Função holomórfica - Holomorphic function

Uma grade retangular (parte superior) e sua imagem sob um mapa conformal f (parte inferior).

Em matemática, uma função holomórfica é uma função de valor complexo de uma ou mais variáveis complexas que é complexa diferenciável em uma vizinhança de cada ponto em um domínio no espaço de coordenadas complexo C n . A existência de uma derivada complexa em uma vizinhança é uma condição muito forte: ela implica que uma função holomórfica é infinitamente diferenciável e localmente igual à sua própria série de Taylor ( analítica ). As funções holomórficas são os objetos centrais de estudo na análise complexa .

Embora o termo função analítica seja frequentemente usado de forma intercambiável com "função holomórfica", a palavra "analítica" é definida em um sentido mais amplo para denotar qualquer função (real, complexa ou de tipo mais geral) que pode ser escrita como uma série de poder convergente em uma vizinhança de cada ponto em seu domínio . Que todas as funções holomórficas são funções analíticas complexas, e vice-versa, é um teorema importante na análise complexa .

As funções holomórficas também são às vezes chamadas de funções regulares . Uma função holomórfica cujo domínio é todo o plano complexo é chamada de função inteira . A frase "holomórfico em um ponto z 0 " significa não apenas diferenciável em z 0 , mas diferenciável em qualquer lugar dentro de alguma vizinhança de z 0 no plano complexo.

Definição

A função f ( z ) = não é complexa diferenciável em zero, porque como mostrado acima, o valor de f ( z ) - f (0) / z - 0 varia dependendo da direção a partir da qual zero é aproximado. Ao longo do eixo real, f é igual à função g ( z ) = ze o limite é 1 , enquanto ao longo do eixo imaginário, f é igual a h ( z ) = - ze o limite é −1 . Outras direções geram ainda outros limites.

Dada uma função de valor complexo f de uma única variável complexa, a derivada de f em um ponto z 0 em seu domínio é definida pelo limite

Esta é a mesma que a definição da derivada para funções reais , exceto que todas as quantidades são complexas. Em particular, o limite é considerado quando o número complexo z se aproxima de z 0 , e deve ter o mesmo valor para qualquer sequência de valores complexos de z que se aproximam de z 0 no plano complexo. Se o limite existe, dizemos que f é complexo diferenciável no ponto z 0 . Este conceito de diferenciabilidade complexa compartilha várias propriedades com diferenciabilidade real : é linear e obedece à regra do produto , regra do quociente e regra da cadeia .

Se f é diferenciável complexa em cada ponto z 0 em um conjunto aberto U , dizemos que f é holomorfa em U . Dizemos que f é holomórfico no ponto z 0 se f é complexo diferenciável em alguma vizinhança de z 0 . Dizemos que f é holomorfa em algum conjunto não aberto Um se é holomorfa em um bairro de A . Como não exemplo patológico, a função dada por f ( z ) = | z  | 2 é complexo diferenciável em exactamente um ponto ( z 0 = 0 ), e por esta razão, é não holomórfica a 0 , porque não há um conjunto aberto em torno 0 em que f é diferenciável complexo.

A relação entre derivabilidade real e derivabilidade complexo é o seguinte: Se uma função complexa, f ( x + y i ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) é holomórfica, então u e v têm os derivados primeiro parciais em relação à x e y , e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann :

ou, de forma equivalente, o derivado de Wirtinger de f em relação a , o conjugado complexo de z , é zero:

o que quer dizer que, grosso modo, f é funcionalmente independente de o conjugado complexo de z .

Se a continuidade não for dada, o inverso não é necessariamente verdadeiro. Um inverso simples é que, se u e v têm contínuas primeiras derivadas parciais e satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, então f é holomórfica. Um inverso mais satisfatório, o que é muito mais difícil de provar, é o teorema Looman-Menchoff : se f é contínua, u e v têm os derivados primeiro parciais (mas não necessariamente contínua), e que satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann, em seguida, f seja holomórfico.

Terminologia

O termo holomorphic foi introduzido em 1875 por Charles Briot e Jean-Claude Bouquet , dois dos Augustin-Louis Cauchy estudantes 's, e deriva do grego ὅλος ( holos ) significa 'todo', e μορφή ( morphe ) que significa 'forma' ou "aparência" ou "tipo", em contraste com o termo meromórfico derivado de μ ه ος ( méros ) que significa "parte". Uma função holomórfica se assemelha a uma função inteira ("todo") em um domínio do plano complexo, enquanto uma função meromórfica (definida para significar holomórfica, exceto em certos pólos isolados ), assemelha-se a uma fração racional ("parte") de funções inteiras em um domínio do plano complexo. Em vez disso, Cauchy usou o termo sinético .

Hoje, o termo "função holomórfica" às vezes é preferido a "função analítica". Um resultado importante na análise complexa é que toda função holomórfica é analítica complexa, um fato que não decorre obviamente das definições. O termo "analítico", no entanto, também é amplamente utilizado.

Propriedades

Como a diferenciação complexa é linear e obedece às regras de produto, quociente e cadeia, as somas, produtos e composições das funções holomórficas são holomórficas e o quociente de duas funções holomórficas é holomórfico sempre que o denominador não for zero. Ou seja, se as funções f e g são holomorfa em um domínio U , então por isso são f + g , f - g , f g , e f  ∘  g . Além disso, f  /  g é holomórfico se g não tem zeros em U , ou é meromórfico caso contrário.

Se alguém identifica C com o plano real R 2 , então as funções holomórficas coincidem com aquelas funções de duas variáveis ​​reais com primeiras derivadas contínuas que resolvem as equações de Cauchy-Riemann , um conjunto de duas equações diferenciais parciais .

Cada função holomórfica pode ser separada em suas partes reais e imaginárias f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , e cada uma delas é uma função harmônica em R 2 (cada uma satisfaz a equação de Laplace 2 u = ∇ 2 v = 0 ), com v o conjugado harmônico de u . Por outro lado, cada função harmônica u ( x , y ) em um domínio simplesmente conectado Ω ⊂ R 2 é a parte real de uma função holomórfica: Se v é o conjugado harmônico de u , único até uma constante, então f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) é holomórfico.

O teorema da integral de Cauchy implica que a integral de contorno de cada função holomórfica ao longo de um loop desaparece:

Aqui γ é um caminho retificável em um domínio complexo simplesmente conectado UC cujo ponto inicial é igual ao seu ponto final, ef  : UC é uma função holomórfica.

A fórmula integral de Cauchy afirma que toda função holomórfica dentro de um disco é completamente determinada por seus valores no limite do disco. Além disso: Suponha que UC é um domínio complexo, f  : UC é uma função holomórfica e o disco fechado D = {  z  : | z - z 0 | ≤ r  } é completamente contido em L . Deixe γ ser o círculo formando o limite de D . Então, para cada a no interior de D :

onde a integral de contorno é tomada no sentido anti-horário .

A derivada f ′ ( a ) pode ser escrita como uma integral de contorno usando a fórmula de diferenciação de Cauchy :

para qualquer loop simples enrolando positivamente uma vez em torno de um , e

para loops positivos infinitesimais γ em torno de a .

Em regiões onde a primeira derivada não é zero, as funções holomórficas são conformes : elas preservam os ângulos e a forma (mas não o tamanho) de pequenas figuras.

Cada função holomórfica é analítica . Ou seja, uma função holomórfica f tem derivadas de toda ordem em cada ponto a em seu domínio e coincide com sua própria série de Taylor em a em uma vizinhança de a . Na verdade, f coincide com sua série de Taylor em a em qualquer disco centrado naquele ponto e situado dentro do domínio da função.

Do ponto de vista algébrico, o conjunto de funções holomórficas em um conjunto aberto é um anel comutativo e um espaço vetorial complexo . Além disso, o conjunto de funções holomórficas em um conjunto aberto U é um domínio integral se e somente se o conjunto aberto U estiver conectado. Na verdade, é um espaço vetorial topológico localmente convexo , com os seminormas sendo a suprema em subconjuntos compactos .

De uma perspectiva geométrica, uma função f é holomórfica em z 0 se e somente se sua derivada externa df em uma vizinhança U de z 0 for igual af ′ ( z )  dz para alguma função contínua f . Segue-se de

que df também é proporcional a dz , o que implica que a própria derivada f é holomórfica e, portanto, que f é infinitamente diferenciável. Do mesmo modo, d ( f dz ) = f ' dzdz = 0 implica que qualquer função f que é holomórfica na região simplesmente ligado L também é integrável em L .

(Para um caminho γ de z 0 a z inteiramente em U , defina à luz do teorema da curva de Jordan e do teorema de Stokes generalizado , F γ ( z ) é independente da escolha particular do caminho γ e, portanto, F ( z ) é uma função bem definida em U tendo F ( z 0 ) = F 0 e dF = f dz .)

Exemplos

Todas as funções polinomiais em z com coeficientes complexos são funções inteiras (holomórficas em todo o plano complexo C ), assim como a função exponencial exp z e as funções trigonométricas e (cf. fórmula de Euler ). O ramo principal da função logaritmo complexa log z é holomórfico no domínio C \ {  zR  : z ≤ 0}. A função de raiz quadrada pode ser definida como e, portanto, holomórfica onde quer que o logaritmo log z esteja. A função recíproca 1 /  z é holomórfica em C \ {0}. (A função recíproca, e qualquer outra função racional , é meromórfica em C. )

Como consequência das equações de Cauchy-Riemann , qualquer função holomórfica de valor real deve ser constante . Portanto, o valor absoluto | z  | , o argumento arg ( z ) , a parte real Re ( z ) e a parte imaginária Im ( z ) não são holomórficas. Outro exemplo típico de uma função contínua que não é holomórfica é o conjugado complexo . (O conjugado complexo é anti - holomórfico .)

Várias variáveis

A definição de uma função holomórfica generaliza para várias variáveis ​​complexas de uma maneira direta. Deixe- D a ser polydisk e também, denotam um subconjunto aberto de C n , e deixá- F  : DC . A função f é analítica em um ponto p em D se existe uma vizinhança aberta de p na qual f é igual a uma série de potências convergentes em n variáveis ​​complexas. Defina f como holomórfico se for analítico em cada ponto de seu domínio. O lema de Osgood mostra (usando a fórmula integral multivariada de Cauchy) que, para uma função contínua f , isso é equivalente a f ser holomórfico em cada variável separadamente (o que significa que se qualquer coordenada n - 1 for fixa, então a restrição de f é holomórfica função da coordenada restante). O teorema de Hartogs muito mais profundo prova que a hipótese de continuidade é desnecessária: f é holomórfico se e somente se for holomórfico em cada variável separadamente.

De forma mais geral, uma função de várias variáveis ​​complexas que é quadrada integrável sobre cada subconjunto compacto de seu domínio é analítica se e somente se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann no sentido de distribuições.

As funções de várias variáveis ​​complexas são, em alguns aspectos básicos, mais complicadas do que as funções de uma única variável complexa. Por exemplo, a região de convergência de uma série de potências não é necessariamente uma bola aberta; essas regiões são domínios de Reinhardt logaritmicamente convexos , cujo exemplo mais simples é um polidisco . No entanto, eles também vêm com algumas restrições fundamentais. Ao contrário das funções de uma única variável complexa, os domínios possíveis nos quais existem funções holomórficas que não podem ser estendidas a domínios maiores são altamente limitados. Esse conjunto é chamado de domínio da holomorfia .

Um diferencial complexa ( p , 0) -forma α é holomórfica se e apenas se a sua antiholomorphic derivado Dolbeault é zero, ô α = 0 .

Extensão para análise funcional

O conceito de função holomórfica pode ser estendido aos espaços de dimensão infinita da análise funcional . Por exemplo, a derivada de Fréchet ou Gateaux pode ser usada para definir uma noção de uma função holomórfica em um espaço de Banach sobre o campo de números complexos.

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Blakey, Joseph (1958). University Mathematics (2ª ed.). Londres: Blackie and Sons. OCLC  2370110 .

links externos