Limite clássico - Classical limit

O limite clássico ou limite de correspondência é a habilidade de uma teoria física de aproximar ou "recuperar" a mecânica clássica quando considerada sobre valores especiais de seus parâmetros. O limite clássico é usado com teorias físicas que prevêem um comportamento não clássico.

Teoria quântica

Um postulado heurístico chamado princípio de correspondência foi introduzido na teoria quântica por Niels Bohr : na verdade, ele afirma que algum tipo de argumento de continuidade deve ser aplicado ao limite clássico dos sistemas quânticos à medida que o valor da constante de Planck normalizado pela ação desses sistemas torna-se muito pequena. Freqüentemente, isso é abordado por meio de técnicas "quase clássicas" (cf. aproximação de WKB ).

Mais rigorosamente, a operação matemática envolvida nos limites clássicos é uma contração de grupo , aproximando sistemas físicos onde a ação relevante é muito maior do que a constante de Planck ħ , de modo que o "parâmetro de deformação" ħ / S pode ser efetivamente considerado zero (cf. Weyl quantização .) Assim, tipicamente, os comutadores quânticos (equivalentemente, colchetes Moyal ) se reduzem a colchetes de Poisson , em uma contração de grupo .

Na mecânica quântica , devido ao princípio da incerteza de Heisenberg , um elétron nunca pode estar em repouso; deve sempre ter uma energia cinética diferente de zero , um resultado não encontrado na mecânica clássica. Por exemplo, se considerarmos algo muito grande em relação a um elétron, como uma bola de beisebol, o princípio da incerteza prevê que ele não pode realmente ter energia cinética zero, mas a incerteza na energia cinética é tão pequena que a bola pode efetivamente parecer estar em repouso e, portanto, parece obedecer à mecânica clássica. Em geral, se grandes energias e grandes objetos (em relação ao tamanho e níveis de energia de um elétron) são considerados na mecânica quântica, o resultado parecerá obedecer à mecânica clássica. Os números típicos de ocupação envolvidos são enormes: um oscilador harmônico macroscópico com ω  = 2 Hz, m  = 10 ge amplitude máxima x 0  = 10 cm, tem S  ≈  E / ω  ≈ mωx2
0
/ 2 ≈ 10 −4  kg · m 2 / s
 =  ħn , de modo que n  ≃ 10 30 . Veja mais adiante estados coerentes . É menos claro, entretanto, como o limite clássico se aplica a sistemas caóticos, um campo conhecido como caos quântico .

A mecânica quântica e a mecânica clássica são geralmente tratadas com formalismos inteiramente diferentes: a teoria quântica usando o espaço de Hilbert e a mecânica clássica usando uma representação no espaço de fase . Pode-se reunir os dois em uma estrutura matemática comum de várias maneiras. Na formulação do espaço de fase da mecânica quântica, que é de natureza estatística, são feitas conexões lógicas entre a mecânica quântica e a mecânica estatística clássica, permitindo comparações naturais entre elas, incluindo as violações do teorema de Liouville (hamiltoniano) na quantização.

Em um artigo crucial (1933), Dirac explicou como a mecânica clássica é um fenômeno emergente da mecânica quântica: interferência destrutiva entre caminhos com ações macroscópicas não extremas S  »  ħ oblitera contribuições de amplitude na integral de caminho que ele introduziu, deixando a classe S de ação extrema , portanto, o caminho de ação clássico como a contribuição dominante, uma observação mais elaborada por Feynman em sua dissertação de doutorado de 1942. (Veja mais adiante decoerência quântica .)

Evolução temporal dos valores esperados

Uma maneira simples de comparar a mecânica clássica com a quântica é considerar a evolução no tempo da posição esperada e o momento esperado , que podem então ser comparados com a evolução no tempo da posição comum e o momento na mecânica clássica. Os valores da expectativa quântica satisfazem o teorema de Ehrenfest . Para uma partícula quântica unidimensional movendo-se em um potencial , o teorema de Ehrenfest diz

Embora a primeira dessas equações seja consistente com a mecânica clássica, a segunda não é: se o par satisfizesse a segunda lei de Newton, o lado direito da segunda equação teria lido

.

Mas na maioria dos casos,

.

Se, por exemplo, o potencial é cúbico, então é quadrático; nesse caso, estamos falando sobre a distinção entre e , que diferem por .

Uma exceção ocorre no caso em que as equações clássicas de movimento são lineares, ou seja, quando são quadráticas e são lineares. Nesse caso especial, e concordo. Em particular, para uma partícula livre ou um oscilador harmônico quântico, a posição esperada e o momento esperado seguem exatamente as soluções das equações de Newton.

Para sistemas gerais, o melhor que podemos esperar é que a posição e o momento esperados sigam aproximadamente as trajetórias clássicas. Se a função de onda estiver altamente concentrada em torno de um ponto , então e será quase a mesma, já que ambos serão aproximadamente iguais a . Nesse caso, a posição esperada e o momento esperado permanecerão muito próximos das trajetórias clássicas, pelo menos enquanto a função de onda permanecer altamente localizada na posição.

Agora, se o estado inicial é muito localizado na posição, ele será muito espalhado no momento e, portanto, esperamos que a função de onda se espalhe rapidamente e a conexão com as trajetórias clássicas seja perdida. Quando a constante de Planck é pequena, entretanto, é possível ter um estado bem localizado tanto na posição quanto no momento. A pequena incerteza no momento garante que a partícula permaneça bem localizada na posição por um longo tempo, de modo que a posição e o momento esperados continuem a acompanhar de perto as trajetórias clássicas por um longo tempo.

Relatividade e outras deformações

Outras deformações familiares em física envolvem:

  • A deformação da mecânica newtoniana clássica em relativística ( relatividade especial ), com parâmetro de deformação v / c ; o limite clássico envolve pequenas velocidades, então v / c  → 0 , e os sistemas parecem obedecer à mecânica newtoniana.
  • Da mesma forma, para a deformação da gravidade newtoniana na relatividade geral , com o parâmetro de deformação Schwarzschild-raio / dimensão-característica, descobrimos que os objetos mais uma vez parecem obedecer à mecânica clássica (espaço plano), quando a massa de um objeto vezes o quadrado do Planck comprimento é muito menor do que seu tamanho e os tamanhos do problema abordado. Veja o limite newtoniano .
  • A óptica de onda também pode ser considerada uma deformação da óptica de raio para o parâmetro de deformação λ / a .
  • Da mesma forma, a termodinâmica deforma para mecânica estatística com parâmetro deformação 1 / N .

Veja também

Referências

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