Cobordismo - Cobordism

Em matemática , o cobordismo é uma relação de equivalência fundamental na classe de variedades compactas da mesma dimensão, estabelecida usando o conceito de fronteira ( bord francês , dando cobordismo ) de uma variedade. Duas variedades da mesma dimensão são coordenadas se sua união disjunta for o limite de uma variedade compacta uma dimensão acima.

A fronteira de uma variedade W ( n  + 1) -dimensional é uma variedade n- dimensional ∂ W que é fechada, ou seja, com fronteira vazia. Em geral, uma variedade fechada não precisa ser uma fronteira: a teoria do cobordismo é o estudo da diferença entre todas as variedades fechadas e aquelas que são fronteiras. A teoria foi originalmente desenvolvida por René Thom para variedades suaves (isto é, diferenciáveis), mas agora também existem versões para variedades lineares e topológicas por partes .

Um cobordismo entre colectores M e N é um colector compacto W cujo limite é a união disjuntos de M e N , . ${\ displaystyle \ parcial W = M \ sqcup N}$

Os cobordismos são estudados tanto pela relação de equivalência que eles geram quanto como objetos por si mesmos. O cobordismo é uma relação de equivalência muito mais grosseira do que o difeomorfismo ou homeomorfismo de variedades e é significativamente mais fácil de estudar e calcular. Não é possível classificar variedades até difeomorfismo ou homeomorfismo em dimensões ≥ 4 - porque o problema da palavra para grupos não pode ser resolvido - mas é possível classificar variedades até cobordismo. Cobordismos são objetos centrais de estudo em topologia geométrica e topologia algébrica . Na topologia geométrica, os cobordismos estão intimamente ligados à teoria de Morse , e os h -cobordismos são fundamentais no estudo de variedades de alta dimensão, nomeadamente a teoria da cirurgia . Na topologia algébrica, as teorias de cobordismo são teorias de cohomologia extraordinárias fundamentais , e as categorias de cobordismos são os domínios das teorias de campo quântico topológicas .

Definição

Manifolds

Grosso modo, uma variedade n- dimensional M é um espaço topológico localmente (ou seja, perto de cada ponto) homeomórfico a um subconjunto aberto do espaço euclidiano. Uma variedade com limite é semelhante, exceto que um ponto de M pode ter uma vizinhança que é homeomórfico a um subconjunto aberto do meio-espaço ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

${\ displaystyle \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x_ {n} \ geqslant 0 \}.}$

Esses pontos sem uma vizinhança homeomórfica para um subconjunto aberto do espaço euclidiano são os pontos de fronteira de ; o limite de é denotado por . Finalmente, uma variedade fechada é, por definição, uma variedade compacta sem limite ( .) ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ parcial M}$${\ displaystyle \ partial M = \ emptyset}$

Cobordismos

Um -dimensional cobordismo é um quíntuplo consistindo de um colector compacto diferenciável -dimensional com limite, ; fechados -manifolds , ; e embeddings , com imagens disjuntas de tal forma que ${\ displaystyle (n + 1)}$ ${\ displaystyle (W; M, N, i, j)}$${\ displaystyle (n + 1)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle i \ dois pontos M \ hookrightarrow \ parcial W}$${\ displaystyle j \ colon N \ hookrightarrow \ parcial W}$

${\ displaystyle \ parcial W = i (M) \ sqcup j (N) ~.}$

A terminologia geralmente é abreviada para . M e N são chamados de cobordantes se tal cobordismo existir. Todos os colectores cobordant para um dado colector fixo M forma a classe cobordismo de  M . ${\ displaystyle (W; M, N)}$

Cada variedade fechada M é o limite da variedade não compacta M  × [0, 1); por esta razão, exigimos que W seja compacto na definição de cobordismo. De notar contudo que W é não necessita de estar ligado; como consequência, se M  = ∂ W ₁ e N  = ∂ W ₂ , então M e N são co-cordantes.

Exemplos

O exemplo mais simples de um cobordismo é o intervalo unitário I = [0, 1]. É um cobordismo unidimensional entre as variedades 0-dimensionais {0}, {1}. Mais geralmente, para qualquer variedade fechada M , ( M × I ; M x {0}, M x {1}) é um cobordismo de M × {0} a M × {1}.

Se M consiste em um círculo e N em dois círculos, M e N juntos formam a fronteira de uma calça W (veja a figura à direita). Assim, o par de calças é um cobordismo entre M e N . Um cobordismo mais simples entre M e N é dado pela união disjunta de três discos.

O par de calças é um exemplo de um cobordismo mais geral: para quaisquer dois n colectores -dimensional M , M ', a união de disjunção é cobordant à soma conectado O exemplo anterior é um caso particular, uma vez que a soma ligado é isomorfa a O A soma conectada é obtida da união disjunta por cirurgia em um embutimento de em , e o cobordismo é o traço da cirurgia. ${\ displaystyle M \ sqcup M '}$ ${\ displaystyle M \ #M '.}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ # \ mathbb {S} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}.}$${\ displaystyle M \ #M '}$${\ displaystyle M \ sqcup M '}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {n}}$${\ displaystyle M \ sqcup M '}$

Terminologia

Uma n- variedade M é chamada de nulo-co-cordante se houver um cobordismo entre M e a variedade vazia; em outras palavras, se M é todo o limite de alguma ( n  + 1) -variedade. Por exemplo, o círculo é nulo-co-cordante, uma vez que limita um disco. De modo mais geral, uma n -sfera é nula-co-cordante, uma vez que limita um ( n  + 1) -disco. Além disso, cada superfície orientável é nulo cobordant, porque é o limite de uma handlebody . Por outro lado, o 2 n -dimensional espaço projectiva verdadeiro é um (compacta) colector fechado, que não é o limite de um colector, tal como é explicado abaixo. ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2n} (\ mathbb {R})}$

O problema geral do bordismo é calcular as classes de cobordismo de variedades sujeitas a várias condições.

Os nulos-cobordismos com estrutura adicional são chamados de obturações . "Bordismo" e "cobordismo" são usados ​​por alguns autores indistintamente; outros os distinguem. Quando se deseja distinguir o estudo das classes de cobordismo do estudo dos cobordismos como objetos em seu próprio direito, chama-se a questão da equivalência de "bordismo de variedades" e o estudo dos cobordismos como objetos de "cobordismos de variedades".

O termo "bordismo" vem do francês bord , que significa fronteira. Portanto, o bordismo é o estudo das fronteiras. "Cobordismo" significa "conjuntamente vinculado", então M e N são co-cordantes se unirem conjuntamente uma variedade, ou seja, se sua união disjunta for uma fronteira. Além disso, os grupos de cobordismo formam uma teoria de cohomologia extraordinária , daí a co-.

Variantes

O texto acima é a forma mais básica da definição. Também é conhecido como bordismo não orientado. Em muitas situações, as variedades em questão são orientados , ou realizar alguma outra estrutura adicional referido como G-estrutura . Isso dá origem a "cobordismo orientado" e "cobordismo com estrutura G", respectivamente. Em condições técnicas favoráveis, eles formam um anel graduado denominado anel de cobordismo , com graduação por dimensão, adição por união disjunta e multiplicação por produto cartesiano . Os grupos de cobordismo são os grupos de coeficientes de uma teoria de homologia generalizada . ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$

Quando existe uma estrutura adicional, a noção de cobordismo deve ser formulada mais precisamente: um L -Estrutura em W se restringe a um L -Estrutura em H e N . Os exemplos básicos são G = O para cobordismo não orientado, G = SO para cobordismo orientado e G = U para cobordismo complexo usando variedades complexas de maneira estável . Muitos mais são detalhados por Robert E. Stong .

De forma semelhante, uma ferramenta padrão na teoria da cirurgia é a cirurgia em mapas normais : tal processo muda um mapa normal para outro mapa normal dentro da mesma classe de bordismo .

Em vez de considerar a estrutura adicional, também é possível levar em conta várias noções de variedade, especialmente linear por partes (PL) e variedades topológicas . Isso dá origem a grupos de bordismo , que são mais difíceis de calcular do que as variantes diferenciáveis. ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {PL} (X), \ Omega _ {*} ^ {TOP} (X)}$

Construção de cirurgia

Lembre-se de que, em geral, se X , Y são variedades com limite, então o limite da variedade do produto é ∂ ( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y ).

Agora, dada uma variedade M de dimensão n = p + q e um embedding definir a variedade n${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ subconjunto M,}$

${\ displaystyle N: = (M- \ operatorname {int ~ im} \ varphi) \ cup _ {\ varphi | _ {\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} }} (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1})}$

obtido por cirurgia , através do corte do interior e colagem ao longo de seus limites ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1}}$

${\ displaystyle \ partial \ left (\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ right) = \ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {S} ^ { q-1} = \ parcial \ esquerda (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ vezes \ mathbb {S} ^ {q-1} \ direita).}$

O rastro da cirurgia

${\ displaystyle W: = (M \ times I) \ cup _ {\ mathbb {S} ^ {p} \ times \ mathbb {D} ^ {q} \ times \ {1 \}} (\ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {D} ^ {q})}$

define um cobordismo elementar ( W ; M , N ). Observe que M é obtido de N por cirurgia em Isso é chamado de reversão da cirurgia . ${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {p + 1} \ times \ mathbb {S} ^ {q-1} \ subconjunto N.}$

Todo cobordismo é uma união de cobordismos elementares, obra de Marston Morse , René Thom e John Milnor .

Exemplos

De acordo com a definição acima, uma cirurgia no círculo consiste em cortar uma cópia e colar. As imagens na Fig. 1 mostram que o resultado de fazer isso é (i) novamente ou (ii) duas cópias de ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {1} \ times \ mathbb {S} ^ {0}.}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1}}$

Para cirurgia na esfera 2, existem mais possibilidades, pois podemos começar cortando ou ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}.}$

• (a) : Se removermos um cilindro da 2-esfera, ficamos com dois discos. Temos que colar de volta - ou seja, dois discos - e está claro que o resultado disso é nos dar duas esferas disjuntas. (Fig. 2a) ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$

• (b) : Tendo cortado dois discos , colamos de volta no cilindro. Existem dois resultados possíveis, dependendo se nossos mapas de colagem têm a mesma orientação ou oposta nos dois círculos de fronteira. Se as orientações forem as mesmas (Fig. 2b), a variedade resultante é o toro, mas se forem diferentes, obtemos a garrafa de Klein (Fig. 2c). ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {0} \ times \ mathbb {D} ^ {2},}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {D} ^ {1}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ times \ mathbb {S} ^ {1}}$

Funções de Morse

Suponha que f seja uma função de Morse em uma  variedade ( n + 1) -dimensional e suponha que c seja um valor crítico com exatamente um ponto crítico em sua pré-imagem. Se o índice desse ponto crítico for p  + 1, então o conjunto de níveis N  : = f ⁻¹ ( c  + ε) é obtido de M  : = f ⁻¹ ( c  - ε) por uma p- cirurgia. A imagem inversa W  : = f ⁻¹ ([ c  - ε, c  + ε]) define um cobordismo ( W ; M , N ) que pode ser identificado com o traço desta cirurgia.

Geometria e a conexão com a teoria de Morse e guidões

Dado um cobordismo ( W ; H , N ), existe uma função suave f  : W → [0, 1], tal que f ^-1 (0) = H , F ^-1 (1) = N . Por posição geral, pode-se supor f é Morse e de tal modo que todos os pontos críticos ocorrer no interior de W . Nesse cenário, f é chamado de função de Morse em um cobordismo. O cobordismo ( W ; M , N ) é uma união dos traços de uma sequência de cirurgias em M , uma para cada ponto crítico de f . A variedade W é obtida de M × [0, 1] anexando uma alça para cada ponto crítico de f .

O teorema de Morse / Smale afirma que para uma função de Morse em um cobordismo, as linhas de fluxo de f ′ dão origem a uma apresentação em punho do triplo ( W ; M , N ). Por outro lado, dada uma decomposição de alça de um cobordismo, ele vem de uma função de Morse adequada. Em uma configuração adequadamente normalizada, esse processo fornece uma correspondência entre decomposições de manipuladores e funções de Morse em um cobordismo.

História

O cobordismo teve suas raízes na tentativa (fracassada) de Henri Poincaré em 1895 de definir a homologia puramente em termos de variedades ( Dieudonné 1989 , p. 289 ). Poincaré definiu simultaneamente homologia e cobordismo, que não são os mesmos, em geral. Veja o Cobordismo como uma teoria de cohomologia extraordinária para a relação entre o bordismo e a homologia.

O bordismo foi explicitamente introduzido por Lev Pontryagin no trabalho geométrico em variedades. Ganhou destaque quando René Thom mostrou que os grupos de cobordismo podiam ser calculados por meio da teoria da homotopia , por meio da construção do complexo de Thom . Teoria cobordismo tornou-se parte do aparelho da teoria cohomology extraordinária , ao lado de K-teoria . Ele desempenhou um papel importante, historicamente falando, nos desenvolvimentos da topologia na década de 1950 e no início da década de 1960, em particular no teorema de Hirzebruch – Riemann – Roch e nas primeiras provas do teorema do índice Atiyah – Singer .

Na década de 1980, a categoria com variedades compactas como objetos e cobordismos entre eles como morfismos desempenhou um papel básico nos axiomas de Atiyah-Segal para a teoria de campos quânticos topológicos , que é uma parte importante da topologia quântica .

Aspectos categóricos

Os cobordismos são objetos de estudo por si só, à parte das classes de cobordismo. Os cobordismos formam uma categoria cujos objetos são variedades fechadas e cujos morfismos são cobordismos. Grosso modo, a composição é dada pela colagem de cobordismos de ponta a ponta: a composição de ( W ; M , N ) e ( W  ′; N , P ) é definida pela colagem da extremidade direita do primeiro à extremidade esquerda de o segundo, rendendo ( W  ′ ∪ _N W ; M , P ). Um cobordismo é um tipo de cospan : H → W ← N . A categoria é uma categoria compacta de punhal .

Uma teoria quântica de campo topológica é um functor monoidal de uma categoria de cobordismos para uma categoria de espaços vetoriais . Ou seja, é um functor cujo valor em uma união disjunta de variedades é equivalente ao produto tensorial de seus valores em cada uma das variedades constituintes.

Em dimensões baixas, a questão do bordismo é relativamente trivial, mas a categoria do cobordismo não. Por exemplo, o disco que delimita o círculo corresponde a uma operação nula (0-ária), enquanto o cilindro corresponde a uma operação 1-ária e o par de calças a uma operação binária.

Cobordismo não orientado

O conjunto de classes de cobordismo de variedades n- dimensionais não orientadas fechadas é geralmente denotado por (em vez de pelo mais sistemático ); é um grupo abeliano com a união disjunta como operação. Mais especificamente, se [ M ] e [ N ] denotam as classes de cobordismo das variedades M e N respectivamente, nós definimos ; esta é uma operação bem definida que se transforma em um grupo abeliano. O elemento de identidade desse grupo é a classe que consiste em todas as n- variedades fechadas que são fronteiras. Além disso, temos para cada M desde então . Portanto, é um espaço vetorial acabado , o campo com dois elementos . O produto cartesiano de variedades define uma multiplicação então ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {\ text {O}}}$${\ displaystyle [M] + [N] = [M \ sqcup N]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle [\ emptyset]}$${\ displaystyle [M] + [M] = [\ emptyset]}$${\ displaystyle M \ sqcup M = \ partial (M \ times [0,1])}$${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$${\ displaystyle [M] [N] = [M \ vezes N],}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {*} = \ bigoplus _ {n \ geqslant 0} {\ mathfrak {N}} _ {n}}$

é uma álgebra graduada , com a classificação dada pela dimensão.

A classe de cobordismo de uma variedade n- dimensional fechada não orientada M é determinada pelos números característicos de Stiefel-Whitney de M , que dependem da classe de isomorfismo estável do feixe tangente . Portanto, se M tem um feixe tangente estável e trivial, então . Em 1954 René Thom provou ${\ displaystyle [M] \ in {\ mathfrak {N}} _ {n}}$${\ displaystyle [M] = 0 \ in {\ mathfrak {N}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {*} = \ mathbb {F} _ {2} \ left [x_ {i} | i \ geqslant 1, i \ neq 2 ^ {j} -1 \ right] }$

a álgebra polinomial com um gerador em cada dimensão . Assim, duas variedades n- dimensionais fechadas não orientadas M , N são coordenadas, se e somente se para cada coleção de k -tuplos de inteiros de modo que os números de Stiefel-Whitney sejam iguais ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle i \ neq 2 ^ {j} -1}$${\ displaystyle [M] = [N] \ in {\ mathfrak {N}} _ {n},}$${\ displaystyle \ left (i_ {1}, \ cdots, i_ {k} \ right)}$${\ displaystyle i \ geqslant 1, i \ neq 2 ^ {j} -1}$${\ displaystyle i_ {1} + \ cdots + i_ {k} = n}$

${\ displaystyle \ left \ langle w_ {i_ {1}} (M) \ cdots w_ {i_ {k}} (M), [M] \ right \ rangle = \ left \ langle w_ {i_ {1}} ( N) \ cdots w_ {i_ {k}} (N), [N] \ right \ rangle \ in \ mathbb {F} _ {2}}$

com a i a classe Stiefel-Whitney e a classe fundamental do coeficiente . ${\ displaystyle w_ {i} (M) \ in H ^ {i} \ left (M; \ mathbb {F} _ {2} \ right)}$${\ displaystyle [M] \ in H_ {n} \ left (M; \ mathbb {F} _ {2} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

Para mesmo i é possível escolher a classe de cobordismo do espaço projetivo real i- dimensional . ${\ displaystyle x_ {i} = \ left [\ mathbb {P} ^ {i} (\ mathbb {R}) \ right]}$

Os grupos de cobordismo não orientado de baixa dimensão são

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {N}} _ {0} & = \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {1} & = 0, \\ { \ mathfrak {N}} _ {2} & = \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {3} & = 0, \\ {\ mathfrak {N}} _ {4} & = \ mathbb {Z} / 2 \ oplus \ mathbb {Z} / 2, \\ {\ mathfrak {N}} _ {5} & = \ mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

Isso mostra, por exemplo, que cada variedade fechada tridimensional é o limite de uma variedade 4 (com limite).

O módulo 2 característico de Euler de uma variedade M não orientada é um invariante de cobordismo não orientado. Isso está implícito na equação ${\ displaystyle \ chi (M) \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ chi _ {\ partial W} = \ left (1 - (- 1) ^ {\ dim W} \ right) \ chi _ {W}}$

para qualquer variedade compacta com limite . ${\ displaystyle W}$

Portanto, é um homomorfismo de grupo bem definido. Por exemplo, para qualquer ${\ displaystyle \ chi: {\ mathfrak {N}} _ {i} \ to \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle i_ {1}, \ cdots, i_ {k} \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ chi \ left (\ mathbb {P} ^ {2i_ {1}} (\ mathbb {R}) \ times \ cdots \ times \ mathbb {P} ^ {2i_ {k}} (\ mathbb {R }) \ right) = 1.}$

Em particular, esse produto de espaços projetivos reais não é nulo-coordante. O mapa de características de Euler mod 2 é para todos e um isomorfismo de grupo para ${\ displaystyle \ chi: {\ mathfrak {N}} _ {2i} \ to \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle i \ in \ mathbb {N},}$${\ displaystyle i = 1.}$

Além disso, por causa disso, esses homomorfismo de grupo se reúnem em um homomorfismo de álgebras graduadas: ${\ displaystyle \ chi (M \ times N) = \ chi (M) \ chi (N)}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ mathfrak {N}} \ to \ mathbb {F} _ {2} [x] \\ [] [M] \ mapsto \ chi (M) x ^ {\ dim ( M)} \ end {casos}}}$

Cobordismo de variedades com estrutura adicional

O cobordismo também pode ser definido para variedades que possuem estrutura adicional, notadamente uma orientação. Isso é formalizado de uma maneira geral usando a noção de estrutura X (ou estrutura G ). Muito resumidamente, o feixe normal ν de uma imersão de M em um espaço euclidiano de dimensão suficientemente alta dá origem a um mapa de M para o Grassmanniano , que por sua vez é um subespaço do espaço de classificação do grupo ortogonal : ν: M → Gr ( n , n  +  k ) → BO ( k ). Dada uma coleção de espaços e mapas X _k → X _{k +1} com mapas X _k → BO ( k ) (compatível com as inclusões BO ( k ) → BO ( k +1), uma estrutura X é uma elevação de ν para um mapa . Considerando apenas variedades e cobordismos com estrutura X dá origem a uma noção mais geral de cobordismo. Em particular, X _k pode ser dado por BG ( k ), onde G ( k ) → O ( k ) é algum homomorfismo de grupo . Isso é conhecido como uma estrutura G. Os exemplos incluem G = O , o grupo ortogonal, devolvendo o cobordismo não orientado, mas também o subgrupo SO ( k ) , dando origem ao cobordismo orientado , o grupo de spin , o grupo unitário U ( k ) , e o grupo trivial, dando origem ao cobordismo enquadrado . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + k}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ nu}}: M \ a X_ {k}}$

Os grupos de cobordismo resultantes são então definidos analogamente ao caso não orientado. Eles são denotados por . ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G}}$

Cobordismo orientado

O cobordismo orientado é aquele de variedades com uma estrutura SO. Equivalentemente, todas as variedades precisam ser orientadas e os cobordismos ( W , M , N ) (também referidos como cobordismos orientados para maior clareza) são tais que a fronteira (com as orientações induzidas) é , onde - N denota N com a orientação invertida. Por exemplo, o limite do cilindro M  ×  I é : ambas as extremidades têm orientações opostas. É também a definição correta no sentido da teoria da cohomologia extraordinária . ${\ displaystyle M \ sqcup (-N)}$${\ displaystyle M \ sqcup (-M)}$

Ao contrário do grupo de cobordismo não orientado, onde cada elemento é de duas torções, 2 M não é em geral um limite orientado, ou seja, 2 [ M ] ≠ 0 quando considerado em ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}}.}$

Os grupos de cobordismo orientado recebem módulo de torção por

${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}} \ otimes \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} \ left [y_ {4i} \ mid i \ geqslant 1 \ right],}$

a álgebra polinomial gerada pelas classes de cobordismo orientado

${\ displaystyle y_ {4i} = \ left [\ mathbb {P} ^ {2i} (\ mathbb {C}) \ right] \ in \ Omega _ {4i} ^ {\ text {SO}}}$

dos espaços projetivos complexos (Thom, 1952). O grupo de cobordismo orientado é determinado pelos números característicos de Stiefel-Whitney e Pontrjagin (Wall, 1960). Duas variedades orientadas são cobordantes orientadas se e somente se seus números de Stiefel-Whitney e Pontrjagin forem iguais. ${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}}}$

Os grupos de cobordismo orientado de baixa dimensão são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Omega _ {0} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z}, \\\ Omega _ {1} ^ {\ text {SO}} & = 0 , \\\ Omega _ {2} ^ {\ text {SO}} & = 0, \\\ Omega _ {3} ^ {\ text {SO}} & = 0, \\\ Omega _ {4} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z}, \\\ Omega _ {5} ^ {\ text {SO}} & = \ mathbb {Z} _ {2}. \ end {alinhado}}}$

A assinatura de uma variedade orientada 4 i -dimensional M é definida como a assinatura da forma de interseção em e é denotada por É um invariante de cobordismo orientado, que é expresso em termos dos números de Pontrjagin pelo teorema da assinatura de Hirzebruch . ${\ displaystyle H ^ {2i} (M) \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ sigma (M).}$

Por exemplo, para qualquer i ₁ , ..., i _k ≥ 1

${\ displaystyle \ sigma \ left (\ mathbb {P} ^ {2i_ {1}} (\ mathbb {C}) \ times \ cdots \ times \ mathbb {P} ^ {2i_ {k}} (\ mathbb {C }) \ right) = 1.}$

O mapa de assinatura é para todo i ≥ 1 e um isomorfismo para i = 1. ${\ displaystyle \ sigma: \ Omega _ {4i} ^ {\ text {SO}} \ to \ mathbb {Z}}$

Cobordismo como uma teoria extraordinária de cohomologia

Cada pacote vector teoria (real, complexo etc.) tem uma teoria cohomology extraordinário chamado K-teoria . Da mesma forma, toda a teoria cobordismo Ω ^L tem uma teoria cohomología extraordinária , com ( "bordism") grupos de homologia e cohomología ( "") cobordismo grupos para qualquer espaço X . Os grupos de homologia generalizadas são covariante em X , e os grupos de cohomología generalizadas são contravariante em X . Os grupos cobordismo definidos acima são, a partir deste ponto de vista, os grupos de homologia de um ponto: . Então é o grupo de classes de bordismo de pares ( M , f ) com M uma variedade n- dimensional fechada M (com estrutura G) ef  : M → X um mapa. Tais pares ( M , f ), ( N , g ) são limítrofes se existe um G-cobordismo ( W ; M , N ) com um mapa h  : W → X , que se restringe a f em M , e ag em N . ${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {G} ^ {n} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {*} ^ {G} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {G} ^ {*} (X)}$${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} = \ Omega _ {n} ^ {G} ({\ text {pt}})}$${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X)}$

Uma variedade n- dimensional M tem uma classe de homologia fundamental [ M ] ∈ H _n ( M ) (com coeficientes em geral, e no caso orientado), definindo uma transformação natural ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ Omega _ {n} ^ {G} (X) \ to H_ {n} (X) \\ (M, f) \ mapsto f _ {*} [M] \ end { casos}}}$

o que está longe de ser um isomorfismo em geral.

As teorias de bordismo e cobordismo de um espaço satisfazem os axiomas de Eilenberg-Steenrod além do axioma de dimensão. Isso não significa que os grupos podem ser efetivamente calculados uma vez que se conheça a teoria do cobordismo de um ponto e a homologia do espaço X , embora a sequência espectral Atiyah-Hirzebruch forneça um ponto de partida para os cálculos. O cálculo só é fácil se a teoria do cobordismo particular se reduzir a um produto das teorias de homologia comuns , caso em que os grupos de bordismo são os grupos de homologia comuns. ${\ displaystyle \ Omega _ {G} ^ {n} (X)}$

${\ displaystyle \ Omega _ {n} ^ {G} (X) = \ sum _ {p + q = n} H_ {p} (X; \ Omega _ {q} ^ {G} ({\ text {pt }})).}$

Isso é verdade para o cobordismo não orientado. Outras teorias do cobordismo não se reduzem à homologia comum dessa maneira, notavelmente o cobordismo enquadrado , o cobordismo orientado e o cobordismo complexo . A última teoria nomeada em particular é muito usada por topólogos algébricos como uma ferramenta computacional (por exemplo, para grupos de esferas de homotopia ).

As teorias de cobordismo são representadas por espectros de Thom MG : dado um grupo G , o espectro de Thom é composto dos espaços de Thom MG _n dos feixes vetoriais padrão sobre os espaços de classificação BG _n . Observe que, mesmo para grupos semelhantes, os espectros de Thom podem ser muito diferentes: MSO e MO são muito diferentes, refletindo a diferença entre o cobordismo orientado e não orientado.

Do ponto de vista dos espectros, o cobordismo não orientado é um produto dos espectros de Eilenberg-MacLane - MO = H ( π _∗ ( MO )) - enquanto o cobordismo orientado é um produto dos espectros de Eilenberg-MacLane racionalmente, e em 2, mas não em primos ímpares: o espectro de cobordismo orientado MSO é um pouco mais complicado do que MO .

Veja também

• h -cobordismo
• Concordância de ligação
• Lista de teorias de cohomologia
• Preenchimento simplético
• Hipótese de cobordismo
• Anel de cobordismo
• Linha do tempo do bordismo

Notas

Referências

• John Frank Adams , Stable homotopy and generalized homology , Univ. Chicago Press (1974).
• Anosov, Dmitri V .; Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "bordism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Michael F. Atiyah , Bordism and cobordism Proc. Camb. Phil. Soc. 57, pp. 200–208 (1961).
• Dieudonné, Jean Alexandre (1989). Uma história da topologia algébrica e diferencial, 1900–1960 . Boston: Birkhäuser. ISBN   978-0-8176-3388-2 . CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
• Kosinski, Antoni A. (19 de outubro de 2007). "Manifolds diferenciais". Publicações de Dover. Citar diário requer |journal= ( ajuda )
• Madsen, Ib ; Milgram, R. James (1979). Os espaços de classificação para cirurgia e cobordismo de variedades . Princeton, New Jersey : Princeton University Press . ISBN   978-0-691-08226-4 .
• Milnor, John (1962). "Um levantamento da teoria do cobordismo". L'Enseignement Mathématique . 8 : 16–23. ISSN   0013-8584 . CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )
• Sergei Novikov , Métodos de topologia algébrica do ponto de vista da teoria do cobordismo , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Esteira. 31 (1967), 855–951.
• Lev Pontryagin , Smooth manifolds e suas aplicações na teoria da homotopia American Mathematical Society Translations, Ser. 2, vol. 11, pp. 1-114 (1959).
• Daniel Quillen , Sobre as leis formais de grupo da teoria do cobordismo complexo e não orientado Bull. Amer. Matemática. Soc., 75 (1969) pp. 1293–1298.
• Douglas Ravenel , Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres , Acad. Press (1986).
• Yuli B. Rudyak (2001) [1994], "Cobordism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Yuli B. Rudyak , On Thom spectra, orientability, and (co) bordism , Springer (2008).
• Robert E. Stong , Notes on cobordism theory , Princeton Univ. Press (1968).
• Taimanov, Iskander A. (2007). Biblioteca topológica. Parte 1: cobordismos e suas aplicações . Série sobre nós e tudo. 39 . S. Novikov (ed.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ. ISBN   978-981-270-559-4 .
• René Thom , Quelques propriétés globales des variétés différentiables , Commentarii Mathematici Helvetici 28, 17-86 (1954).
• Wall, CTC (1960). “Determinação do anel de cobordismo”. Annals of Mathematics . Segunda série. The Annals of Mathematics, vol. 72, No. 2. 72 (2): 292–311. doi : 10.2307 / 1970136 . ISSN   0003-486X . JSTOR   1970136 . CS1 maint: parâmetro desencorajado ( link )

links externos

• Bordismo no Atlas Manifold.
• B-Bordismo no Atlas Manifold.