Antiderivada (análise complexa) - Antiderivative (complex analysis)

Análise matemática → Análise complexa
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Na análise complexa , um ramo da matemática , a antiderivada , ou primitiva , de uma função avaliada complexa g é uma função cuja derivada complexa é g . Mais precisamente, dado um conjunto aberto no plano complexo e uma função da qual a antiderivada é uma função que satisfaz . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {C},}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ frac {df} {dz}} = g}$

Como tal, este conceito é a versão de variável complexa da antiderivada de uma função com valor real .

Singularidade

A derivada de uma função constante é a função zero. Portanto, qualquer função constante é uma antiderivada da função zero. Se for um conjunto conectado , então as funções constantes são as únicas antiderivadas da função zero. Caso contrário, uma função é uma antiderivada da função zero se e somente se ela for constante em cada componente conectado de (essas constantes não precisam ser iguais). ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

Essa observação implica que se uma função tem uma antiderivada, então essa antiderivada é única até a adição de uma função que é constante em cada componente conectado de . ${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle U}$

Existência

Pode-se caracterizar a existência de antiderivadas por meio de integrais de caminho no plano complexo, bem como no caso de funções de uma variável real. Talvez não seja surpreendente, g tem uma antiderivada f se e somente se, para cada caminho γ de a até b , a integral do caminho

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta = f (b) -f (a).}$

Equivalentemente,

${\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta = 0,}$

para qualquer caminho fechado γ.

No entanto, apesar dessa semelhança formal, possuir uma antiderivada complexa é uma condição muito mais restritiva do que sua contraparte real. Embora seja possível que uma função real descontínua tenha um anti-derivado, os anti-derivados podem deixar de existir mesmo para funções holomórficas de uma variável complexa. Por exemplo, considere a função recíproca, g ( z ) = 1 / z que é holomórfica no plano puncionado C \ {0}. Um cálculo direto mostra que a integral de g ao longo de qualquer círculo envolvendo a origem é diferente de zero. Portanto, g falha na condição citada acima. Isso é semelhante à existência de funções potenciais para campos vetoriais conservativos , em que o teorema de Green só é capaz de garantir a independência do caminho quando a função em questão é definida em uma região simplesmente conectada , como no caso do teorema da integral de Cauchy .

Na verdade, a função analítica é caracterizada por ter uma primitiva localmente , isto é, g é holomórfica se para cada z no seu domínio, há alguns vizinhança L de z de tal modo que g tem uma primitiva em L . Além disso, a holomorfia é uma condição necessária para que uma função tenha uma antiderivada, uma vez que a derivada de qualquer função holomórfica é holomórfica.

Várias versões do teorema da integral de Cauchy , um resultado subjacente da teoria da função de Cauchy, que faz uso intenso de integrais de caminho, fornece condições suficientes sob as quais, para um g holomórfico ,

${\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta}$

desaparece para qualquer caminho fechado γ (que pode ser, por exemplo, que o domínio de g seja simplesmente conectado ou convexo em estrela).

Necessidade

Primeiro, mostramos que se f é uma antiderivada de g em U , então g tem a propriedade da integral de caminho dada acima. Dado qualquer caminho C ¹ por partes γ: [ a , b ] → U , pode-se expressar a integral de caminho de g sobre γ como

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} g (\ gamma (t)) \ gamma '(t) \, dt = \ int _ { a} ^ {b} f '(\ gamma (t)) \ gamma' (t) \, dt.}$

Pela regra da cadeia e o teorema fundamental do cálculo, então temos

${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {d} {dt}} f \ left (\ gamma (t) \ right) \, dt = f \ left (\ gamma (b) \ right) -f \ left (\ gamma (a) \ right).}$

Portanto, a integral de g sobre γ não depende do caminho real γ, mas apenas de suas extremidades, que é o que queríamos mostrar.

Suficiência

A seguir, mostramos que se g é holomórfico e a integral de g em qualquer caminho depende apenas dos pontos finais, então g tem uma antiderivada. Faremos isso encontrando uma anti-derivada explicitamente.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que o domínio U de g está conectado, caso contrário pode-se provar a existência de uma antiderivada em cada componente conectado. Com essa suposição, fixe um ponto z ₀ em U e para qualquer z em U defina a função

${\ displaystyle f (z) = \ int _ {\ gamma} \! g (\ zeta) \, d \ zeta}$

onde γ é qualquer caminho que une z ₀ a z . Esse caminho existe porque U é considerado um conjunto conectado aberto. A função f é bem definida porque a integral depende apenas dos pontos finais de γ.

Que este f é uma antiderivada de g pode ser argumentado da mesma maneira que no caso real. Temos, por um determinado z em U , que deve existir um disco centrado em z e contidas inteiramente dentro U . Então, para cada w diferente de z dentro deste disco

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left | {\ frac {f (w) -f (z)} {wz}} - g (z) \ right | & = \ left | \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {g (\ zeta) \, d \ zeta} {wz}} - \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {g (z) \, d \ zeta} {wz} } \ right | \\ & \ leq \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {| g (\ zeta) -g (z) |} {| wz |}} \, d \ zeta \\ & \ leq \ sup _ {\ zeta \ in [w, z]} | g (\ zeta) -g (z) |, \ end {alinhado}}}$

onde [ z , w ] denota o segmento de reta entre z e w . Por continuidade de g , a expressão final vai para zero à medida que w se aproxima de z . Em outras palavras, f ′ = g .

Referências

• Ian Stewart, David O. Tall (10 de março de 1983). Análise complexa . Cambridge University Press. ISBN   0-521-28763-4 .
• Alan D Solomon (1 de janeiro de 1994). Os fundamentos do Variáveis Complexas I . Research & Education Assoc. ISBN   0-87891-661-X .

links externos

• Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorems of Calculus" . MathWorld .