Estática comparativa - Comparative statics

Neste gráfico, a estática comparativa mostra um aumento na demanda causando um aumento no preço e na quantidade. Comparando dois estados de equilíbrio, a estática comparativa não descreve como os aumentos realmente ocorrem .

Em economia , a estática comparativa é a comparação de dois resultados econômicos diferentes, antes e depois de uma mudança em algum parâmetro exógeno subjacente .

Como um tipo de análise estática, ele compara dois estados de equilíbrio diferentes , após o processo de ajuste (se houver). Não estuda o movimento em direção ao equilíbrio, nem o processo de mudança em si.

A estática comparativa é comumente usada para estudar mudanças na oferta e demanda ao analisar um único mercado e para estudar mudanças na política monetária ou fiscal ao analisar toda a economia . A estática comparativa é uma ferramenta de análise em microeconomia (incluindo análise de equilíbrio geral ) e macroeconomia . A estática comparativa foi formalizada por John R. Hicks (1939) e Paul A. Samuelson (1947) (Kehoe, 1987, p. 517), mas foi apresentada graficamente pelo menos a partir da década de 1870.

Para modelos de taxas de mudança de equilíbrio estável, como o modelo de crescimento neoclássico , a dinâmica comparativa é a contrapartida da estática comparativa (Eatwell, 1987).

Aproximação linear

Os resultados da estática comparativa são normalmente derivados usando o teorema da função implícita para calcular uma aproximação linear para o sistema de equações que define o equilíbrio, supondo que o equilíbrio seja estável. Ou seja, se considerarmos uma mudança suficientemente pequena em algum parâmetro exógeno, podemos calcular como cada variável endógena muda usando apenas as primeiras derivadas dos termos que aparecem nas equações de equilíbrio.

Por exemplo, suponha que o valor de equilíbrio de alguma variável endógena seja determinado pela seguinte equação:

onde é um parâmetro exógeno. Então, para uma aproximação de primeira ordem, a mudança causada por uma pequena mudança em deve satisfazer:

Aqui e representam as mudanças em e , respectivamente, enquanto e são as derivadas parciais de em relação a e (avaliadas nos valores iniciais de e ), respectivamente. Da mesma forma, podemos escrever a mudança como:

Dividindo a última equação por d a, obtém-se a derivada estática comparativa de x em relação a a , também chamada de multiplicador de a em x :

Muitas equações e incógnitas

Todas as equações acima permanecem verdadeiras no caso de um sistema de equações em incógnitas. Em outras palavras, suponha que representa um sistema de equações envolvendo o vetor de incógnitas e o vetor de parâmetros dados . Se fizermos uma mudança suficientemente pequena nos parâmetros, então as mudanças resultantes nas variáveis ​​endógenas podem ser aproximadas arbitrariamente bem por . Neste caso, representa a matriz × das derivadas parciais das funções em relação às variáveis e representa a matriz × das derivadas parciais das funções em relação aos parâmetros . (As derivadas em e são avaliadas nos valores iniciais de e .) Observe que, se alguém quiser apenas o efeito estático comparativo de uma variável exógena em uma variável endógena, a regra de Cramer pode ser usada no sistema de equações totalmente diferenciado .

Estabilidade

A suposição de que o equilíbrio é estável é importante por duas razões. Primeiro, se o equilíbrio fosse instável, uma pequena mudança de parâmetro poderia causar um grande salto no valor de , invalidando o uso de uma aproximação linear. Além disso, Paul A. Samuelson 's princípio correspondência estados que a estabilidade de equilíbrio tem implicações qualitativos sobre os efeitos estáticos comparativos. Em outras palavras, saber que o equilíbrio é estável pode nos ajudar a prever se cada um dos coeficientes no vetor é positivo ou negativo. Especificamente, um dos n condições necessárias e suficientes para a estabilidade em conjunto é que o determinante da N × n matriz B tem um sinal particular; uma vez que esse determinante aparece como denominador na expressão para , o sinal do determinante influencia os sinais de todos os elementos do vetor de efeitos estáticos comparativos.

Um exemplo do papel do pressuposto de estabilidade

Suponha que as quantidades demandadas e fornecidas de um produto sejam determinadas pelas seguintes equações:

onde é a quantidade demandada, é a quantidade ofertada, P é o preço, a e c são parâmetros de interceptação determinados por influências exógenas na demanda e oferta, respectivamente, b <0 é o recíproco da inclinação da curva de demanda , e g é o recíproco da inclinação da curva de oferta; g > 0 se a curva de oferta for inclinada para cima, g = 0 se a curva de oferta for vertical e g <0 se a curva de oferta for inclinada para trás. Se igualarmos a quantidade fornecida com a quantidade demandada para encontrar o preço de equilíbrio , descobrimos que

Isso significa que o preço de equilíbrio depende positivamente da interceptação da demanda se g - b > 0, mas depende negativamente dela se g - b <0. Qual dessas possibilidades é relevante? Na verdade, partindo de um equilíbrio estático inicial e depois mudando a , o novo equilíbrio é relevante apenas se o mercado realmente for para esse novo equilíbrio. Suponha que os ajustes de preços no mercado ocorram de acordo com

onde > 0 é o parâmetro de velocidade de ajuste e é a derivada temporal do preço - ou seja, denota a rapidez e a direção em que o preço muda. Pela teoria da estabilidade , P irá convergir para seu valor de equilíbrio se e somente se a derivada for negativa. Esta derivada é dada por

Isso é negativo se e somente se g - b > 0, caso em que o parâmetro de interceptação de demanda a influencia positivamente o preço. Portanto, podemos dizer que enquanto a direção do efeito da interceptação da demanda sobre o preço de equilíbrio é ambígua quando tudo o que sabemos é que a recíproca da inclinação da curva de oferta, g , é negativa, no único caso relevante (em que o preço realmente vai para seu novo valor de equilíbrio) um aumento na interceptação da demanda aumenta o preço. Observe que este caso, com g - b > 0, é o caso em que a curva de oferta, se inclinada negativamente, é mais íngreme do que a curva de demanda.

Sem restrições

Suponha que seja uma função objetiva lisa e estritamente côncava onde x é um vetor de n variáveis ​​endógenas eq é um vetor de m parâmetros exógenos. Considere o problema de otimização irrestrita . Vamos , o n por n matriz de primeiras derivadas parciais de com respeito aos seus primeiros n argumentos x 1 , ..., x n . O maximizador é definido pela condição de primeira ordem n × 1 .

A estática comparativa pergunta como esse maximizador muda em resposta às mudanças nos parâmetros m . O objetivo é encontrar .

A concavidade estrita da função objetivo implica que o Jacobiano de f , que é exatamente a matriz das derivadas parciais secundárias de p com respeito às variáveis ​​endógenas, é não singular (tem uma inversa). Pelo teorema da função implícita , então, pode ser visto localmente como uma função continuamente diferenciável, e a resposta local de a pequenas mudanças em q é dada por

Aplicando a regra da cadeia e condição de primeira ordem,

(Veja teorema do envelope ).

Aplicativo para maximização de lucro

Suponha que uma empresa produza n bens em quantidades . O lucro da empresa é função p de e de m parâmetros exógenos que podem representar, por exemplo, várias taxas de impostos. Desde que a função de lucro satisfaça os requisitos de suavidade e concavidade, o método estático comparativo acima descreve as mudanças no lucro da empresa devido a pequenas mudanças nas taxas de imposto.

Com restrições

Uma generalização do método acima permite que o problema de otimização inclua um conjunto de restrições. Isso leva ao teorema do envelope geral . As aplicações incluem a determinação de mudanças na demanda marshalliana em resposta a mudanças de preço ou salário.

Limitações e extensões

Uma limitação da estática comparativa usando o teorema da função implícita é que os resultados são válidos apenas em uma vizinhança (potencialmente muito pequena) do ótimo - isto é, apenas para mudanças muito pequenas nas variáveis ​​exógenas. Outra limitação é a natureza potencialmente excessivamente restritiva dos pressupostos convencionalmente usados ​​para justificar os procedimentos de estática comparativa. Por exemplo, John Nachbar descobriu em um de seus estudos de caso que usar a estática comparativa na análise de equilíbrio geral funciona melhor com dados individuais muito pequenos, em vez de em um nível agregado.

Paul Milgrom e Chris Shannon apontaram em 1994 que os pressupostos convencionalmente usados ​​para justificar o uso de estática comparativa em problemas de otimização não são realmente necessários - especificamente, os pressupostos de convexidade de conjuntos preferidos ou conjuntos de restrição, suavidade de seus limites, primeiro e segundo condições derivadas e linearidade dos conjuntos de orçamento ou funções objetivo. Na verdade, às vezes um problema que atende a essas condições pode ser monotonicamente transformado para dar um problema com estática comparativa idêntica, mas violando algumas ou todas essas condições; portanto, essas condições não são necessárias para justificar a estática comparativa. Decorrente do artigo de Milgrom e Shannon, bem como dos resultados obtidos por Veinott e Topkis, foi desenvolvida uma importante vertente de pesquisa operacional denominada estática comparativa monótona . Em particular, essa teoria se concentra na análise estática comparativa usando apenas condições que são independentes das transformações que preservam a ordem. O método usa a teoria da rede e introduz as noções de quase-supermodularidade e a condição de cruzamento único. A ampla aplicação da estática comparativa monótona à economia inclui teoria da produção, teoria do consumidor, teoria dos jogos com informações completas e incompletas, teoria do leilão e outras.

Veja também

Notas

Referências

  • John Eatwell et al., Ed. (1987). "Comparative dynamics", The New Palgrave: A Dictionary of Economics , v. 1, p. 517.
  • John R. Hicks (1939). Valor e capital .
  • Timothy J. Kehoe, 1987. "Comparative statics," The New Palgrave: A Dictionary of Economics , v. 1, pp. 517–20.
  • Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston e Jerry R. Green, 1995. Microeconomic Theory .
  • Paul A. Samuelson (1947). Fundamentos da Análise Econômica .
  • Eugene Silberberg e Wing Suen, 2000. The Structure of Economics: A Mathematical Analysis , 3rd edition.

links externos