Espaço compacto - Compact space

De acordo com os critérios de compactação para o espaço euclidiano, conforme estabelecido no teorema de Heine-Borel , o intervalo A = (−∞, −2] não é compacto porque não é limitado. O intervalo C = (2, 4) não é compacto porque não está fechado. O intervalo B = [0, 1] é compacto porque é fechado e limitado.

Em matemática , especificamente na topologia geral , compactação é uma propriedade que generaliza a noção de um subconjunto do espaço euclidiano sendo fechado (contendo todos os seus pontos limites ) e limitado (tendo todos os seus pontos dentro de uma distância fixa uns dos outros). Exemplos de espaços compactos incluem um intervalo real fechado , uma união de um número finito de intervalos fechados, um retângulo ou um conjunto finito de pontos. Essa noção é definida para espaços topológicos mais gerais de várias maneiras, que geralmente são equivalentes no espaço euclidiano, mas podem ser inequivalentes em outros espaços.

Uma dessas generalizações é que um espaço topológico é sequencialmente compacto se cada sequência infinita de pontos amostrados do espaço tem uma subsequência infinita que converge para algum ponto do espaço. O teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que um subconjunto do espaço euclidiano é compacto neste sentido sequencial se e somente se for fechado e limitado. Assim, se alguém escolher um número infinito de pontos no intervalo de unidade fechada [0, 1] , alguns desses pontos ficarão arbitrariamente próximos de algum número real naquele espaço. Por exemplo, alguns dos números na sequência 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... se acumulam em 0 (enquanto outros se acumulam em 1). O mesmo conjunto de pontos não se acumularia em nenhum ponto do intervalo da unidade aberta (0, 1) , portanto, o intervalo da unidade aberta não é compacto. Embora os subconjuntos (subespaços) do espaço euclidiano possam ser compactos, o espaço inteiro em si não é compacto, pois não é limitado. Por exemplo, considerando , toda a reta do número real, a sequência dos pontos 0, 1, 2, 3, ... , não tem subsequência que converge para qualquer número real.

A compactação foi formalmente introduzida por Maurice Fréchet em 1906 para generalizar o teorema de Bolzano-Weierstrass de espaços de pontos geométricos para espaços de funções . O teorema de Arzelà-Ascoli e o teorema da existência de Peano exemplificam as aplicações desta noção de compactação à análise clássica. Após sua introdução inicial, várias noções equivalentes de compactação, incluindo compactação sequencial e compactação de ponto limite , foram desenvolvidas em espaços métricos gerais . Em espaços topológicos gerais, entretanto, essas noções de compactação não são necessariamente equivalentes. A noção mais útil - e a definição padrão do termo não qualificado compacidade - é expressa em termos da existência de famílias finitas de conjuntos abertos que " cobrem " o espaço no sentido de que cada ponto do espaço está em algum conjunto contido no família. Essa noção mais sutil, introduzida por Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn em 1929, exibe os espaços compactos como generalizações de conjuntos finitos . Em espaços compactos nesse sentido, muitas vezes é possível juntar informações que contêm localmente - isto é, na vizinhança de cada ponto - em afirmações correspondentes que se mantêm em todo o espaço, e muitos teoremas são desse tipo.

O termo conjunto compacto às vezes é usado como sinônimo de espaço compacto, mas geralmente também se refere a um subespaço compacto de um espaço topológico.

Desenvolvimento histórico

No século 19, várias propriedades matemáticas díspares foram entendidas que mais tarde seriam vistas como consequências da compactação. Por um lado, Bernard Bolzano ( 1817 ) estava ciente de que qualquer sequência limitada de pontos (na linha ou no plano, por exemplo) tem uma subsequência que deve eventualmente chegar arbitrariamente perto de algum outro ponto, chamado de ponto limite . A prova de Bolzano baseou-se no método da bissecção : a sequência foi colocada em um intervalo que foi então dividido em duas partes iguais, e uma parte contendo infinitos termos da sequência foi selecionada. O processo poderia então ser repetido dividindo o intervalo menor resultante em partes cada vez menores - até que feche no ponto limite desejado. O significado total do teorema de Bolzano e seu método de prova só surgiram quase 50 anos depois, quando foi redescoberto por Karl Weierstrass .

Na década de 1880, tornou-se claro que resultados semelhantes ao teorema de Bolzano-Weierstrass podiam ser formulados para espaços de funções em vez de apenas números ou pontos geométricos. A ideia de considerar as funções como pontos de um espaço generalizado remonta às investigações de Giulio Ascoli e Cesare Arzelà . O ponto culminante de suas investigações, o teorema de Arzelà-Ascoli , foi uma generalização do teorema de Bolzano-Weierstrass para famílias de funções contínuas , cuja conclusão precisa era que era possível extrair uma sequência uniformemente convergente de funções de uma família adequada de funções. O limite uniforme dessa sequência desempenhou precisamente o mesmo papel do "ponto limite" de Bolzano. No início do século XX, resultados semelhantes aos de Arzelà e Ascoli começaram a se acumular na área de equações integrais , conforme investigado por David Hilbert e Erhard Schmidt . Para uma certa classe de funções de Green provenientes de soluções de equações integrais, Schmidt mostrou que uma propriedade análoga ao teorema de Arzelà-Ascoli mantida no sentido de convergência média - ou convergência no que mais tarde seria chamado de espaço de Hilbert . Isso acabou levando à noção de um operador compacto como um desdobramento da noção geral de um espaço compacto. Foi Maurice Fréchet quem, em 1906 , destilou a essência da propriedade Bolzano-Weierstrass e cunhou o termo compactação para se referir a este fenômeno geral (ele já usou o termo em seu artigo de 1904 que levou à famosa tese de 1906).

No entanto, uma noção totalmente diferente de compactação também lentamente emergiu no final do século 19 a partir do estudo do continuum , que foi visto como fundamental para a formulação rigorosa da análise. Em 1870, Eduard Heine mostrou que uma função contínua definida em um intervalo fechado e limitado era de fato uniformemente contínua . No decorrer da prova, ele fez uso de um lema que de qualquer cobertura contável do intervalo por intervalos abertos menores, era possível selecionar um número finito desses que também o cobriam. O significado desse lema foi reconhecido por Émile Borel ( 1895 ), e foi generalizado para coleções arbitrárias de intervalos por Pierre Cousin (1895) e Henri Lebesgue ( 1904 ). O teorema de Heine-Borel , como o resultado é agora conhecido, é outra propriedade especial possuída por conjuntos fechados e limitados de números reais.

Essa propriedade era significativa porque permitia a passagem de informações locais sobre um conjunto (como a continuidade de uma função) para informações globais sobre o conjunto (como a continuidade uniforme de uma função). Esse sentimento foi expresso por Lebesgue (1904) , que também o explorou no desenvolvimento da integral que agora leva seu nome . Em última análise, a escola russa de topologia de conjuntos de pontos , sob a direção de Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn , formulou a compactação de Heine-Borel de uma forma que poderia ser aplicada à noção moderna de um espaço topológico . Alexandrov & Urysohn (1929) mostraram que a versão anterior de compactação devido a Fréchet, agora chamada compactação sequencial (relativa) , sob condições apropriadas, seguida da versão de compactação que foi formulada em termos da existência de subcobertas finitas. Foi essa noção de compactação que se tornou a dominante, porque não era apenas uma propriedade mais forte, mas poderia ser formulada em um ambiente mais geral com um mínimo de maquinário técnico adicional, visto que dependia apenas da estrutura dos conjuntos abertos em um espaço.

Exemplos básicos

Qualquer espaço finito é trivialmente compacto. Um exemplo não trivial de um espaço compacto é o intervalo de unidade (fechado) [0,1] de números reais . Se alguém escolhe um número infinito de pontos distintos no intervalo de unidade, então deve haver algum ponto de acumulação nesse intervalo. Por exemplo, os termos ímpares da sequência 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... ficam arbitrariamente próximos de 0, enquanto os pares ficam arbitrariamente próximos de 1. A sequência de exemplo dada mostra a importância de incluir os pontos de fronteira do intervalo, uma vez que os pontos de limite devem estar no próprio espaço - um intervalo aberto (ou meio aberto) do números reais não são compactos. É também crucial que o intervalo seja limitado , uma vez que no intervalo [0, ∞) , pode-se escolher a sequência de pontos 0, 1, 2, 3, ... , dos quais nenhuma sub-sequência acaba arbitrariamente perto de qualquer dado número real.

Em duas dimensões, os discos fechados são compactos, pois para qualquer número infinito de pontos amostrados de um disco, algum subconjunto desses pontos deve ficar arbitrariamente próximo a um ponto dentro do disco ou a um ponto na fronteira. No entanto, um disco aberto não é compacto, porque uma sequência de pontos pode tender para o limite - sem ficar arbitrariamente perto de qualquer ponto no interior. Da mesma forma, as esferas são compactas, mas uma esfera sem um ponto não o é, pois uma sequência de pontos ainda pode tender para o ponto ausente, não ficando arbitrariamente perto de qualquer ponto dentro do espaço. As linhas e os planos não são compactos, pois pode-se tomar um conjunto de pontos igualmente espaçados em qualquer direção, sem se aproximar de nenhum ponto.

Definições

Várias definições de compactação podem ser aplicadas, dependendo do nível de generalidade. Um subconjunto do espaço euclidiano em particular é denominado compacto se for fechado e limitado . Isso implica, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass , que qualquer sequência infinita do conjunto tem uma subsequência que converge para um ponto no conjunto. Várias noções equivalentes de compactação, como compactação sequencial e compactação de ponto limite , podem ser desenvolvidas em espaços métricos gerais .

Em contraste, as diferentes noções de compactação não são equivalentes em espaços topológicos gerais , e a noção mais útil de compactação - originalmente chamada de bicompactidade - é definida usando coberturas que consistem em conjuntos abertos (consulte Definição de cobertura aberta abaixo). Que essa forma de compactação vale para subconjuntos fechados e limitados do espaço euclidiano é conhecido como teorema de Heine-Borel . A compactação, quando definida dessa maneira, muitas vezes permite que se tomem informações que são conhecidas localmente - em uma vizinhança de cada ponto do espaço - e as estendam para informações que se mantêm globalmente em todo o espaço. Um exemplo desse fenômeno é o teorema de Dirichlet, ao qual foi originalmente aplicado por Heine, de que uma função contínua em um intervalo compacto é uniformemente contínua ; aqui, a continuidade é uma propriedade local da função e a continuidade uniforme a propriedade global correspondente.

Definição de capa aberta

Formalmente, um espaço topológico X é denominado compacto se cada uma de suas tampas abertas tiver uma subcobertura finita . Ou seja, X é compacto se para cada coleção C de subconjuntos abertos de X tal que

,

há um subconjunto finito F de C tal que

Alguns ramos da matemática, como a geometria algébrica , tipicamente influenciada pela escola francesa de Bourbaki , usam o termo quase-compacto para a noção geral e reservam o termo compacto para espaços topológicos que são tanto de Hausdorff quanto quase-compactos . Um conjunto compacto é algumas vezes denominado compactum , plural compacta .

Compacidade de subconjuntos

Um subconjunto K de um espaço topológico X é considerado compacto se for compacto como um subespaço (na topologia de subespaço ). Ou seja, K é compacto se para cada coleção arbitrária C de subconjuntos abertos de X tal que

,

há um subconjunto finito F de C tal que

.

A compactação é uma propriedade "topológica". Isto é, se , com o subconjunto Z equipado com a topologia subespaço, então K é compacto em Z se e somente se K é compacto em Y .

Definições equivalentes

Se X for um espaço topológico, os seguintes serão equivalentes:

  1. X é compacto.
  2. Cada capa aberta de X tem uma subcobertura finita .
  3. X tem uma sub-base tal que cada cobertura do espaço, por membros da sub-base, tem uma subcobertura finita ( teorema da sub-base de Alexander ).
  4. X é Lindelöf e contavelmente compacto .
  5. Qualquer coleção de subconjuntos fechados de X com a propriedade de interseção finita tem interseção não vazia.
  6. Cada rede em X tem uma sub-rede convergente (veja o artigo sobre redes para uma prova).
  7. Cada filtro em X tem um refinamento convergente.
  8. Cada rede no X tem um ponto de cluster.
  9. Cada filtro no X tem um ponto de cluster.
  10. Cada ultrafiltro no X converge para pelo menos um ponto.
  11. Cada subconjunto infinito de X tem um ponto de acumulação completo .

Espaço euclidiano

Para qualquer subconjunto A do espaço euclidiano , A é compacto se e somente se for fechado e limitado ; este é o teorema de Heine-Borel .

Como um espaço euclidiano é um espaço métrico, as condições na próxima subseção também se aplicam a todos os seus subconjuntos. De todas as condições equivalentes, é na prática mais fácil verificar se um subconjunto é fechado e limitado, por exemplo, para um intervalo fechado ou bola n fechada .

Espaços métricos

Para qualquer espaço métrico ( X , d ) , os seguintes são equivalentes (assumindo escolha contável ):

  1. ( X , d ) é compacto.
  2. ( X , d ) é completo e totalmente limitado (isso também é equivalente à compactação para espaços uniformes ).
  3. ( X , d ) é sequencialmente compacto; isto é, toda sequência em X tem uma subsequência convergente cujo limite está em X (isso também é equivalente à compactação para espaços uniformes contáveis pela primeira vez ).
  4. ( X , d ) é o ponto limite compacto (também chamado de compactação fracamente contável); isto é, cada subconjunto infinito de X tem pelo menos um ponto limite em X .
  5. ( X , d ) é contavelmente compacto ; ou seja, cada capa aberta contável de X tem uma subcobertura finita.
  6. ( X , d ) é uma imagem de uma função contínua do conjunto Cantor .
  7. Cada sequência decrescente de conjuntos fechados F1F2 ⊇… em ( X , d ) tem uma interseção não vazia.
  8. ( X , d ) é fechado e totalmente limitado.

Um espaço métrico compacto ( X , d ) também satisfaz as seguintes propriedades:

  1. Lema do número de Lebesgue : Para cada tampa aberta de X , existe um número δ > 0 tal que cada subconjunto de X de diâmetro < δ está contido em algum membro da tampa.
  2. ( X , d ) é contável em segundo lugar , separável e Lindelöf - essas três condições são equivalentes para espaços métricos. O inverso não é verdadeiro; por exemplo, um espaço discreto contável satisfaz essas três condições, mas não é compacto.
  3. X é fechado e limitado (como um subconjunto de qualquer espaço métrico cuja métrica restrita é d ). O inverso pode falhar para um espaço não euclidiano; por exemplo, a linha real equipada com a métrica discreta é fechada e limitada, mas não compacta, pois a coleção de todos os singletons do espaço é uma tampa aberta que não admite nenhuma subcobertura finita. Está completo, mas não totalmente limitado.

Caracterização por funções contínuas

Deixe X ser um espaço topológica e C ( X ) o anel de funções reais contínuos em X . Para cada pX , o mapa de avaliação dado por ev p ( f ) = f ( p ) é um homomorfismo de anel. O núcleo de ev p é um ideal máximo , visto que o campo residual C ( X ) / ker ev p é o campo dos números reais, pelo primeiro teorema do isomorfismo . Um espaço topológico X é pseudocompacto se e somente se todo ideal máximo em C ( X ) tem campo residual com os números reais. Para espaços completamente regulares , isso é equivalente a todo ideal máximo sendo o núcleo de um homomorfismo de avaliação. No entanto, existem espaços pseudocompactos que não são compactos.

Em geral, para espaços não pseudocompactos, há sempre ideais máximos m em C ( X ), de modo que o campo residual C ( X ) / m é um campo hiperreal ( não arquimediano ) . A estrutura da análise não padrão permite a seguinte caracterização alternativa de compactação: um espaço topológico X é compacto se e somente se cada ponto x da extensão natural * X for infinitamente próximo de um ponto x 0 de X (mais precisamente, x está contido na mônada de x 0 ).

Definição hiperreal

Um espaço X é compacto, se a sua extensão hiperreal * X (construído, por exemplo, pela construção Ultrapower ) tem a propriedade de que a cada ponto de * X é infinitamente perto de algum ponto de X* X . Por exemplo, um intervalo aberto verdadeiro X = (0, 1) não é compacto porque a sua extensão hiperreal * (0,1) contém infinitesimais, que são infinitamente perto de 0, o que não é um ponto de X .

Condições suficientes

  • Um subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto.
  • Uma união finita de conjuntos compactos é compacta.
  • Uma imagem contínua de um espaço compacto é compacta.
  • A interseção de qualquer coleção não vazia de subconjuntos compactos de um espaço de Hausdorff é compacta (e fechada);
    • Se X não for Hausdorff, então a interseção de dois subconjuntos compactos pode deixar de ser compacta (consulte a nota de rodapé, por exemplo).
  • O produto de qualquer coleção de espaços compactos é compacto. (Este é o teorema de Tychonoff , que é equivalente ao axioma da escolha .)
  • Em um espaço metrizável , um subconjunto é compacto se e somente se for sequencialmente compacto (assumindo escolha contável )
  • Um conjunto finito dotado de qualquer topologia é compacto.

Propriedades de espaços compactos

  • Um subconjunto compacto de um espaço X de Hausdorff é fechado.
    • Se X não for Hausdorff, então um subconjunto compacto de X pode deixar de ser um subconjunto fechado de X (consulte a nota de rodapé, por exemplo).
    • Se X não for Hausdorff, o fechamento de um conjunto compacto pode deixar de ser compacto (ver nota de rodapé, por exemplo).
  • Em qualquer espaço vetorial topológico (TVS), um subconjunto compacto está completo . No entanto, cada TVS não Hausdorff contém subconjuntos compactos (e, portanto, completos) que não são fechados.
  • Se A e B são subconjuntos compactos disjuntos de um espaço de Hausdorff X , então existem disjuntos conjunto aberto U e V em X de modo a que umaL e BV .
  • Uma bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço de Hausdorff é um homeomorfismo .
  • Um espaço compacto de Hausdorff é normal e regular .
  • Se um espaço X é compacto e Hausdorff, então nenhuma topologia mais fina em X é compacta e nenhuma topologia mais grosseira em X é Hausdorff.
  • Se um subconjunto de um espaço métrico ( X , d ) for compacto, ele será limitado por d .

Funções e espaços compactos

Visto que uma imagem contínua de um espaço compacto é compacta, o teorema do valor extremo : uma função contínua de valor real em um espaço compacto não vazio é delimitada acima e atinge seu supremo. (De maneira um pouco mais geral, isso é verdade para uma função semicontínua superior.) Como uma espécie de inverso às afirmações acima, a pré-imagem de um espaço compacto sob um mapa adequado é compacta.

Compactificações

Todo espaço topológico X é um subespaço denso aberto de um espaço compacto tendo no máximo um ponto a mais do que X , pela compactificação de um ponto de Alexandroff . Pela mesma construção, cada localmente compacto Hausdorff espaço X é um subespaço denso aberta de um espaço de Hausdorff compacto ter no máximo um ponto mais do que X .

Espaços compactos ordenados

Um subconjunto compacto não vazio de números reais tem um elemento maior e um elemento menor.

Seja X um conjunto simplesmente ordenado dotado da topologia de ordem . Então X é compacto se e somente se X for uma rede completa (ou seja, todos os subconjuntos têm suprema e infima).

Exemplos

  • Qualquer espaço topológico finito , incluindo o conjunto vazio , é compacto. De modo mais geral, qualquer espaço com uma topologia finita (apenas conjuntos abertos finitos) é compacto; isso inclui em particular a topologia trivial .
  • Qualquer espaço que carregue a topologia de cofinito é compacto.
  • Qualquer espaço localmente compacto de Hausdorff pode ser transformado em um espaço compacto adicionando um único ponto a ele, por meio da compactação de um ponto de Alexandroff . A compactação de um ponto de é homeomórfica ao círculo S 1 ; a compactação de um ponto de 2 é homeomórfica à esfera S 2 . Usando a compactação de um ponto, também se pode construir facilmente espaços compactos que não são Hausdorff, começando com um espaço não Hausdorff.
  • A topologia de ordem certa ou topologia de ordem esquerda em qualquer conjunto totalmente ordenado limitado é compacta. Em particular, o espaço Sierpiński é compacto.
  • Nenhum espaço discreto com um número infinito de pontos é compacto. A coleção de todos os singletons do espaço é uma capa aberta que não admite subcobertura finita. Espaços discretos finitos são compactos.
  • Em carregando a topologia de limite inferior , nenhum conjunto incontável é compacto.
  • Na topologia co - contável em um conjunto incontável, nenhum conjunto infinito é compacto. Como no exemplo anterior, o espaço como um todo não é localmente compacto, mas ainda é Lindelöf .
  • O intervalo da unidade fechada [0, 1] é compacto. Isso segue do teorema de Heine-Borel . O intervalo aberto (0, 1) não é compacto: a tampa aberta para n = 3, 4, ...  não tem uma subcobertura finita. Da mesma forma, o conjunto de números racionais no intervalo fechado [0,1] não é compacto: os conjuntos de números racionais nos intervalos cobrem todos os racionais em [0, 1] para n = 4, 5, ...  mas isso a capa não tem uma subcobertura finita. Aqui, os conjuntos são abertos na topologia de subespaço, embora não sejam abertos como subconjuntos de  .
  • O conjunto de todos os números reais não é compacto, pois há uma cobertura de intervalos abertos que não possui uma subcobertura finita. Por exemplo, intervalos ( n - 1,  n + 1) , onde n leva todos os valores inteiros em Z , cobrem mas não há subcobertura finita.
  • Por outro lado, a linha de número real estendida carregando a topologia análoga é compacta; observe que a cobertura descrita acima nunca alcançaria os pontos no infinito. Na verdade, o conjunto tem o homeomorfismo para [-1, 1] de mapear cada infinito para sua unidade correspondente e cada número real para seu sinal multiplicado pelo número único na parte positiva do intervalo que resulta em seu valor absoluto quando dividido por um menos ele mesmo, e como os homeomorfismos preservam as capas, a propriedade Heine-Borel pode ser inferida.
  • Para cada número natural n , a esfera n é compacta. Novamente, a partir do teorema de Heine-Borel, a bola unitária fechada de qualquer espaço vetorial normatizado de dimensão finita é compacta. Isso não é verdade para dimensões infinitas; de fato, um espaço vetorial normatizado tem dimensão finita se e somente se sua esfera unitária fechada for compacta.
  • Por outro lado, a esfera unitária fechada do dual de um espaço normado é compacta para a topologia fraca- *. ( Teorema de Alaoglu )
  • O conjunto Cantor é compacto. Na verdade, todo espaço métrico compacto é uma imagem contínua do conjunto Cantor.
  • Considere o conjunto K de todas as funções f  : ℝ → [0, 1] da reta de número real ao intervalo de unidade fechada, e defina uma topologia em K de modo que uma sequência em K convirja para fK se e somente se converge para f ( x ) para todos os números reais x . Existe apenas uma topologia; é chamada de topologia de convergência pontual ou topologia de produto . Então K é um espaço topológico compacto; isso segue do teorema de Tychonoff .
  • Considere o conjunto K de todas as funções f  : [0, 1]  → [0, 1] que satisfaz a condição de Lipschitz | f ( x ) -  f ( y ) | ≤ | x  -  y | para todo xy  ∈  [0,1] . Considere em K a métrica induzida pela distância uniforme Então, pelo teorema de Arzelà-Ascoli, o espaço K é compacto.
  • O espectro de qualquer operador linear limitado em um espaço de Banach é um subconjunto compacto não vazio dos números complexos . Por outro lado, qualquer subconjunto compacto de surge dessa maneira, como o espectro de algum operador linear limitado. Por exemplo, um operador diagonal no espaço de Hilbert pode ter qualquer subconjunto compacto não vazio de como espectro.

Exemplos algébricos

Veja também

Notas

Referências

Bibliografia

links externos


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