Segmento circular - Circular segment

Em geometria , um segmento circular (símbolo: ⌓ ) é uma região de um círculo que é "separada" do resto do círculo por uma secante ou corda . Mais formalmente, um segmento circular é uma região do espaço bidimensional que é limitada por um arco (de menos de π radianos por convenção) de um círculo e pela corda que conecta os pontos finais do arco.

Fórmulas

Um segmento circular (em verde) é colocado entre uma secante / corda (a linha tracejada) e o arco cujas extremidades são iguais às da corda (o arco mostrado acima da área verde).

Seja R o raio do arco que faz parte do perímetro do segmento, θ o ângulo central que subtende o arco em radianos , c o comprimento da corda , s o comprimento do arco , h a sagitta ( altura ) do segmento, e a a área do segmento.

Normalmente, o comprimento e a altura da corda são dados ou medidos e, às vezes, o comprimento do arco como parte do perímetro, e as incógnitas são a área e às vezes o comprimento do arco. Eles não podem ser calculados simplesmente a partir do comprimento e da altura da corda, então duas grandezas intermediárias, o raio e o ângulo central, são geralmente calculados primeiro.

Raio e ângulo central

O raio é:

${\ displaystyle R = {\ tfrac {h} {2}} + {\ tfrac {c ^ {2}} {8h}}}$

O ângulo central é

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ tfrac {c} {2R}}}$

Comprimento e altura do acorde

O comprimento e a altura da corda podem ser calculados de volta a partir do raio e do ângulo central por:

O comprimento do acorde é

${\ displaystyle c = 2R \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}} = R {\ sqrt {2 (1- \ cos \ theta)}}}$

A sagitta é

${\ displaystyle h = R (1- \ cos {\ tfrac {\ theta} {2}}) = R \ left (1 - {\ sqrt {\ tfrac {1+ \ cos \ theta} {2}}} \ direito)}$

Comprimento e área do arco

O comprimento do arco, da geometria familiar de um círculo, é

${\ displaystyle s = {\ theta} R}$

A área a do segmento circular é igual à área do setor circular menos a área da porção triangular (usando a fórmula de ângulo duplo para obter uma equação em termos de Θ):

${\ displaystyle a = {\ tfrac {R ^ {2}} {2}} \ left (\ theta - \ sin \ theta \ right)}$

Em termos de R e h,

${\ displaystyle a = R ^ {2} \ arccos \ left (1 - {\ frac {h} {R}} \ right) - \ left (Rh \ right) {\ sqrt {R ^ {2} - \ left (Rh \ direita) ^ {2}}}}$

Infelizmente, é uma função transcendental de e, portanto, nenhuma fórmula algébrica em termos desses pode ser declarada. Mas o que pode ser afirmado é que à medida que o ângulo central fica menor (ou alternativamente o raio fica maior), a área a se aproxima rápida e assintoticamente . Se é uma aproximação substancialmente boa. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$${\ displaystyle \ theta << 1, a = {\ tfrac {2} {3}} c \ cdot h}$

Conforme o ângulo central se aproxima de π, a área do segmento está convergindo para a área de um semicírculo , então uma boa aproximação é um delta offset da última área: ${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi R ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle a \ approx {\ tfrac {\ pi R ^ {2}} {2}} - (R + {\ tfrac {c} {2}}) (Rh)}$para h> 0,75 R

Etc.

O perímetro p é o comprimento do arco mais o comprimento da corda,

${\ displaystyle p = c + s = c + \ theta R}$

Como proporção de toda a área do disco , você tem ${\ displaystyle A = \ pi R ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {A}} = {\ frac {\ theta - \ sin \ theta} {2 \ pi}}}$

Formulários

A fórmula da área pode ser usada no cálculo do volume de um tanque cilíndrico parcialmente cheio colocado horizontalmente.

No projeto de janelas ou portas com tampos arredondados, c e h podem ser os únicos valores conhecidos e podem ser usados ​​para calcular R para a configuração da bússola do desenhista.

Pode-se reconstruir as dimensões completas de um objeto circular completo a partir de fragmentos medindo o comprimento do arco e o comprimento da corda do fragmento.

Para verificar as posições dos furos em um padrão circular. Especialmente útil para verificação de qualidade em produtos usinados.

Para calcular a área ou centróide de uma forma plana que contém segmentos circulares.

Veja também

• Acorde (geometria)
• Tampa esférica
• Setor circular

Referências

• Weisstein, Eric W. "Circular segment" . MathWorld .

links externos

• Definição de segmento circular com animação interativa
• Fórmulas para área de um segmento circular Com animação interativa