Círculo circunscrito - Circumscribed circle

Círculo circunscrito, C , e circuncentro, O , de um polígono cíclico , P

Na geometria , o círculo circunscrito ou circunferencial de um polígono é um círculo que passa por todos os vértices do polígono. O centro deste círculo é denominado circuncentro e seu raio é denominado circunradius .

Nem todo polígono tem um círculo circunscrito. Um polígono que tem um é chamado de polígono cíclico ou, às vezes, de polígono concíclico, porque seus vértices são concíclicos . Todos os triângulos , todos os polígonos simples regulares , todos os retângulos , todos os trapézios isósceles e todas as pipas direitas são cíclicos.

Uma noção relacionada é a de um círculo de limite mínimo , que é o menor círculo que contém completamente o polígono dentro dele, se o centro do círculo estiver dentro do polígono. Cada polígono tem um círculo de limite mínimo único, que pode ser construído por um algoritmo de tempo linear . Mesmo se um polígono tiver um círculo circunscrito, ele pode ser diferente de seu círculo limite mínimo. Por exemplo, para um triângulo obtuso , o círculo de limite mínimo tem o lado mais longo como diâmetro e não passa pelo vértice oposto.

Triângulos

Todos os triângulos são cíclicos; ou seja, todo triângulo tem um círculo circunscrito.

Construção de régua e compasso

Construção da circunferência do triângulo ABC ( ) e do circuncentro Q

O circuncentro de um triângulo pode ser construído desenhando quaisquer duas das três bissetoras perpendiculares . Para três pontos não colineares, essas duas linhas não podem ser paralelas e o circuncentro é o ponto onde elas se cruzam. Qualquer ponto na bissetriz é equidistante dos dois pontos que ela corta, de onde segue que este ponto, em ambas as bissetoras, é equidistante de todos os três vértices do triângulo. O circumradius é a distância dele a qualquer um dos três vértices.

Construção alternativa

Construção alternativa do circuncentro (intersecção de linhas tracejadas)

Um método alternativo para determinar o circuncentro é desenhar quaisquer duas linhas, cada uma partindo de um dos vértices em um ângulo com o lado comum, o ângulo comum de saída sendo 90 ° menos o ângulo do vértice oposto. (No caso do ângulo oposto ser obtuso, desenhar uma linha em um ângulo negativo significa sair do triângulo.)

Na navegação costeira , a circunferência de um triângulo é às vezes usada como uma forma de obter uma linha de posição usando um sextante quando não há bússola disponível. O ângulo horizontal entre dois pontos de referência define o círculo circunflexo sobre o qual o observador se encontra.

Equações de circunferência

Coordenadas cartesianas

No plano euclidiano , é possível dar explicitamente uma equação do circuncírculo em termos das coordenadas cartesianas dos vértices do triângulo inscrito. Suponha que

são as coordenadas dos pontos A , B , e C . A circunferência é então o locus dos pontos v = ( v x ,  v y ) no plano cartesiano que satisfaz as equações

garantindo que os pontos A , B , C , e V são todos a mesma distância R a partir do centro comum u do círculo. Usando a identidade de polarização , essas equações reduzem à condição de que a matriz

tem um kernel diferente de zero . Assim, a circunferência pode, alternativamente, ser descrita como o locus dos zeros do determinante desta matriz:

Usando a expansão de cofator , vamos

então temos um | v | 2 - 2 Sv - b = 0 onde S = ( S x ,  S y ), e - assumindo que os três pontos não estavam em uma linha (caso contrário, o circunferência é aquela linha que também pode ser vista como um círculo generalizado com S no infinito ) - | v - S / a | 2 = b / a + | S | 2 / a 2 , fornecendo o circuncentro S / a e o circunflexo b / a + | S | 2 / a 2 . Uma abordagem semelhante permite deduzir a equação da circunsfera de um tetraedro .

Equação paramétrica

Um vetor unitário perpendicular ao plano que contém o círculo é dado por

Portanto, dado o raio, r , centro, P c , um ponto no círculo, P 0 e uma normal unitária do plano que contém o círculo ,, uma equação paramétrica do círculo partindo do ponto P 0 e prosseguindo de forma positiva sentido orientado (ou seja, destro ) sobre é o seguinte:

Coordenadas trilineares e baricêntricas

Uma equação para a circunferência em coordenadas trilineares x  : y  : z é a / x + b / y + c / z = 0 . Uma equação para o circuncírculo em coordenadas baricêntricas x  : y  : z é a 2 / x + b 2 / y + c 2 / z = 0 .

O conjugado isogonal do circuncírculo é a linha no infinito, dada em coordenadas trilineares por ax + por + cz = 0 e em coordenadas baricêntricas por x + y + z = 0 .

Dimensões superiores

Além disso, a circunferência de um triângulo embutido em dimensões d pode ser encontrada usando um método generalizado. Vamos Um , B , e C ser d pontos -dimensional, que formam os vértices de um triângulo. Começamos transpondo o sistema para colocar C na origem:

O circumradius, r , é então

onde θ é o ângulo interno entre a e b . O circuncentro, p 0 , é dado por

Esta fórmula só funciona em três dimensões, pois o produto vetorial não é definido em outras dimensões, mas pode ser generalizado para as outras dimensões substituindo os produtos cruzados pelas seguintes identidades:

Coordenadas do circuncentro

Coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas do circuncentro são

com

Sem perda de generalidade, isso pode ser expresso de forma simplificada após a translação do vértice A para a origem dos sistemas de coordenadas cartesianas, ou seja, quando A ′ = A - A = ( Ax , Ay ) = (0, 0) . Neste caso, as coordenadas dos vértices B ′ = B - A e C ′ = C - A representam os vetores do vértice A ′ a esses vértices. Observe que esta translação trivial é possível para todos os triângulos e o circuncentro do triângulo ABC ′ segue como

com

Devido à translação do vértice A para a origem, o circumradius r pode ser calculado como

e o circuncentro real do ABC segue como

Coordenadas trilineares

O circuncentro tem coordenadas trilineares

cos α  : cos β  : cos γ

onde α , β , γ são os ângulos do triângulo.

Em termos de comprimentos laterais a, b, c , os trilíneos são

Coordenadas baricêntricas

O circuncentro tem coordenadas baricêntricas

onde a , b , c são os comprimentos das arestas ( BC , CA , AB respectivamente) do triângulo.

Em termos de ângulos do triângulo, as coordenadas baricêntricas do circuncentro são

Vetor circuncentro

Uma vez que as coordenadas cartesianas de qualquer ponto são uma média ponderada daquelas dos vértices, com os pesos sendo as coordenadas baricêntricas do ponto normalizadas para somar à unidade, o vetor circuncentro pode ser escrito como

Aqui U é o vetor do circuncentro e A, B, C são os vetores do vértice. O divisor aqui é igual a 16 S 2, onde S é a área do triângulo. Como afirmado anteriormente

Coordenadas cartesianas de produtos cruzados e pontuais

No espaço euclidiano , há um círculo único que passa por quaisquer três pontos não colineares P 1 , P 2 e P 3 . Usando coordenadas cartesianas para representar esses pontos como vetores espaciais , é possível usar o produto escalar e o produto vetorial para calcular o raio e o centro do círculo. Deixar

Então, o raio do círculo é dado por

O centro do círculo é dado pela combinação linear

Onde

Localização em relação ao triângulo

A posição do circuncentro depende do tipo de triângulo:

  • Para um triângulo agudo (todos os ângulos menores que um ângulo reto), o circuncentro sempre fica dentro do triângulo.
  • Para um triângulo retângulo, o circuncentro sempre fica no ponto médio da hipotenusa . Esta é uma forma do teorema de Tales .
  • Para um triângulo obtuso (um triângulo com um ângulo maior do que um ângulo reto), o circuncentro sempre fica fora do triângulo.
O circuncentro de um triângulo agudo está dentro do triângulo
O circuncentro de um triângulo retângulo está no ponto médio da hipotenusa
O circuncentro de um triângulo obtuso está fora do triângulo

Essas características de localização podem ser vistas considerando as coordenadas trilineares ou baricêntricas fornecidas acima para o circuncentro: todas as três coordenadas são positivas para qualquer ponto interno, pelo menos uma coordenada é negativa para qualquer ponto externo e uma coordenada é zero e duas são positivas para um ponto não vértice em um lado do triângulo.

Ângulos

Os ângulos que o círculo circunscrito forma com os lados do triângulo coincidem com os ângulos em que os lados se encontram. O lado oposto do ângulo α encontra o círculo duas vezes: uma vez em cada extremidade; em cada caso, no ângulo α (da mesma forma para os outros dois ângulos). Isso se deve ao teorema do segmento alternativo , que afirma que o ângulo entre a tangente e a corda é igual ao ângulo do segmento alternado.

O triângulo centra-se na circunferência do triângulo ABC

Nesta seção, os ângulos dos vértices são rotulados A , B , C e todas as coordenadas são coordenadas trilineares :

  • Ponto de Steiner = bc / ( b 2 - c 2 ): ca / ( c 2 - a 2 ): ab / ( a 2 - b 2 ) = o ponto não vértice de interseção do circuncírculo com a elipse de Steiner. (A elipse de Steiner , com centro = centróide ( ABC ), é a elipse de menor área que passa por A , B e C. Uma equação para esta elipse é 1 / ( ax ) + 1 / ( por ) + 1 / ( cz ) = 0. )
  • Ponto de chegada = sec ( A + ω): sec ( B + ω): sec ( C + ω) = antípoda do ponto de Steiner
  • Foco da parábola de Kiepert = csc ( B - C ): csc ( C - A ): csc ( A - B ).

Outras propriedades

O diâmetro do circumcircle, chamado de circumdiameter e igual a duas vezes o circumradius , pode ser calculado como o comprimento de qualquer lado do triângulo dividido pelo seno do ângulo oposto :

Como conseqüência da lei dos senos , não importa que lado e ângulo oposto sejam tomados: o resultado será o mesmo.

O diâmetro da circunferência também pode ser expresso como

onde a , b , c são os comprimentos dos lados do triângulo es = ( a + b + c ) / 2 é o semiperímetro. A expressão acima é a área do triângulo, pela fórmula de Heron . Expressões trigonométricas para o diâmetro do círculo circunflexo incluem

O círculo de nove pontos do triângulo tem metade do diâmetro do círculo circunflexo.

Em qualquer triângulo, o circuncentro é sempre colinear com o centróide e o ortocentro . A linha que passa por todos eles é conhecida como linha de Euler .

O conjugado isogonal do circuncentro é o ortocentro .

O círculo limite mínimo útil de três pontos é definido ou pelo circunferência (onde três pontos estão no círculo limite mínimo) ou pelos dois pontos do lado mais longo do triângulo (onde os dois pontos definem o diâmetro do círculo). É comum confundir o círculo delimitador mínimo com o circuncírculo.

A circunferência de três pontos colineares é a linha na qual os três pontos se encontram, muitas vezes referida como um círculo de raio infinito . Pontos quase colineares geralmente levam à instabilidade numérica no cálculo do circunferência.

Os circuncírculos de triângulos têm uma relação íntima com a triangulação de Delaunay de um conjunto de pontos.

Pelo teorema de Euler em geometria , a distância entre o circuncentro O e o incentivo I é

onde r é o raio do incircle e R é o raio do circumcircle; portanto, o circumradius é pelo menos duas vezes o inradius ( desigualdade do triângulo de Euler ), com igualdade apenas no caso equilátero .

A distância entre O e o ortocentro H é

Para o centróide G e o centro de nove pontos N , temos

O produto do raio incircular e do raio circunflexo de um triângulo com os lados a , b e c é

Com circumradius R , lados a , b , c , e medianas m a , m b e m c , temos

Se a mediana m , a altitude h e a bissetriz interna t emanam do mesmo vértice de um triângulo com circunradius R , então

O teorema de Carnot afirma que a soma das distâncias do circuncentro aos três lados é igual à soma do circumradius e do inradius . Aqui, o comprimento de um segmento é considerado negativo se e somente se o segmento estiver totalmente fora do triângulo.

Se um triângulo tem dois círculos particulares como circunferência e incírculo , existe um número infinito de outros triângulos com o mesmo círculo circunflexo e incírculo, com qualquer ponto no circunferência como vértice. (Este é o  caso n = 3 do porismo de Poncelet ). Uma condição necessária e suficiente para a existência de tais triângulos é a igualdade acima

Quadriláteros cíclicos

Quadriláteros que podem ser circunscritos têm propriedades particulares, incluindo o fato de que ângulos opostos são ângulos suplementares (somando 180 ° ou π radianos).

Cíclico n- pontos

Para um polígono cíclico com um número ímpar de lados, todos os ângulos são iguais se e somente se o polígono for regular. Um polígono cíclico com um número par de lados tem todos os ângulos iguais se e somente se os lados alternados forem iguais (ou seja, os lados 1, 3, 5, ... são iguais e os lados 2, 4, 6, ... são iguais).

Um pentágono cíclico com lados e área racionais é conhecido como pentágono de Robbins ; em todos os casos conhecidos, suas diagonais também têm comprimentos racionais.

Em qualquer n- gon cíclico com n par , a soma de um conjunto de ângulos alternados (o primeiro, terceiro, quinto, etc.) é igual à soma do outro conjunto de ângulos alternados. Isso pode ser comprovado por indução a partir do caso n = 4, em cada caso substituindo um lado por mais três lados e observando que esses três novos lados juntamente com o lado antigo formam um quadrilátero que possui essa propriedade; os ângulos alternados do último quadrilátero representam as adições às somas dos ângulos alternados do n- gon anterior .

Deixe um n -gon ser inscrito em um círculo, e deixe outro n -gon ser tangencial a esse círculo nos vértices do primeiro n -gon. Então, de qualquer ponto P no círculo, o produto das distâncias perpendiculares de P aos lados do primeiro n -gon é igual ao produto das distâncias perpendiculares de P aos lados do segundo n -gon.

Ponto na circunferência

Seja um n -gon cíclico com vértices A 1 , ..., A n no círculo unitário. Então, para qualquer ponto M no arco menor A 1 A n , as distâncias de M aos vértices satisfazem


Para um n -gon regular , se são as distâncias de qualquer ponto do circunferência aos vértices , então

Constante circunscrita do polígono

Uma sequência de polígonos e círculos circunscritos.

Qualquer polígono regular é cíclico. Considere um círculo unitário e, a seguir, circunscreva um triângulo regular de forma que cada lado toque o círculo. Circunscreva um círculo e, em seguida, circunscreva um quadrado. De novo circunscreva um círculo, depois circunscreva um pentágono regular e assim por diante. Os raios dos círculos circunscritos convergem para a chamada constante circunscrita do polígono

(sequência A051762 no OEIS ). O recíproco dessa constante é a constante de Kepler-Bouwkamp .

Veja também

Referências

links externos

MathWorld

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