia de X com coeficientes inteiros . Também se pode definir a classe total de Chern

${\ displaystyle c (E) = c_ {0} (E) + c_ {1} (E) + c_ {2} (E) + \ cdots.}$

Uma vez que os valores estão em grupos de cohomologia integral, ao invés de cohomologia com coeficientes reais, essas classes de Chern são ligeiramente mais refinadas do que aquelas no exemplo Riemanniano.

Definição axiomática clássica

As classes Chern satisfazem os quatro axiomas a seguir:

Axiom 1. para todos E . ${\ displaystyle c_ {0} (E) = 1}$

Axioma 2. Naturalidade: Se é contínua e f * E é o feixe de recuo vector de E , em seguida . ${\ displaystyle f: Y \ to X}$${\ displaystyle c_ {k} (f ^ {*} E) = f ^ {*} c_ {k} (E)}$

Axioma 3. Fórmula da soma de Whitney : Se for outro pacote vetorial complexo, então as classes de Chern da soma direta são dadas por ${\ displaystyle F \ to X}$ ${\ displaystyle E \ oplus F}$

${\ displaystyle c (E \ oplus F) = c (E) \ smile c (F);}$

isso é,

${\ displaystyle c_ {k} (E \ oplus F) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} c_ {i} (E) \ smile c_ {ki} (F).}$

Axioma 4. Normalização: A classe total de Chern do feixe de linha tautológica over é 1− H , onde H é Poincaré-dual ao hiperplano . ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {k-1} \ subseteq \ mathbb {CP} ^ {k}}$

Abordagem axiomática de Grothendieck

Alternativamente, Alexander Grothendieck  ( 1958 ) os substituiu por um conjunto ligeiramente menor de axiomas:

• Naturalidade: (igual ao anterior)
• Aditividade: Se for uma seqüência exata de feixes de vetores, então .${\ displaystyle \ 0 \ a E '\ a E \ a E' '\ a 0}$${\ displaystyle c (E) = c (E ') \ smile c (E' ')}$
• Normalização: Se E é um pacote de linhas , então onde está a classe de Euler do pacote vetorial real subjacente.${\ displaystyle c (E) = 1 + e (E _ {\ mathbb {R}})}$${\ displaystyle e (E _ {\ mathbb {R}})}$

Ele mostra usando o teorema de Leray-Hirsch que a classe de Chern total de um pacote vetorial complexo de classificação finita arbitrária pode ser definida em termos da primeira classe de Chern de um pacote de linhas tautologicamente definido.

A saber, introduzindo a projetivização do feixe vetorial complexo de posto n E → B como o feixe de fibras em B cuja fibra em qualquer ponto é o espaço projetivo da fibra E _b . O espaço total deste feixe é equipado com seu feixe de linhas complexas tautológicas, que denotamos , e a primeira classe de Chern ${\ displaystyle \ mathbb {P} (E)}$${\ displaystyle b \ in B}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (E)}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle c_ {1} (\ tau) =: - a}$

restringe em cada fibra a menos a classe (Poincaré-dual) do hiperplano, que abrange a cohomologia da fibra, tendo em vista a cohomologia de espaços projetivos complexos . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {b})}$

As classes

${\ displaystyle 1, a, a ^ {2}, \ ldots, a ^ {n-1} \ in H ^ {*} (\ mathbb {P} (E))}$

portanto, formam uma família de classes de cohomologia ambiente restringindo-se a uma base da cohomologia da fibra. O teorema de Leray-Hirsch então afirma que qualquer classe em pode ser escrita exclusivamente como uma combinação linear de 1, a , a ² , ..., a ^{n −1} com classes na base como coeficientes. ${\ displaystyle H ^ {*} (\ mathbb {P} (E))}$

Em particular, pode-se definir as classes Chern de E no sentido de Grothendieck, denotado por expandir desta forma a classe , com a relação: ${\ displaystyle c_ {1} (E), \ ldots c_ {n} (E)}$${\ displaystyle -a ^ {n}}$

${\ displaystyle -a ^ {n} = c_ {1} (E) \ cdot a ^ {n-1} + \ cdots + c_ {n-1} (E) \ cdot a + c_ {n} (E) .}$

Pode-se então verificar se esta definição alternativa coincide com qualquer outra definição que alguém possa favorecer, ou usar a caracterização axiomática anterior.

A melhor classe de Chern

Na verdade, essas propriedades caracterizam exclusivamente as classes Chern. Eles implicam, entre outras coisas:

• Se n for a classificação complexa de V , então, para todo k > n . Assim, a classe Chern total termina.${\ displaystyle c_ {k} (V) = 0}$
• A classe de Chern superior de V (ou seja , onde n é a classificação de V ) é sempre igual à classe de Euler do pacote vetorial real subjacente.${\ displaystyle c_ {n} (V)}$

Em geometria algébrica

Descrição axiomática

Há outra construção de classes de Chern que assumem valores no análogo algbrogeométrico do anel de cohomologia, o anel de Chow . Pode-se mostrar que existe uma teoria única das classes de Chern, de modo que se você receber um pacote vetorial algébrico sobre uma variedade quase projetiva, há uma sequência de classes tal que ${\ displaystyle E \ a X}$${\ displaystyle c_ {i} (E) \ in A ^ {i} (X)}$

1. ${\ displaystyle c_ {0} (E) = 1}$
2. Para um feixe invertível (de modo que seja um divisor de Cartier ),${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle c_ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X} (D)) = [D]}$
3. Dada uma sequência exata de pacotes vetoriais, a fórmula da soma de Whitney é válida:${\ displaystyle 0 \ a E '\ a E \ a E' '\ a 0}$${\ displaystyle c (E) = c (E ') c (E' ')}$
4. ${\ displaystyle c_ {i} (E) = 0}$ para ${\ displaystyle i> {\ text {rank}} (E)}$
5. O mapa se estende a um morfismo de anel${\ displaystyle E \ mapsto c (E)}$${\ displaystyle c: K_ {0} (X) \ to A ^ {\ bullet} (X)}$

Seqüência normal

O cálculo das classes de características para o espaço projetivo forma a base para muitos cálculos de classes de características, uma vez que para qualquer subvariedade projetiva suave existe a sequência exata curta ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T}} _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} | _ {X} \ to {\ mathcal {N }} _ {X / \ mathbb {P} ^ {n}} \ a 0}$

Quintic triplo

Por exemplo, considere a quíntupla quíntupla não singular em . Então, o pacote normal é dado por e temos a sequência exata curta ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (5)}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T}} _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {4}} | _ {X} \ to {\ mathcal {O }} _ {X} (5) \ a 0}$

Vamos denotar a classe do hiperplano em . Então, a fórmula da soma de Whitney nos dá que ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle A ^ {\ bullet} (X)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) c ({\ mathcal {O}} _ {X} (5)) & = (1 + h) ^ {5 } \\ & = 1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3} \ end {alinhado}}}$

Como o anel de Chow de uma hipersuperfície é difícil de calcular, consideraremos essa sequência como uma sequência de feixes coerentes em . Isso nos dá isso ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) & = {\ frac {1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3}} {1 + 5h} } \\ & = (1 + 5h + 10h ^ {2} + 10h ^ {3}) (1-5h + 25h ^ {2} -125h ^ {3}) \\ & = 1 + 10h ^ {2} -40h ^ {3} \ end {alinhado}}}$

Usando o teorema de Gauss-Bonnet, podemos integrar a classe para calcular a característica de euler. Tradicionalmente, isso é chamado de classe de Euler . Isso é ${\ displaystyle c_ {3} ({\ mathcal {T}} _ {X})}$

${\ displaystyle \ int _ {[X]} c_ {3} ({\ mathcal {T}} _ {X}) = \ int _ {[X]} - 40h ^ {3} = - 200}$

já que a classe de pode ser representada por cinco pontos (pelo teorema de Bézout ). A característica de Euler pode então ser usada para calcular os números de Betti para a cohomologia de , usando a definição da característica de Euler e usando o teorema do hiperplano de Lefschetz. ${\ displaystyle h ^ {3}}$${\ displaystyle X}$

Hipersuperfícies de grau d

Se for uma hipersuperfície de grau suave, temos a sequência exata curta${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {T}} _ {X} \ to {\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} | _ {X} \ to {\ mathcal {O }} _ {X} (d) \ a 0}$

dando a relação

${\ displaystyle c ({\ mathcal {T}} _ {X}) = {\ frac {c ({\ mathcal {T}} _ {\ mathbb {P} ^ {3} | _ {X}})} {c ({\ mathcal {O}} _ {X} (d))}}}$

podemos então calcular isso como

${\ displaystyle {\ begin {align} c ({\ mathcal {T}} _ {X}) & = {\ frac {(1+ [H]) ^ {4}} {(1 + d [H]) }} \\ & = (1 + 4 [H] +6 [H] ^ {2}) (1-d [H] + d ^ {2} [H] ^ {2}) \\ & = 1+ (4-d) [H] + (6-4d + d ^ {2}) [H] ^ {2} \ end {alinhado}}}$

Dando a aula total de chern. Em particular, podemos encontrar uma variedade de spin 4 se for par, então toda hipersuperfície lisa de grau é uma variedade de spin . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 4-d}$${\ displaystyle 2k}$

Noções aproximadas

O personagem Chern

As classes de Chern podem ser usadas para construir um homomorfismo de anéis da teoria K topológica de um espaço para (a conclusão de) sua cohomologia racional. Para um pacote de linha L , o caractere de Chern ch é definido por

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (L) = \ exp (c_ {1} (L)): = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {1} (L) ^ {milímetros!}}.}$

De forma mais geral, se for uma soma direta de pacotes de linha, com as primeiras classes de Chern, o caractere de Chern é definido aditivamente ${\ displaystyle V = L_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus L_ {n}}$${\ displaystyle x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = e ^ {x_ {1}} + \ cdots + e ^ {x_ {n}}: = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m!}} (X_ {1} ^ {m} + \ cdots + x_ {n} ^ {m}).}$

Isso pode ser reescrito como:

${\ displaystyle \ operatorname {ch} (V) = \ operatorname {rk} (V) + c_ {1} (V) + {\ frac {1} {2}} (c_ {1} (V) ^ {2 } -2c_ {2} (V)) + {\ frac {1} {6}} (c_ {1} (V) ^ {3} -3c_ {1} (V) c_ {2} (V) + 3c_ {3} (V)) + \ cdots.}$

Esta última expressão, justificada pela invocação do princípio de divisão , é tomada como a definição CH (V) para o vetor arbitrária feixes V .

Se uma conexão é usada para definir as classes de Chern quando a base é uma variedade (ou seja, a teoria de Chern-Weil ), então a forma explícita do caractere de Chern é

${\ displaystyle {\ hbox {ch}} (V) = \ left [{\ hbox {tr}} \ left (\ exp \ left ({\ frac {i \ Omega} {2 \ pi}} \ right) \ certo, certo]}$

onde Ω é a curvatura da conexão.

O caractere Chern é útil em parte porque facilita o cálculo da classe Chern de um produto tensorial. Especificamente, ele obedece às seguintes identidades:

${\ displaystyle {\ hbox {ch}} (V \ oplus W) = {\ hbox {ch}} (V) + {\ hbox {ch}} (W)}$

${\ displaystyle {\ hbox {ch}} (V \ otimes W) = {\ hbox {ch}} (V) {\ hbox {ch}} (W).}$

Como afirmado acima, usando o axioma aditividade Grothendieck para classes de Chern, o primeiro destes identidades podem ser generalizados para o estado que CH representa um homomorphism de grupos abelianos do K-teoria K ( X ) na cohomología racional de X . A segunda identidade estabelece o fato de que esse homomorfismo também respeita produtos em K ( X ), portanto ch é um homomorfismo de anéis.

O caractere Chern é usado no teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

Números de Chern

Se trabalharmos em uma variedade de dimensão orientada , então qualquer produto das classes de Chern de grau total (ou seja, a soma dos índices das classes de Chern no produto deve ser ) pode ser emparelhado com a classe de homologia de orientação (ou "integrado sobre o variedade ") para fornecer um número inteiro, um número de Chern do pacote vetorial. Por exemplo, se a variedade tem dimensão 6, existem três números de Chern linearmente independentes, dados por , e . Em geral, se a variedade tem dimensão , o número de números de Chern independentes possíveis é o número de partições de . ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c_ {1} ^ {3},}$ ${\ displaystyle c_ {1} c_ {2}}$${\ displaystyle c_ {3}}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$

Os números de Chern do feixe tangente de uma variedade complexa (ou quase complexa) são chamados de números de Chern da variedade e são invariantes importantes.

Teorias de cohomologia generalizadas

Há uma generalização da teoria das classes de Chern, onde a cohomologia comum é substituída por uma teoria de cohomologia generalizada . As teorias para as quais tal generalização é possível são chamadas de orientáveis ​​complexas . As propriedades formais das classes de Chern permanecem as mesmas, com uma diferença crucial: a regra que calcula a primeira classe de Chern de um produto tensorial de feixes de linha em termos das primeiras classes de Chern dos fatores não é adição (comum), mas sim um lei formal do grupo .

Geometria algébrica

Na geometria algébrica, existe uma teoria semelhante das classes de Chern de feixes de vetores. Existem várias variações, dependendo dos grupos em que as classes de Chern se encontram:

• Para variedades complexas, as classes de Chern podem assumir valores em cohomologia comum, como acima.
• Para variedades sobre campos gerais, as classes Chern podem assumir valores em teorias de cohomologia, como cohomologia etale ou cohomologia l-adic .
• Para variedades V sobre campos gerais, as classes Chern também podem assumir valores em homomorfismos de grupos Chow CH (V): por exemplo, a primeira classe Chern de um pacote de linha sobre uma variedade V é um homomorfismo de CH ( V ) a CH ( V ) reduzindo os graus em 1. Isso corresponde ao fato de que os grupos de Chow são uma espécie de análogo de grupos de homologia, e os elementos de grupos de cohomologia podem ser considerados como homomorfismos de grupos de homologia usando o produto cap .

Manifolds com estrutura

A teoria das classes de Chern dá origem a invariantes de cobordismo para variedades quase complexas .

Se M é uma variedade quase complexa, então seu feixe tangente é um feixe vetorial complexo. As classes Chern de M são, portanto, definidas como as classes Chern de seu feixe tangente. Se M também é compacto e de dimensão dois d , em seguida, cada monomial de um total de grau 2 d nas classes Chern pode ser emparelhado com a classe fundamentais de M , dando um número inteiro, um número Chern de M . Se M 'é outro colector de quase complexo da mesma dimensão, em seguida, é cobordant a H se e apenas se os números de Chern de M ' coincidem com aqueles de H .

A teoria também se estende a fibrados vetoriais simpléticos reais , pela intermediação de estruturas quase complexas compatíveis. Em particular, variedades simpléticas têm uma classe de Chern bem definida.

Esquemas aritméticos e equações diofantinas

(Ver geometria de Arakelov )

Veja também

• Aula de Pontryagin
• Classe Stiefel – Whitney
• Aula de Euler
• Classe Segre
• Cálculo de Schubert
• Efeito Quantum Hall
• Aula localizada de Chern

Notas

Referências

• Chern, Shiing-Shen (1946), "Classes características de variedades hermitianas", Annals of Mathematics , Segunda Série, The Annals of Mathematics, vol. 47, No. 1, 47 (1): 85–121, doi : 10.2307 / 1969037 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969037
• Grothendieck, Alexander (1958), "La théorie des classes de Chern" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 137–154, doi : 10.24033 / bsmf.1501 , ISSN  0037-9484 , MR  0116023
• Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4ª ed.), Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7 (Fornece uma breve revisão introdutória das aulas de Chern).
• Maio, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology , University of Chicago Press, ISBN 9780226511832
• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary , Berlin / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

links externos

• Vector Bundles & K-Theory - Um livro em andamento para download de Allen Hatcher . Contém um capítulo sobre classes de características.
• Dieter Kotschick , números de Chern de variedades algébricas