Acorde (geometria) - Chord (geometry)

A corda de um círculo é um segmento de linha reta cujas extremidades estão em um arco circular . A extensão de linha infinita de um acorde é uma linha secante , ou apenas secante . Mais geralmente, um acorde é um segmento de linha que une dois pontos em qualquer curva, por exemplo, uma elipse . Uma corda que passa pelo ponto central de um círculo é o diâmetro do círculo . A palavra acorde vem do latim chorda, que significa corda de arco .

O segmento vermelho BX é uma corda
(assim como o segmento de diâmetro AB ).

Em círculos

Entre as propriedades dos acordes de um círculo estão as seguintes:

1. Os acordes são equidistantes do centro se e somente se seus comprimentos forem iguais.
2. Cordas iguais são subtendidas por ângulos iguais a partir do centro do círculo.
3. Uma corda que passa pelo centro de um círculo é chamada de diâmetro e é a corda mais longa desse círculo específico.
4. Se as extensões de linha (linhas secantes) dos acordes AB e CD se cruzam em um ponto P, então seus comprimentos satisfazem AP · PB = CP · PD ( potência de um teorema de ponto ).

Em elipses

Os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas de uma elipse são colineares .

Em trigonometria

Os acordes foram usados ​​extensivamente no desenvolvimento inicial da trigonometria . A primeira tabela trigonométrica conhecida, compilada por Hipparchus , tabulou o valor da função acorde para cada 7+1/2 graus . No segundo século DC, Ptolomeu de Alexandria compilou uma tabela de acordes mais extensa em seu livro de astronomia , dando o valor do acorde para ângulos que variam de1/2 a 180 graus em incrementos de 1/2grau. O círculo tinha diâmetro de 120 e os comprimentos da corda são precisos até dois dígitos de base 60 após a parte inteira.

A função acorde é definida geometricamente como mostrado na imagem. A corda de um ângulo é o comprimento da corda entre dois pontos em um círculo unitário separado por aquele ângulo central. O ângulo θ é considerado positivo e deve estar no intervalo 0 < θ ≤ π (medida em radianos). A função de acorde pode ser relacionada à função seno moderna , tomando um dos pontos como (1,0) e o outro ponto como ( cos θ , sin θ ) e, em seguida, usando o teorema de Pitágoras para calcular o acorde comprimento:

${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ \ theta = {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta}} = {\ sqrt {2-2 \ cos \ theta}} = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}$

A última etapa usa a fórmula do meio-ângulo . Assim como a trigonometria moderna é construída sobre a função seno, a trigonometria antiga foi construída sobre a função acorde. Hiparco supostamente escreveu uma obra de doze volumes sobre acordes, agora todos perdidos, portanto, presumivelmente, muito se sabia sobre eles. Na tabela abaixo (onde c é o comprimento do acorde e D o diâmetro do círculo), a função do acorde pode ser mostrada para satisfazer muitas identidades análogas às conhecidas modernas:

Nome	Baseado em seno	Baseado em acordes
pitagórico	${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1 \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} ^ {2} \ theta + \ operatorname {crd} ^ {2} (\ pi - \ theta) = 4 \,}$
Meio-ângulo	${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}} \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ {\ frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {2- \ operatorname {crd} (\ pi - \ theta)}} \,}$
Apothem ( a )	${\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}}}$	${\ displaystyle c = {\ sqrt {D ^ {2} -4a ^ {2}}}}$
Ângulo ( θ )	${\ displaystyle c = 2r \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$	${\ displaystyle c = {\ frac {D} {2}} \ operatorname {crd} \ \ theta}$

A função inversa também existe:

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ frac {c} {2r}}}$

Veja também

• Segmento circular - a parte do setor que permanece após a remoção do triângulo formado pelo centro do círculo e as duas extremidades do arco circular no limite.
• Escala de acordes
• Tabela de acordes de Ptolomeu
• Teorema de Holditch , para um acorde girando em uma curva fechada convexa
• Gráfico de círculo
• Exsecant e excosecant
• Versino e Haversine
• Curva de Zindler ( curva fechada e simples em que todas as cordas que dividem o comprimento do arco em metades têm o mesmo comprimento)

Referências

Leitura adicional

• Hawking, Stephen William , org. (2002). Sobre os ombros de gigantes: as grandes obras da física e da astronomia . Filadélfia, EUA: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Recuperado em 31-07-2017 .
• Stávek, Jiří (10-03-2017) [26/02/2017]. "Sobre a beleza oculta das funções trigonométricas" . Pesquisa em Física Aplicada . Praga, CZ: Centro Canadense de Ciência e Educação. 9 (2): 57–64. doi : 10.5539 / apr.v9n2p57 . ISSN  1916-9639 . ISSN  1916-9647 . [1]

links externos

• Esboço da história da trigonometria
• Funções trigonométricas , com foco na história
• Acorde (de um círculo) Com animação interativa