Conjunto fechado - Closed set

Em geometria , topologia e ramos relacionados da matemática , um conjunto fechado é um conjunto cujo complemento é um conjunto aberto . Em um espaço topológico , um conjunto fechado pode ser definido como um conjunto que contém todos os seus pontos limites . Em um espaço métrico completo , um conjunto fechado é um conjunto fechado sob a operação de limite . Isso não deve ser confundido com um manifold fechado .

Definições equivalentes de um conjunto fechado

Por definição, um subconjunto de um espaço topológico é denominado fechado se seu complemento for um subconjunto aberto de ; isto é, se Um conjunto é fechado em se e somente se for igual a seu fechamento em Equivalentemente, um conjunto é fechado se e somente se contém todos os seus pontos limites . Outra definição equivalente é que um conjunto é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de fronteira . Cada subconjunto está sempre contido em seu fechamento (topológico) no qual é denotado por que é, se então Além disso, é um subconjunto fechado de se e somente se${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle X \ setminus A}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle X \ setminus A \ in \ tau.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} A;}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle A \ subseteq \ operatorname {cl} _ {X} A.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A = \ operatorname {cl} _ {X} A.}$

Uma caracterização alternativa de conjuntos fechados está disponível por meio de sequências e redes . Um subconjunto de um espaço topológico é fechado em se e somente se cada limite de cada rede de elementos de também pertencer a Em um espaço de primeira contagem (como um espaço métrico), é suficiente considerar apenas sequências convergentes , em vez de todas redes. Um valor dessa caracterização é que ela pode ser usada como uma definição no contexto de espaços de convergência , que são mais gerais do que espaços topológicos. Observe que essa caracterização também depende do espaço circundante, porque se uma sequência ou rede converge para dentro depende de quais pontos estão presentes em Um ponto em é dito estar próximo a um subconjunto se (ou equivalentemente, se pertence ao fechamento de em o significado do subespaço topológico onde é dotado da topologia do subespaço induzida por ). Como o fechamento de em é, portanto, o conjunto de todos os pontos em que estão próximos a esta terminologia, permite uma descrição simples em inglês de subconjuntos fechados: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {X} A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A \ cup \ {x \},}$${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {A \ cup \ {x \}} A}$${\ displaystyle A \ cup \ {x \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A,}$

um subconjunto é fechado se, e somente se, contém todos os pontos próximos a ele.

Em termos de convergência líquida, um ponto está próximo de um subconjunto se e somente se houver alguma rede (valorizada) em que converge para If é um subespaço topológico de algum outro espaço topológico, caso em que é chamado de superespaço topológico de então não pode existir algum ponto em que está perto (embora não seja um elemento de ), que é como é possível para um subconjunto de ser fechado em , mas para não ser fechado no "maior" em torno super-espaço Se e se é qualquer O superespaço topológico de then é sempre um subconjunto (potencialmente adequado) que denota o fechamento de em , de fato, mesmo se for um subconjunto fechado de (o que acontece se e somente se ), ainda assim é possível ser um subconjunto adequado de No entanto, é um subconjunto fechado de se e somente se para algum (ou equivalentemente, para cada) superespaço topológico de${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y,}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle Y \ setminus X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {Y} A,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Y;}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A = \ operatorname {cl} _ {X} A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {Y} A.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A = X \ cap \ operatorname {cl} _ {Y} A}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X.}$

Conjuntos fechados também podem ser usados ​​para caracterizar funções contínuas : um mapa é contínuo se e somente se para cada subconjunto ; isso pode ser reformulado em inglês como: é contínuo se e somente se para cada subconjunto mapeia pontos que estão próximos a pontos que estão próximos de Similarmente, é contínuo em um determinado ponto fixo se e somente se quando estiver próximo de um subconjunto, então é perto de${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle f \ left (\ operatorname {cl} _ {X} A \ right) \ subseteq \ operatorname {cl} _ {Y} (f (A))}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A \ subseteq X,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f (A).}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ subseteq X,}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (A).}$

Mais sobre conjuntos fechados

A noção de conjunto fechado é definida acima em termos de conjuntos abertos , um conceito que faz sentido para espaços topológicos , bem como para outros espaços que carregam estruturas topológicas, como espaços métricos , variedades diferenciáveis , espaços uniformes e espaços de calibre .

Se um conjunto é fechado depende do espaço no qual ele está embutido. No entanto, os espaços de Hausdorff compactos são " absolutamente fechados ", no sentido de que, se você incorporar um espaço de Hausdorff compacto em um espaço de Hausdorff arbitrário, então sempre será um subconjunto fechado de ; o "espaço circundante" não importa aqui. A compactação de Stone-Čech , um processo que transforma um espaço de Hausdorff completamente regular em um espaço de Hausdorff compacto, pode ser descrito como limites adjacentes de certas redes não convergentes ao espaço. ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$

Além disso, todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto, e todo subespaço compacto de um espaço de Hausdorff é fechado.

Conjuntos fechados também fornecem uma caracterização útil de compactação: um espaço topológico é compacto se e somente se cada coleção de subconjuntos fechados não vazios com interseção vazia admitir uma subcoleção finita com interseção vazia. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Um espaço topológico está desligado se não existir disjuntos, não vazio, subconjuntos abertos e de cuja união é Além disso, é totalmente desligada se tem uma base aberta consistindo de conjuntos fechados. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$

Propriedades de conjuntos fechados

Um conjunto fechado contém seu próprio limite . Em outras palavras, se você estiver "fora" de um conjunto fechado, poderá se mover um pouco em qualquer direção e ainda permanecer fora do conjunto. Observe que isso também é verdade se o limite for o conjunto vazio, por exemplo, no espaço métrico de números racionais, para o conjunto de números cujo quadrado é menor que${\ displaystyle 2.}$

• Qualquer interseção de qualquer família de conjuntos fechados é fechada (isso inclui interseções de um número infinito de conjuntos fechados)
• A união de um número finito muitos conjuntos fechados é fechada.
• O conjunto vazio está fechado.
• Todo o conjunto está fechado.

Na verdade, se for dado um conjunto e uma coleção de subconjuntos de tal que os elementos de tenham as propriedades listadas acima, então existe uma topologia única em que os subconjuntos fechados de são exatamente aqueles conjuntos que pertencem a. A propriedade intersection também permite um para definir o fechamento de um conjunto em um espaço que é definido como o menor subconjunto fechado de um superconjunto de. Especificamente, o fechamento de pode ser construído como a interseção de todos esses superconjuntos fechados. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F} \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ tau)}$${\ displaystyle \ mathbb {F}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle X}$

Conjuntos que podem ser construídos como a união de muitos conjuntos fechados contáveis são denotados conjuntos F _σ . Esses conjuntos não precisam ser fechados.

Exemplos de conjuntos fechados

• O intervalo fechado de números reais é fechado. (Consulte Intervalo (matemática) para uma explicação da notação do conjunto de colchetes e parênteses.)${\ displaystyle [a, b]}$
• O intervalo unitário é fechado no espaço métrico dos números reais, e o conjunto de números racionais entre e (inclusive) é fechado no espaço dos números racionais, mas não é fechado nos números reais.${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle [0,1] \ cap \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle [0,1] \ cap \ mathbb {Q}}$
• Alguns conjuntos não são abertos nem fechados, por exemplo, o intervalo semiaberto nos números reais.${\ displaystyle [0,1)}$
• Alguns conjuntos são abertos e fechados e são chamados de conjuntos clopen .
• O raio está fechado.${\ displaystyle [1, + \ infty)}$
• O conjunto Cantor é um conjunto fechado incomum, no sentido de que consiste inteiramente em pontos de fronteira e não é denso em nenhum lugar.
• Pontos singleton (e, portanto, conjuntos finitos) são fechados em espaços de Hausdorff .
• O conjunto de inteiros é um conjunto infinito e ilimitado fechado nos números reais.${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Se é uma função entre espaços topológicos, então é contínua se e somente se as pré-imagens de conjuntos fechados em são fechadas em${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X.}$

Veja também

• Conjunto Clopen  - Subconjunto que é aberto e fechado
• Mapa fechado
• Conjunto aberto  - subconjunto básico de um espaço topológico
• Vizinhança  - Conjunto aberto em um espaço topológico que contém um determinado ponto ou subconjunto
• Região (matemática)
• Conjunto regular fechado

Notas

Referências

• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergência da topologia . Nova Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn e Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análise e seus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia geral (primeira edição). Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .