Manifold fechado - Closed manifold

Em matemática , uma variedade fechada é uma variedade sem limite que é compacta .

Em comparação, um manifold aberto é um manifold sem limite que possui apenas componentes não compactos .

Exemplos

O único exemplo unidimensional conectado é um círculo . O toro e a garrafa de Klein estão fechados. Uma linha não é fechada porque não é compacta. Um disco fechado é compacto, mas não é um coletor fechado porque tem um limite.

Manifolds abertos

Para um manifold conectado, "aberto" é equivalente a "sem limite e não compacto", mas para um manifold desconectado, aberto é mais forte. Por exemplo, a união disjunta de um círculo e uma linha é não compacta porque uma linha não é compacta, mas esta não é uma variedade aberta porque o círculo (um de seus componentes) é compacto.

Abuso de linguagem

A maioria dos livros geralmente define uma variedade como um espaço que é, localmente, homeomórfico ao espaço euclidiano (junto com algumas outras condições técnicas), portanto, por esta definição, uma variedade não inclui sua fronteira quando está embutida em um espaço maior. No entanto, esta definição não cobre alguns objetos básicos, como um disco fechado , portanto, os autores às vezes definem uma variedade com limite e, abusivamente, dizem variedade sem referência à fronteira. Mas normalmente, um manifold compacto (compacto em relação à sua topologia subjacente) pode ser usado como sinônimo para manifold fechado se a definição usual para manifold for usada.

A noção de uma variedade fechada não está relacionada à de um conjunto fechado . Uma linha é um subconjunto fechado do plano e uma variedade, mas não uma variedade fechada.

Use em física

A noção de um " universo fechado " pode se referir ao universo sendo uma variedade fechada, mas mais provavelmente se refere ao universo sendo uma variedade de curvatura de Ricci positiva constante .

Referências

  • Michael Spivak : Uma introdução abrangente à geometria diferencial. Volume 1. 3ª edição com correções. Publish or Perish, Houston TX 2005, ISBN   0-914098-70-5 .