Conjunto circular - Circular ensemble

Na teoria das matrizes aleatórias , os ensembles circulares são medidas em espaços de matrizes unitárias introduzidas por Freeman Dyson como modificações dos ensembles de matrizes gaussianas . Os três exemplos principais são o conjunto ortogonal circular (COE) em matrizes unitárias simétricas, o conjunto unitário circular (CUE) em matrizes unitárias e o conjunto simplético circular (CSE) em matrizes quaterniônicas autoduais unitárias.

Distribuições de probabilidade

A distribuição do conjunto circular unitário CUE ( n ) é a medida de Haar no grupo unitário U (n) . Se U é um elemento aleatório de CUE ( n ), então U ^T U é um elemento aleatório de COE ( n ); se U é um elemento aleatório de CUE ( 2n ), então U ^R U é um elemento aleatório de CSE ( n ), onde

${\ displaystyle U ^ {R} = \ left ({\ begin {array} {ccccccc} 0 & -1 &&&&& \\ 1 & 0 &&&&& \\ && 0 & -1 &&& \\ && 1 & 0 &&& \\ &&&& \ ddots && \\ &&&&&& 0 & -1 \\ &&&& 1 & 0 end {array}} \ right) U ^ {T} \ left ({\ begin {array} {ccccccc} 0 & 1 &&&&& \\ - 1 & 0 &&&&& \\ && 0 & 1 &&& \\ && - 1 & 0 &&& \\ &&&&& \ ddots && \\ &&&&&& 0 & 1 \\ &&& -1 e 0 \ end {array}} \ right) ~.}$

Cada elemento de um conjunto circular é uma matriz unitária, portanto, tem autovalores no círculo unitário: com para k = 1,2, ... n , onde os também são conhecidos como autângulos ou autofases . No CSE, cada um desses n valores próprios aparece duas vezes. As distribuições têm densidades em relação aos eigenângulos, dados por ${\ displaystyle \ lambda _ {k} = e ^ {i \ theta _ {k}}}$${\ displaystyle 0 \ leq \ theta _ {k} <2 \ pi}$${\ displaystyle \ theta _ {k}}$

${\ displaystyle p (\ theta _ {1}, \ cdots, \ theta _ {n}) = {\ frac {1} {Z_ {n, \ beta}}} \ prod _ {1 \ leq k <j \ leq n} | e ^ {i \ theta _ {k}} - e ^ {i \ theta _ {j}} | ^ {\ beta} ~}$

on (versão simetrizada), onde β = 1 para COE, β = 2 para CUE e β = 4 para CSE. A constante de normalização Z _{n, β} é dada por ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {[0,2 \ pi]} ^ {n}}$

${\ displaystyle Z_ {n, \ beta} = (2 \ pi) ^ {n} {\ frac {\ Gamma (\ beta n / 2 + 1)} {\ left (\ Gamma (\ beta / 2 + 1) \ right) ^ {n}}} ~,}$

como pode ser verificado através da fórmula integral de Selberg , ou fórmula integral de Weyl para grupos de Lie compactos.

Generalizações

Generalizações do conjunto circular restringem os elementos da matriz de U a números reais [de modo que U está no grupo ortogonal O (n) ] ou a números quatérnios reais [de modo que U está no grupo simplético Sp (2n) . A medida de Haar no grupo ortogonal produz o conjunto real circular (CRE) e a medida de Haar no grupo simplético produz o conjunto quaternion circular (CQE).

Os autovalores de matrizes ortogonais vêm em pares conjugados complexos e , possivelmente complementados por autovalores fixados em +1 ou -1 . Para n = 2m par e det U = 1 , não há autovalores fixos e as fases θ _k têm distribuição de probabilidade ${\ displaystyle e ^ {i \ theta _ {k}}}$${\ displaystyle e ^ {- i \ theta _ {k}}}$

${\ displaystyle p (\ theta _ {1}, \ cdots, \ theta _ {m}) = C \ prod _ {1 \ leq k <j \ leq m} (\ cos \ theta _ {k} - \ cos \ theta _ {j}) ^ {2} ~,}$

com C uma constante de normalização não especificada. Para n = 2m + 1 ímpar, há um autovalor fixo σ = det U igual a ± 1. As fases têm distribuição

${\ displaystyle p (\ theta _ {1}, \ cdots, \ theta _ {m}) = C \ prod _ {1 \ leq i \ leq m} (1- \ sigma \ cos \ theta _ {i}) \ prod _ {1 \ leq k <j \ leq m} (\ cos \ theta _ {k} - \ cos \ theta _ {j}) ^ {2} ~.}$

Para n = 2m + 2 pares e det U = -1, há um par de valores próprios fixados em +1 e -1 , enquanto as fases têm distribuição

${\ displaystyle p (\ theta _ {1}, \ cdots, \ theta _ {m}) = C \ prod _ {1 \ leq i \ leq m} (1- \ cos ^ {2} \ theta _ {i }) \ prod _ {1 \ leq k <j \ leq m} (\ cos \ theta _ {k} - \ cos \ theta _ {j}) ^ {2} ~.}$

Esta é também a distribuição dos autovalores de uma matriz em Sp (2m) .

Essas funções de densidade de probabilidade são chamadas de distribuições de Jacobi na teoria das matrizes aleatórias, porque as funções de correlação podem ser expressas em termos de polinômios de Jacobi .

Cálculos

As médias dos produtos dos elementos da matriz nos conjuntos circulares podem ser calculadas usando as funções de Weingarten . Para grandes dimensões da matriz, esses cálculos tornam-se impraticáveis ​​e um método numérico é vantajoso. Existem algoritmos eficientes para gerar matrizes aleatórias nos conjuntos circulares, por exemplo, executando uma decomposição QR em uma matriz de Ginibre.

Referências

Implementações de software

• "Conjuntos circulares Wolfram Mathematica" . Wolfram Language .
• Suezen, Mehmet (2017). "Bristol: um pacote Python para conjuntos de matrizes aleatórias (implementação paralela da geração de conjuntos circulares)". doi : 10.5281 / zenodo.579642 . Citar diário requer |journal= ( ajuda )
  • "Bristol: um pacote Python para conjuntos de matriz aleatória" . pypi .

links externos

• Mehta, Madan Lal (2004), Random matrices , Pure and Applied Mathematics (Amsterdam), 142 (3rd ed.), Elsevier / Academic Press, Amsterdam, ISBN   978-0-12-088409-4 , MR   2129906
• Forrester, Peter J. (2010), Log-gases and random matrices , Princeton University Press, ISBN   978-0-691-12829-0