Eletromagnetismo clássico e relatividade especial - Classical electromagnetism and special relativity

A teoria da relatividade especial desempenha um papel importante na teoria moderna do eletromagnetismo clássico . Ele fornece fórmulas de como objetos eletromagnéticos, em particular os campos elétricos e magnéticos , são alterados sob uma transformação de Lorentz de um referencial inercial para outro. Ele lança luz sobre a relação entre eletricidade e magnetismo, mostrando que o quadro de referência determina se uma observação segue as leis eletrostáticas ou magnéticas. Motiva uma notação compacta e conveniente para as leis do eletromagnetismo, nomeadamente a forma tensorial "manifestamente covariante".

As equações de Maxwell, quando foram apresentadas pela primeira vez em sua forma completa em 1865, seriam compatíveis com a relatividade especial. Além disso, as coincidências aparentes em que o mesmo efeito foi observado devido a fenômenos físicos diferentes por dois observadores diferentes seriam mostradas como não coincidentes no mínimo pela relatividade especial. Na verdade, metade do primeiro artigo de Einstein de 1905 sobre a relatividade especial, " On the Electrodynamics of Moving Bodies ", explica como transformar as equações de Maxwell.

Transformação dos campos entre frames inerciais

Os campos E e B

Impulso de Lorentz de uma carga elétrica.

Acima: A carga está em repouso no quadro F, então este observador vê um campo elétrico estático. Um observador em outro referencial F ′ se move com velocidade v em relação a F, e vê a carga se mover com velocidade - v com um campo elétrico alterado E devido à contração do comprimento e um campo magnético B devido ao movimento da carga.

Parte inferior: configuração semelhante, com a carga em repouso no quadro F ′.

Essa equação, também chamada de equação de Joules-Bernoulli , considera dois referenciais inerciais . O quadro inicializado está se movendo em relação ao quadro não inicializado na velocidade v . Os campos definidos no quadro inicial são indicados por primos, e os campos definidos no quadro não inicializado não têm primos. Os componentes do campo paralelos à velocidade v são denotados por e enquanto os componentes do campo perpendiculares av são denotados como e . Nestes dois quadros movendo-se a velocidade relativa v , os campos E e os campos B são relacionados por: ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {\ perp}}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {E _ {\ parallel}} '& = \ mathbf {E _ {\ parallel}} \\\ mathbf {B _ {\ parallel}}' & = \ mathbf {B _ {\ paralelo}} \\\ mathbf {E _ {\ bot}} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {E} _ {\ bot} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) \\ \ mathbf {B _ {\ bot}} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {B} _ {\ bot} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \ direita) \ end {alinhado}}}

Onde

{\ displaystyle \ gamma \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2} }}}}

é chamado de fator de Lorentz e c é a velocidade da luz no espaço livre . As equações acima estão em SI . No CGS, essas equações podem ser derivadas substituindo por , e por , exceto . O fator de Lorentz ( ) é o mesmo em ambos os sistemas . As transformações inversas são as mesmas, exceto v → - v . ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {c}}}$ ${\ displaystyle v \ times B}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {c}} v \ times B}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

Uma expressão alternativa equivalente é:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {E} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) - \ left ({\ gamma -1} \ right) (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {B} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {B} - {\ frac {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E}} {c ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ gamma -1} \ right) (\ mathbf {B } \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \ end {alinhado}}}

onde é o vetor da unidade de velocidade . Com as notações anteriores, um realmente tem e . ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {v}} = {\ frac {\ mathbf {v}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {E} _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} = \ mathbf {B} _ {\ parallel}}$

Se um dos campos for zero em um referencial, isso não significa necessariamente que seja zero em todos os outros referenciais. Isso pode ser visto, por exemplo, tornando o campo elétrico não ativado zero na transformação para o campo elétrico iniciado. Nesse caso, dependendo da orientação do campo magnético, o sistema iniciado pode ver um campo elétrico, embora não haja nenhum no sistema não ativado.

Isso não significa que dois conjuntos de eventos completamente diferentes são vistos nos dois quadros, mas que a mesma sequência de eventos é descrita de duas maneiras diferentes (consulte Problema do ímã em movimento e do condutor abaixo).

Se uma partícula de carga q se move com velocidade u em relação ao referencial S, então a força de Lorentz no referencial S é:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}

No quadro S ', a força de Lorentz é:

{\ displaystyle \ mathbf {F '} = q \ mathbf {E'} + q \ mathbf {u '} \ times \ mathbf {B'}}

Se S e S 'têm eixos alinhados, então:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} u_ {x} '& = {\ frac {u_ {x} + v} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \\ u_ { y} '& = {\ frac {u_ {y} / \ gamma} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \\ u_ {z}' & = {\ frac {u_ {z} / \ gamma} {1+ (v \ u_ {x}) / c ^ {2}}} \ end {alinhado}}}

Uma derivação para a transformação da força de Lorentz para o caso particular u = 0 é dada aqui. Um mais geral pode ser visto aqui.

Componente por componente, para movimento relativo ao longo do eixo x, isso funciona da seguinte maneira:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} E '_ {x} & = E_ {x} & \ qquad B' _ {x} & = B_ {x} \\ E '_ {y} & = \ gamma \ left (E_ {y} -vB_ {z} \ right) & B '_ {y} & = \ gamma \ left (B_ {y} + {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {z} \ direita) \\ E '_ {z} & = \ gamma \ left (E_ {z} + vB_ {y} \ right) & B' _ {z} & = \ gamma \ left (B_ {z} - {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {y} \ direita). \\\ end {alinhado}}}

As transformações nesta forma podem ser feitas mais compactas introduzindo o tensor eletromagnético (definido abaixo), que é um tensor covariante .

Os campos D e H

Para o deslocamento elétrico D e intensidade magnética H , usando as relações constitutivas e o resultado para c ² :

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {H} \ ,, \ quad c ^ { 2} = {\ frac {1} {\ epsilon _ {0} \ mu _ {0}}} \ ,,}

dá

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {D} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {D} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {H} \ right) + (1- \ gamma) (\ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ mathbf {H} '& = \ gamma \ left (\ mathbf {H} - \ mathbf {v} \ times \ mathbf {D} \ right) + (1- \ gamma) (\ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {\ hat {v} }) \ mathbf {\ hat {v}} \ end {alinhado}}}

Analogamente para E e B , o D e H formam o tensor de deslocamento eletromagnético .

Os campos φ e A

Uma transformação alternativa mais simples do campo EM usa os potenciais eletromagnéticos - o potencial elétrico φ e o potencial magnético A :

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ varphi '& = \ gamma \ left (\ varphi -vA _ {\ parallel} \ right) \\ A _ {\ parallel}' & = \ gamma \ left (A _ {\ parallel} - {\ frac {v \ varphi} {c ^ {2}}} \ right) \\ A _ {\ bot} '& = A _ {\ bot} \ end {alinhado}}}

onde é a componente paralela de A à direção da velocidade relativa entre os quadros v , e é a componente perpendicular. Estes se assemelham de forma transparente à forma característica de outras transformações de Lorentz (como posição no tempo e momento de energia), enquanto as transformações de E e B acima são um pouco mais complicadas. Os componentes podem ser coletados juntos como: ${\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ bot}}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {A} '& = \ mathbf {A} - {\ frac {\ gamma \ varphi} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} + \ left (\ gamma -1 \ right) \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ right) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ varphi '& = \ gamma \ left (\ varphi - \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {alinhado}}}

Os campos ρ e J

Analogamente para a densidade de carga ρ e densidade de corrente J ,

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} J _ {\ parallel} '& = \ gamma \ left (J _ {\ parallel} -v \ rho \ right) \\\ rho' & = \ gamma \ left (\ rho - { \ frac {v} {c ^ {2}}} J _ {\ parallel} \ right) \\ J _ {\ bot} '& = J _ {\ bot} \ end {alinhado}}}

Coletando componentes juntos:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {J} '& = \ mathbf {J} - \ gamma \ rho \ mathbf {v} + \ left (\ gamma -1 \ right) \ left (\ mathbf {J } \ cdot \ mathbf {\ hat {v}} \ right) \ mathbf {\ hat {v}} \\\ rho '& = \ gamma \ left (\ rho - {\ frac {\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {alinhado}}}

Aproximações não relativísticas

Para velocidades v ≪ c , o fator relativístico γ ≈ 1, que produz:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {E} '& \ approx \ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \\\ mathbf {B}' & \ approx \ mathbf { B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \\\ mathbf {J} '& \ approx \ mathbf {J} - \ rho \ mathbf {v} \\\ rho '& \ approx \ left (\ rho - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ end {alinhado }}}

de modo que não há necessidade de distinguir entre as coordenadas espaciais e temporais nas equações de Maxwell .

Relação entre eletricidade e magnetismo

Uma parte da força entre as cargas móveis é chamada de força magnética. É realmente um aspecto de um efeito elétrico.

- Richard Feynman

Derivando magnetismo da eletrostática

O referencial escolhido determina se um fenômeno eletromagnético é visto como um efeito de eletrostática ou magnetismo ou uma combinação dos dois. Os autores geralmente derivam magnetismo da eletrostática quando a relatividade especial e a invariância de carga são levadas em consideração. The Feynman Lectures on Physics (vol. 2, cap. 13-6) usa este método para derivar a força "magnética" em uma carga móvel próxima a um fio condutor de corrente. Veja também Haskell e Landau.

Os campos se misturam em quadros diferentes

As regras de transformação acima mostram que o campo elétrico em um quadro contribui para o campo magnético em outro quadro e vice-versa. Isso é frequentemente descrito dizendo que o campo elétrico e o campo magnético são dois aspectos inter-relacionados de um único objeto, chamado de campo eletromagnético . Na verdade, todo o campo eletromagnético pode ser representado em um único tensor de classificação 2 chamado tensor eletromagnético ; Veja abaixo.

Problema de ímã e condutor em movimento

Um famoso exemplo da mistura de fenômenos elétricos e magnéticos em diferentes sistemas de referência é chamado de "ímã em movimento e problema do condutor", citado por Einstein em seu artigo de 1905 sobre Relatividade Especial.

Se um condutor se move com velocidade constante através do campo de um ímã estacionário, correntes parasitas serão produzidas devido a uma força magnética nos elétrons do condutor. Na estrutura de descanso do condutor, por outro lado, o ímã estará em movimento e o condutor estacionário. A teoria eletromagnética clássica prevê que exatamente as mesmas correntes parasitas microscópicas serão produzidas, mas serão devido a uma força elétrica .

Formulação covariante no vácuo

As leis e objetos matemáticos no eletromagnetismo clássico podem ser escritos de uma forma que é manifestamente covariante . Aqui, isso só é feito para o vácuo (ou para as equações microscópicas de Maxwell, sem usar descrições macroscópicas de materiais como a permissividade elétrica ) e usa unidades SI .

Esta seção usa a notação de Einstein , incluindo a convenção de soma de Einstein . Consulte também cálculo de Ricci para obter um resumo das notações de índice tensorial e índices de aumento e redução para definição de índices sobrescritos e subscritos e como alternar entre eles. O tensor métrico de Minkowski η aqui tem assinatura métrica (+ - - -).

Tensor de campo e 4 correntes

As transformações relativísticas acima sugerem que os campos elétricos e magnéticos estão acoplados, em um objeto matemático com 6 componentes: um tensor de segunda ordem antissimétrico , ou um bivetor . Isso é chamado de tensor de campo eletromagnético , geralmente escrito como F ^μν . Em forma de matriz:

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatriz}}}

onde c a velocidade da luz - em unidades naturais c = 1.

Existe outra maneira de fundir os campos elétrico e magnético em um tensor anti-simétrico, substituindo E / c → B e B → - E / c , para obter o tensor dual G ^μν .

{\ displaystyle G ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} \\ B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c \\ B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c \\ B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ {x} / c & 0 \ end {pmatriz}}}

No contexto da relatividade especial , ambos se transformam de acordo com a transformação de Lorentz de acordo com

{\ displaystyle F '^ {\ alpha \ beta} = \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ beta} F ^ {\ mu \ nu}}

,

onde Λ ^α_ν é o tensor de transformação de Lorentz para uma mudança de um referencial para outro. O mesmo tensor é usado duas vezes na soma.

A carga e a densidade da corrente, as fontes dos campos, também se combinam no vetor de quatro

{\ displaystyle J ^ {\ alpha} = \ left (c \ rho, J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ right)}

chamado de quatro correntes .

Equações de Maxwell na forma tensorial

Usando esses tensores, as equações de Maxwell reduzem a:

Equações de Maxwell (formulação covariante)

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {\ frac {\ partial F ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta} \ \ & {\ frac {\ partial G ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = 0 \ end {alinhados}}}$

onde as derivadas parciais podem ser escritas de várias maneiras, consulte 4-gradiente . A primeira equação listada acima corresponde à Lei de Gauss (para β = 0) e à Lei de Ampère-Maxwell (para β = 1, 2, 3). A segunda equação corresponde às duas equações restantes, a lei de Gauss para o magnetismo (para β = 0) e a Lei de Faraday (para β = 1, 2, 3).

Essas equações de tensor são manifestamente covariantes , o que significa que as equações podem ser vistas como covariantes pelas posições do índice. Esta forma resumida de escrever as equações de Maxwell ilustra uma ideia compartilhada por alguns físicos, a saber, que as leis da física assumem uma forma mais simples quando escritas usando tensores .

Ao diminuir os índices em F ^αβ para obter F _αβ (ver aumento e redução de índices ):

{\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ alpha \ lambda} \ eta _ {\ beta \ mu} F ^ {\ lambda \ mu}}

a segunda equação pode ser escrita em termos de F _αβ como:

{\ displaystyle \ epsilon ^ {\ delta \ alpha \ beta \ gamma} {\ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = {\ dfrac {\ partial F_ { \ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ gamma}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ gamma \ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} + {\ dfrac {\ partial F _ {\ beta \ gamma}} {\ partial x ^ {\ alpha}}} = 0}

onde está o símbolo Levi-Civita contravariante . Observe a permutação cíclica de índices nesta equação: . ${\ displaystyle \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$ ${\ displaystyle {\ begin {array} {rc} & \ scriptstyle {\ alpha \, \, \ longrightarrow \, \, \ beta} \\ & \ nwarrow _ {\ gamma} \ swarrow \ end {array}}}$

Outro objeto eletromagnético covariante é o tensor de energia de tensão eletromagnética , um tensor de categoria 2 covariante que inclui o vetor de Poynting , o tensor de tensão de Maxwell e a densidade de energia eletromagnética.

4-potencial

O tensor de campo EM também pode ser escrito

{\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial A ^ {\ beta}} {\ partial x _ {\ alpha}}} - {\ frac {\ partial A ^ {\ alpha}} { \ parcial x _ {\ beta}}} \ ,,}

Onde

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left ({\ frac {\ varphi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ right) \ ,,}

é o quatro potencial e

{\ displaystyle x _ {\ alpha} = (ct, -x, -y, -z)}

é a posição de quatro .

Usando o potencial 4 no medidor de Lorenz, uma formulação alternativa manifestamente covariante pode ser encontrada em uma única equação (uma generalização de uma equação devido a Bernhard Riemann por Arnold Sommerfeld , conhecida como a equação de Riemann-Sommerfeld, ou a forma covariante de as equações de Maxwell):

Equações de Maxwell ( formulação de calibre Covariant Lorenz )

${\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = \ mu _ {0} J ^ {\ mu}}$

onde está o operador d'Alembertiano , ou quatro-Laplaciano. Para uma apresentação mais abrangente desses tópicos, consulte Formulação covariante do eletromagnetismo clássico . ${\ displaystyle \ Box}$

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