Álgebra booleana completa - Complete Boolean algebra

Este artigo é sobre um tipo de estrutura matemática. Para conjuntos completos de operadores booleanos, consulte Completude funcional .

Em matemática , uma álgebra booleana completa é uma álgebra booleana em que cada subconjunto tem um supremo (mínimo limite superior ). Álgebras booleanas completas são usadas para construir modelos de valor booleano da teoria dos conjuntos na teoria do forçamento . Cada álgebra booleana Um tem um acabamento essencialmente único, que é uma álgebra booleana completo contendo uma tal forma que cada elemento é o supremo de um subconjunto de um . Como um conjunto parcialmente ordenado , esta conclusão de A é a conclusão Dedekind – MacNeille .

Mais geralmente, se κ for um cardinal, então uma álgebra booleana é chamada de κ-completa se cada subconjunto de cardinalidade menor que κ tiver um supremo.

Exemplos

  • Toda álgebra booleana finita está completa.
  • A álgebra de subconjuntos de um determinado conjunto é uma álgebra booleana completa.
  • Os conjuntos abertos regulares de qualquer espaço topológico formam uma álgebra booleana completa. Este exemplo é de particular importância porque cada poset forçado pode ser considerado como um espaço topológico (uma base para a topologia consistindo em conjuntos que são o conjunto de todos os elementos menores ou iguais a um determinado elemento). A álgebra aberta regular correspondente pode ser usada para formar modelos de valor booleano que são então equivalentes a extensões genéricas pelo dado poset forçado.
  • A álgebra de todos os subconjuntos mensuráveis ​​de um espaço de medida σ-finito, conjuntos de módulo nulo, é uma álgebra booleana completa. Quando o espaço de medida é o intervalo de unidade com a σ-álgebra dos conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue, a álgebra booleana é chamada de álgebra aleatória .
  • A álgebra de todos os subconjuntos mensuráveis ​​de um espaço de medida é uma álgebra booleana ℵ 1 completa, mas geralmente não é completa.
  • A álgebra de todos os subconjuntos de um conjunto infinito que são finitos ou têm complemento finito é uma álgebra booleana, mas não é completa.
  • A álgebra booleana de todos os conjuntos de Baire modulo conjuntos magros em um espaço topológico com uma base contável está completa; quando o espaço topológico são os números reais, a álgebra às vezes é chamada de álgebra de Cantor .

  • Outro exemplo de álgebra booleana que não é completa é a álgebra booleana P (ω) de todos os conjuntos de números naturais , quocientados pela Fin ideal de subconjuntos finitos. O objeto resultante, denotado P (ω) / Fin, consiste em todas as classes de equivalência de conjuntos de naturais, onde a relação de equivalência relevante é que dois conjuntos de naturais são equivalentes se sua diferença simétrica for finita. As operações booleanas são definidas de forma análoga, por exemplo, se A e B são duas classes de equivalência em P (ω) / Fin, definimos como a classe de equivalência de , onde a e b são alguns (quaisquer) elementos de A e B respectivamente .

    Agora sejam a 0 , a 1 ,… conjuntos infinitos disjuntos aos pares de naturais, e sejam A 0 ,  A 1 ,… suas classes de equivalência correspondentes em P (ω) / Fin. Então, dado qualquer limite superior X de A 0 ,  A 1 , ... em P (ω) / Fin, podemos encontrar um limite superior menor removendo de um representante de X um elemento de cada a n . Portanto, o A n não tem supremo.

  • Uma álgebra booleana é completa se e somente se seu espaço de Pedra de ideais primos estiver extremamente desconectado .

Propriedades de álgebras booleanas completas

  • Estados extensão teorema de Sikorski que se A é um subálgebra de uma álgebra booleana B , então qualquer homomorphism de um para um completo álgebra booleana C pode ser alargado a uma morfismo de B para C .
  • Cada subconjunto de uma álgebra booleana completa tem um supremo, por definição; segue-se que cada subconjunto também tem um ínfimo (maior limite inferior).
  • Para uma álgebra booleana completa, ambas as leis distributivas infinitas são válidas.
  • Para uma álgebra booleana completa, as leis de Morgan infinitas são válidas .

A conclusão de uma álgebra booleana

A conclusão de uma álgebra booleana pode ser definida de várias maneiras equivalentes:

  • A conclusão de A é (até o isomorfismo) a única álgebra booleana B completa contendo A tal que A é denso em B ; Isto significa que para cada elemento diferente de zero de B não é um elemento diferente de zero de menor Uma .
  • A conclusão de um é (até isomorfismo) a única completa álgebra booleana B contendo uma tal forma que cada elemento de B é o supremo de um subconjunto de um .

A conclusão de uma álgebra booleana A pode ser construída de várias maneiras:

  • A conclusão é a álgebra booleana de conjuntos abertos regulares no espaço de pedra de ideais primos de A . Cada elemento x de A corresponde ao conjunto aberto de ideais primos que não contêm x (que é aberto e fechado e, portanto, regular).
  • A conclusão é a álgebra booleana de cortes regulares de A . Aqui, um corte é um subconjunto L de A + (os não-zero elementos de uma ) de modo a que se q é em L e p  ≤  q então p é em U , e é chamada normal se sempre que p não é em U há alguns r  ≤  p tal que U não tem elementos ≤  r . Cada elemento p de A corresponde ao corte dos elementos ≤  p .

Se A é um espaço de métrica e B do seu término, qualquer isometría de um para um espaço completo métrica C pode ser estendido para uma isometría única a partir de B para C . A indicação análoga para álgebra booleana completas não é verdade: um homomorphism de uma álgebra booleana Uma a uma completa álgebra booleana C não pode necessariamente ser estendido para um (supremo preservando) homomorphism de álgebra booleana completas da conclusão B de A para C . (Pelo teorema de extensão de Sikorski, ele pode ser estendido a um homomorfismo de álgebras booleanas de B a C , mas isso não será, em geral, um homomorfismo de álgebras booleanas completas; em outras palavras, não precisa preservar o suprema.)

Álgebras Booleanas κ-completas livres

A menos que o Axioma da Escolha seja relaxado, álgebras booleanas completas e livres geradas por um conjunto não existem (a menos que o conjunto seja finito). Mais precisamente, para qualquer cardinal κ, existe uma álgebra booleana completa de cardinalidade 2 κ maior que κ que é gerada como uma álgebra booleana completa por um subconjunto contável; por exemplo, a álgebra booleana de conjuntos abertos regulares no espaço do produto κ ω , onde κ tem a topologia discreta. Um conjunto gerador contável consiste em todos os conjuntos a m , n para m , n inteiros, consistindo nos elementos x  ∊  κ ω tais que x ( m ) <  x ( n ). (Esta álgebra booleana é chamada de álgebra de colapso , porque forçar com ela colapsa o cardinal κ em ω.)

Em particular, o functor esquecido de álgebras booleanas completas para conjuntos não tem adjunto à esquerda, embora seja contínuo e a categoria de álgebras booleanas seja pequena completa. Isso mostra que a "condição do conjunto de solução" no teorema do functor adjunto de Freyd é necessária.

Dado um conjunto X , pode-se formar o álgebra booleana livre Uma gerado por este conjunto e em seguida a sua conclusão B . No entanto, B não é uma álgebra booleana completa "livre" gerada por X (a menos que X seja finito ou AC seja omitido), porque uma função de X para uma álgebra booleana livre C não pode, em geral, ser estendida a um morfismo (com preservação supremo) de algebras booleanas de B para C .

Por outro lado, para qualquer cardinal fixo κ, existe uma álgebra booleana κ-completa livre (ou universal) gerada por qualquer conjunto dado.

Veja também

Referências

  1. ^ Stavi, Jonathan (1974), "A model of ZF with an infinite free complete Boolean algebra", Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149-163, doi : 10.1007 / BF02757883 , S2CID  119543439 .