Propriedade comutativa - Commutative property

Uma operação é comutativa se e somente se para cada e . Esta imagem ilustra esta propriedade com o conceito de uma operação como uma "máquina de cálculo". Não importa para a saída ou respectivamente qual ordem os argumentos e têm - o resultado final é o mesmo.

Em matemática , uma operação binária é comutativa se a alteração da ordem dos operandos não altera o resultado. É uma propriedade fundamental de muitas operações binárias e muitas provas matemáticas dependem dela. Mais familiar como o nome da propriedade que diz algo como "3 + 4 = 4 + 3" ou "2 × 5 = 5 × 2" , a propriedade também pode ser usada em configurações mais avançadas. O nome é necessário porque existem operações, como divisão e subtração , que não o possuem (por exemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 3" ); essas operações não são comutativas e, portanto, são chamadas de operações não comutativas . A ideia de que operações simples, como a multiplicação e adição de números, são comutativas, foi por muitos anos assumida implicitamente. Assim, essa propriedade não foi nomeada até o século 19, quando a matemática começou a se formalizar. Uma propriedade correspondente existe para relações binárias ; uma relação binária é dita simétrica se a relação se aplica independentemente da ordem de seus operandos; por exemplo, a igualdade é simétrica, pois dois objetos matemáticos iguais são iguais, independentemente de sua ordem.

Usos comuns

A propriedade comutativa (ou lei comutativa ) é uma propriedade geralmente associada a operações e funções binárias . Se a propriedade comutativa é válida para um par de elementos sob uma certa operação binária, então os dois elementos são considerados comutantes sob aquela operação.

Definições matemáticas

Uma operação binária em um conjunto S é chamada comutativa se

Uma operação que não satisfaz a propriedade acima é chamada de não comutativa .

Diz-se que x comuta com y ou que x e y comuta sob se

Em outras palavras, uma operação é comutativa se cada par de elementos comuta.

Uma função binária às vezes é chamada de comutativa se

Essa função é mais comumente chamada de função simétrica .

Exemplos

Operações comutativas na vida cotidiana

A acumulação de maçãs, que pode ser vista como uma adição de números naturais, é comutativa.
  • Calçar meias assemelha-se a uma operação comutativa, pois a meia calçada primeiro não é importante. De qualquer forma, o resultado (com as duas meias) é o mesmo. Em contraste, vestir roupas íntimas e calças não é comutativo.
  • A comutatividade de adição é observada no pagamento de um item à vista. Independentemente da ordem de entrega das notas, sempre dão o mesmo total.

Operações comutativas em matemática

A adição de vetores é comutativa, porque .

Dois exemplos bem conhecidos de operações binárias comutativas:

  • A adição de números reais é comutativa, uma vez que
    Por exemplo, 4 + 5 = 5 + 4, uma vez que ambas as expressões são iguais a 9.
  • A multiplicação dos números reais é comutativa, uma vez que

    Por exemplo, 3 × 5 = 5 × 3, uma vez que ambas as expressões são iguais a 15.

    Como consequência direta disso, também é verdade que expressões na forma y% de z e z% de y são comutativas para todos os números reais y e z. Por exemplo, 64% de 50 = 50% de 64, já que ambas as expressões são iguais a 32 e 30% de 50% = 50% de 30%, já que ambas as expressões são iguais a 15%.

  • Algumas funções de verdade binárias também são comutativas, pois as tabelas de verdade para as funções são as mesmas quando se altera a ordem dos operandos.

    Por exemplo, a função bicondicional lógica p ↔ q é equivalente a q ↔ p. Essa função também é escrita como p IFF q, ou como p ≡ q, ou como E pq .

    A última forma é um exemplo da notação mais concisa no artigo sobre funções de verdade, que lista as dezesseis funções de verdade binárias possíveis, das quais oito são comutativas: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (AND) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .

  • Outros exemplos de operações binárias comutativas incluem adição e multiplicação de números complexos , adição e multiplicação escalar de vetores e interseção e união de conjuntos .

Operações não comutativas na vida diária

  • A concatenação , o ato de unir cadeias de caracteres, é uma operação não comutativa. Por exemplo,
    EA + T = COMER ≠ TEA = T + EA
  • Lavar e secar roupas assemelha-se a uma operação não comutativa; lavar e depois secar produz um resultado marcadamente diferente do que secar e depois lavar.
  • Girar um livro 90 ° em torno de um eixo vertical e, em seguida, 90 ° em torno de um eixo horizontal produz uma orientação diferente de quando as rotações são realizadas na ordem oposta.
  • Os movimentos de qualquer quebra-cabeça de combinação (como as torções de um cubo de Rubik , por exemplo) são não comutativos. Isso pode ser estudado usando a teoria dos grupos .
  • Os processos de pensamento são não comutativos: uma pessoa fez uma pergunta (A) e, em seguida, uma pergunta (B) pode dar respostas diferentes para cada pergunta do que uma pessoa fez primeiro (B) e depois (A), porque fazer uma pergunta pode mudar o estado da pessoa da mente.
  • O ato de vestir é comutativo ou não, dependendo dos itens. Vestir roupas íntimas e roupas normais não é comutativo. Calçar meia esquerda e direita é comutativo.
  • O embaralhamento de um baralho não é comutativo. Dadas duas maneiras, A e B, de embaralhar um baralho de cartas, fazer A primeiro e depois B em geral não é o mesmo que fazer B primeiro e depois A.

Operações não comutativas em matemática

Algumas operações binárias não comutativas:

Divisão, subtração e exponenciação

A divisão é não comutativa, pois .

A subtração é não comutativa, pois . No entanto, é classificado mais precisamente como anticomutativo , uma vez que .

A exponenciação é não comutativa, pois .

Funções verdade

Algumas funções de verdade são não comutativas, uma vez que as tabelas de verdade para as funções são diferentes quando se altera a ordem dos operandos. Por exemplo, as tabelas de verdade para (A ⇒ B) = (¬A ∨ B) e (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) são

UMA B A ⇒ B B ⇒ A
F F T T
F T T F
T F F T
T T T T

Composição de funções lineares

A composição de funções lineares dos números reais aos números reais é quase sempre não comutativa. Por exemplo, deixe e . Então

e

Isso também se aplica de forma mais geral para transformações lineares e afins de um espaço vetorial para ele mesmo (veja abaixo a representação de Matriz).

Multiplicação da matriz

A multiplicação de matrizes quadradas é quase sempre não comutativa, por exemplo:

Produto vetorial

O produto vetorial (ou produto cruzado ) de dois vetores em três dimensões é anti-comutativo ; ou seja, b × a = - ( a × b ).

História e etimologia

O primeiro uso conhecido do termo foi em um jornal francês publicado em 1814

Registros do uso implícito da propriedade comutativa remontam aos tempos antigos. Os egípcios usavam a propriedade comutativa da multiplicação para simplificar os produtos de computação . Euclides é conhecido por ter assumido a propriedade comutativa da multiplicação em seu livro Elementos . Os usos formais da propriedade comutativa surgiram no final do século 18 e no início do século 19, quando os matemáticos começaram a trabalhar em uma teoria das funções. Hoje, a propriedade comutativa é uma propriedade bem conhecida e básica usada na maioria dos ramos da matemática.

O primeiro uso registrado do termo comutativo foi em um livro de memórias de François Servois em 1814, que usou a palavra comutativa para descrever funções que têm o que hoje é chamado de propriedade comutativa. A palavra é uma combinação da palavra francesa comutador que significa "substituir ou trocar" e o sufixo -ativo que significa "tendendo a", então a palavra significa literalmente "tendendo a substituir ou trocar". O termo apareceu então em inglês em 1838 no artigo de Duncan Farquharson Gregory intitulado "Sobre a natureza real da álgebra simbólica" publicado em 1840 no Transactions of the Royal Society of Edinburgh .

Lógica proposicional

Regra de substituição

Na lógica proposicional verdade-funcional, comutação , ou comutatividade referem-se a duas válidas as regras de substituição . As regras permitem transpor variáveis ​​proposicionais dentro de expressões lógicas em provas lógicas . As regras são:

e

onde " " é um símbolo metalógico que representa "pode ​​ser substituído em uma prova por".

Conectivos funcionais verdade

A comutatividade é uma propriedade de alguns conectivos lógicos da lógica proposicional funcional de verdade . As seguintes equivalências lógicas demonstram que a comutatividade é uma propriedade de conectivos particulares. A seguir estão tautologias funcionais de verdade .

Comutatividade de conjunção
Comutatividade de disjunção
Comutatividade de implicação (também chamada de lei de permutação)
Comutatividade de equivalência (também chamada de lei comutativa completa de equivalência)

Teoria de conjuntos

Na teoria de grupos e conjuntos , muitas estruturas algébricas são chamadas comutativas quando certos operandos satisfazem a propriedade comutativa. Em ramos superiores da matemática, como análise e álgebra linear, a comutatividade de operações bem conhecidas (como adição e multiplicação em números reais e complexos) é freqüentemente usada (ou implicitamente assumida) nas provas.

Estruturas matemáticas e comutatividade

Propriedades relacionadas

Associatividade

A propriedade associativa está intimamente relacionada à propriedade comutativa. A propriedade associativa de uma expressão contendo duas ou mais ocorrências do mesmo operador afirma que as operações de ordem são realizadas não afeta o resultado final, desde que a ordem dos termos não mude. Em contraste, a propriedade comutativa afirma que a ordem dos termos não afeta o resultado final.

A maioria das operações comutativas encontradas na prática também são associativas. No entanto, comutatividade não implica associatividade. Um contra-exemplo é a função

que é claramente conmutativo (trocando x e y não afecta o resultado), mas não é associativo (uma vez que, por exemplo, mas ). Mais de tais exemplos podem ser encontrados em magmas não associativos comutativos .

Distributiva

Simetria

Gráfico mostrando a simetria da função de adição

Algumas formas de simetria podem estar diretamente ligadas à comutatividade. Quando uma operação comutativa é escrita como uma função binária , essa função é chamada de função simétrica , e seu gráfico no espaço tridimensional é simétrico ao longo do plano . Por exemplo, se a função f for definida como então é uma função simétrica.

Para relações, uma relação simétrica é análoga a uma operação comutativa, pois se uma relação R é simétrica, então .

Operadores não comutantes em mecânica quântica

Na mecânica quântica, conforme formulada por Schrödinger , as variáveis ​​físicas são representadas por operadores lineares como (significando multiplicar por ) e . Esses dois operadores não comutam como pode ser visto considerando o efeito de suas composições e (também chamados de produtos de operadores) em uma função de onda unidimensional :

De acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg , se os dois operadores que representam um par de variáveis ​​não comutam, então esse par de variáveis ​​são mutuamente complementares , o que significa que não podem ser medidos simultaneamente ou conhecidos com precisão. Por exemplo, a posição e o momento linear na direção de uma partícula são representados pelos operadores e , respectivamente (onde é a constante de Planck reduzida ). Este é o mesmo exemplo, exceto para a constante , então novamente os operadores não comutam e o significado físico é que a posição e o momento linear em uma determinada direção são complementares.

Veja também

Notas

Referências

Livros

  • Axler, Sheldon (1997). Álgebra Linear Bem Feito, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.
    Teoria da álgebra abstrata. Abrange a comutatividade nesse contexto. Usa propriedade ao longo do livro.
  • Copi, Irving M .; Cohen, Carl (2005). Introdução à lógica (12ª ed.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
  • Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e ed.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.
    Teoria da álgebra linear. Explica a comutatividade no capítulo 1 e a usa em todo o processo.
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
    Teoria da álgebra abstrata. Usa propriedade de comutatividade em todo o livro.
  • Hurley, Patrick J .; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12ª ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1.

Artigos

Recursos online