Vetores de linha e coluna - Row and column vectors

Na álgebra linear , um vetor coluna é uma coluna de entradas, por exemplo,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Da mesma forma, um vetor linha é uma linha de entradas

${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & \ dots & a_ {n} \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Em todo o texto, negrito é usado para vetores de linha e coluna. A transposta (indicada por T) de um vetor linha é o vetor coluna

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} \ ,,}$

e a transposição de um vetor coluna é o vetor linha

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatriz}} \ ,.}$

O conjunto de todos os vetores linha com n entradas forma um espaço vetorial n- dimensional ; da mesma forma, o conjunto de todos os vetores de coluna com m entradas forma um espaço vetorial m- dimensional.

O espaço de vetores de linha com n entradas pode ser considerado como o espaço dual do espaço de vetores de coluna com n entradas, uma vez que qualquer funcional linear no espaço de vetores de coluna pode ser representado como a multiplicação à esquerda de um único vetor de linha.

Notação

Para simplificar a escrita de vetores de coluna em linha com outro texto, às vezes eles são escritos como vetores de linha com a operação de transposição aplicada a eles.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T} }}$

ou

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}}}$

Alguns autores também usam a convenção de escrever vetores de coluna e vetores de linha como linhas, mas separando os elementos do vetor de linha com vírgulas e os elementos do vetor de coluna com ponto e vírgula (consulte a notação alternativa 2 na tabela abaixo).

	Vetor linha	Vetor coluna
Notação de matriz padrão (espaços de matriz, sem vírgulas, sinais de transposição)	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} {\ text {ou}} {\ begin {bmatrix} x_ { 1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}}}$
Notação alternativa 1 (vírgulas, sinais de transposição)	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}}}$
Notação alternativa 2 (vírgulas e ponto e vírgula, sem sinais de transposição)	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}; x_ {2}; \ dots; x_ {m} \ end {bmatrix}}}$

Operações

A multiplicação de matrizes envolve a ação de multiplicar cada vetor linha de uma matriz por cada vetor coluna de outra matriz.

O produto escalar de dois vetores de coluna a e b é equivalente ao produto da matriz da transposta de a com b ,

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} ^ {\ intercal} \ mathbf {b} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & \ cdots & a_ {n} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\\ vdots \\ b_ {n} \ end {bmatrix}} = a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ { n} \ ,,}$

Pela simetria do produto escalar, o produto escalar de dois vetores de coluna a e b também é equivalente ao produto da matriz da transposta de b com a ,

${\ displaystyle \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a} = \ mathbf {b} ^ {\ intercal} \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} b_ {1} & \ cdots & b_ {n} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {bmatrix}} = a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ { n} \ ,.}$

O produto de matriz de uma coluna e um vector da linha dá ao produto externo dos dois vectores de uma e b , um exemplo do mais geral do produto tensor . O produto da matriz da representação do vetor coluna de a e a representação do vetor linha de b fornecem os componentes de seu produto diádico,

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b} = \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {b} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2 } \\ a_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} b_ { 1} & a_ {1} b_ {2} & a_ {1} b_ {3} \\ a_ {2} b_ {1} & a_ {2} b_ {2} & a_ {2} b_ {3} \\ a_ {3} b_ {1} & a_ {3} b_ {2} & a_ {3} b_ {3} \\\ end {bmatrix}} \ ,,}$

que é a transposta do produto da matriz da representação do vetor coluna de b e a representação do vetor linha de a ,

${\ displaystyle \ mathbf {b} \ otimes \ mathbf {a} = \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\ b_ {2 } \\ b_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} b_ {1} a_ { 1} & b_ {1} a_ {2} & b_ {1} a_ {3} \\ b_ {2} a_ {1} & b_ {2} a_ {2} & b_ {2} a_ {3} \\ b_ {3} a_ {1} & b_ {3} a_ {2} & b_ {3} a_ {3} \\\ end {bmatrix}} \ ,.}$

Transformações de matriz

Um n × n matriz M pode representar um mapa linear e agir sobre os vectores de linha e coluna como do mapa linear matriz de transformação . Para um vetor linha v , o produto vM é outro vetor linha p :

${\ displaystyle vM = p \ ,.}$

Outra n × n matriz Q pode agir em p ,

${\ displaystyle pQ = t \ ,.}$

Então, pode-se escrever t = p Q = v MQ , de modo que a transformação do produto da matriz MQ mapeia v diretamente para t . Continuando com os vetores de linha, as transformações de matriz que reconfiguram ainda mais o espaço n podem ser aplicadas à direita das saídas anteriores.

Quando um vector de coluna é transformado em outro vector de coluna sob uma N × n acção da matriz, a operação ocorre à esquerda,

${\ displaystyle p ^ {\ mathrm {T}} = Mv ^ {\ mathrm {T}} \ ,, \ quad t ^ {\ mathrm {T}} = Qp ^ {\ mathrm {T}}}$ ,

levando à expressão algébrica QM v ^T para a saída composta da entrada v ^T. As transformações de matriz são montadas à esquerda neste uso de um vetor de coluna para entrada para transformação de matriz.

Veja também

• Covariância e contravariância de vetores
• Notação de índice
• Vetor de uns
• Vetor de entrada única
• Vetor de unidade padrão
• Vetor unitário

Notas

Referências

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN   0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Linear Algebra and Its Applications (3ª ed.), Addison Wesley, ISBN   978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de fevereiro de 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN   978-0-89871-454-8 , arquivado do original em 1º de março de 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2ª ed.), Brooks / Cole, ISBN   0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9ª ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7ª ed.), Pearson Prentice Hall