Manifold complexo - Complex manifold

Mapas Holomórficos

Na geometria diferencial e geometria complexa , um colector de complexo é um colector com um atlas de cartas para o disco unidade aberta em , de tal modo que os mapas de transição são holomórfica . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

O termo variedade complexa é usado de várias maneiras para significar uma variedade complexa no sentido acima (que pode ser especificada como uma variedade complexa integrável ) e uma variedade quase complexa .

Implicações de estrutura complexa

Como as funções holomórficas são muito mais rígidas do que as funções suaves , as teorias das variedades suaves e complexas têm sabores muito diferentes: variedades complexas compactas estão muito mais próximas das variedades algébricas do que das variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema de incorporação de Whitney nos diz que toda variedade n- dimensional suave pode ser incorporada como uma subvariedade suave de R ^{2 n} , enquanto é "raro" que uma variedade complexa tenha uma incorporação holomórfica em C ⁿ . Considere, por exemplo, qualquer variedade M complexa conectada compacta : qualquer função holomórfica nela é constante pelo teorema de Liouville . Agora, se tivéssemos uma incorporação holomórfica de M em C ⁿ , então as funções de coordenadas de C ⁿ se restringiriam a funções holomórficas não constantes em M , contradizendo compactação, exceto no caso em que M é apenas um ponto. Variedades complexas que podem ser incorporadas em C ⁿ são chamadas variedades de Stein e formam uma classe muito especial de variedades incluindo, por exemplo, variedades algébricas afins complexas suaves.

A classificação de variedades complexas é muito mais sutil do que a de variedades diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões diferentes de quatro, uma dada variedade topológica tem no máximo finitamente muitas estruturas suaves , uma variedade topológica que suporta uma estrutura complexa pode e freqüentemente suporta inúmeras estruturas complexas. As superfícies de Riemann , variedades bidimensionais dotadas de uma estrutura complexa, topologicamente classificadas pelo gênero , são um exemplo importante desse fenômeno. O conjunto de estruturas complexas em uma determinada superfície orientável, equivalência de módulo biolomórfico, ele próprio forma uma variedade algébrica complexa chamada espaço de módulos , cuja estrutura permanece uma área de pesquisa ativa.

Uma vez que os mapas de transição entre os gráficos são biolomórficos, as variedades complexas são, em particular, suaves e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis : um mapa biolomórfico para (um subconjunto de) C ⁿ fornece uma orientação, já que os mapas biolomórficos preservam a orientação).

Exemplos de variedades complexas

Superfícies de Riemann .
Variedades de Calabi – Yau .
O produto cartesiano de duas variedades complexas.
A imagem inversa de qualquer valor não crítico de um mapa holomórfico.

Variedades algébricas complexas suaves

Variedades algébricas complexas suaves são variedades complexas, incluindo:

Espaços vetoriais complexos.
Espaços projetivos complexos , P ⁿ ( C ).
Grassmannians complexos .
Grupos de Lie complexos , como GL ( n , C ) ou Sp ( n , C ).

Da mesma forma, os análogos quaterniônicos desses também são variedades complexas.

Simplesmente conectado

As variedades complexas unidimensionais simplesmente conectadas são isomórficas a:

Δ, o disco da unidade em C
C , o plano complexo
Ĉ , a esfera de Riemann

Observe que há inclusões entre estes como Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , mas que não há mapas não constantes na outra direção, pelo teorema de Liouville .

Disco x espaço x polidisco

Os espaços a seguir são diferentes como variedades complexas, demonstrando o caráter geométrico mais rígido das variedades complexas (em comparação com variedades suaves):

espaço complexo . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$
o disco da unidade ou bola aberta

{\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} ^ {n}: \ | z \ | <1 \ right \}.}

o polidisco

{\ displaystyle \ left \ {z = (z_ {1}, \ dots, z_ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}: \ vert z_ {j} \ vert <1 \ \ forall j = 1, \ pontos, n \ direita \}.}

Estruturas quase complexas

Uma estrutura quase complexa em uma variedade 2n real é uma estrutura GL ( n , C ) (no sentido de estruturas G ) - isto é, o feixe tangente é equipado com uma estrutura linear complexa .

Concretamente, este é um endomorfismo do feixe tangente cujo quadrado é - I ; este endomorfismo é análogo à multiplicação pelo número imaginário i , e é denotado J (para evitar confusão com a matriz de identidade I ). Uma variedade quase complexa é necessariamente dimensional.

Uma estrutura quase complexa é mais fraca do que uma estrutura complexa: qualquer variedade complexa tem uma estrutura quase complexa, mas nem toda estrutura quase complexa vem de uma estrutura complexa. Observe que cada variedade real de dimensão par tem uma estrutura quase complexa definida localmente a partir do gráfico de coordenadas local. A questão é se essa estrutura complexa pode ser definida globalmente. Uma estrutura quase complexa que vem de uma estrutura complexa é chamada integrável , e quando se deseja especificar uma estrutura complexa em oposição a uma estrutura quase complexa, diz-se uma estrutura complexa integrável . Para estruturas complexas integráveis, o chamado tensor de Nijenhuis desaparece. Este tensor é definido em pares de campos vetoriais, X , Y por

{\ displaystyle N_ {J} (X, Y) = [X, Y] + J [JX, Y] + J [X, JY] - [JX, JY] \.}

Por exemplo, a esfera 6-dimensional S ⁶ tem uma estrutura natural quase complexa decorrente do fato de ser o complemento ortogonal de i na esfera unitária das octonions , mas esta não é uma estrutura complexa. (A questão de saber se ele tem uma estrutura complexa é conhecida como o problema de Hopf, em homenagem a Heinz Hopf .) Usando uma estrutura quase complexa, podemos entender os mapas holomórficos e perguntar sobre a existência de coordenadas holomórficas na variedade. A existência de coordenadas holomórficas é equivalente a dizer que a variedade é complexa (que é o que diz a definição do gráfico).

Tensorando o feixe tangente com os números complexos, obtemos o feixe tangente complexificado , no qual a multiplicação por números complexos faz sentido (mesmo se começarmos com uma variedade real). Os valores próprios de uma estrutura quase complexo são ± i e os autoespaços formar sub-feixes denotados por T ^0,1M e T ^1,0M . O teorema de Newlander-Nirenberg mostra que uma estrutura quase complexa é na verdade uma estrutura complexa precisamente quando esses subconjuntos são involutivos , ou seja, fechados sob o colchete de Lie de campos vetoriais, e tal estrutura quase complexa é chamada integrável .

Variedades Kähler e Calabi – Yau

Pode-se definir um análogo de uma métrica Riemanniana para variedades complexas, chamada de métrica Hermitiana . Como uma métrica Riemanniana, uma métrica Hermitiana consiste em um produto interno definido positivo e com variação suave no feixe tangente, que é Hermitiano em relação à estrutura complexa no espaço tangente em cada ponto. Como no caso Riemanniano, tais métricas sempre existem em abundância em qualquer variedade complexa. Se a parte simétrica inclinada de tal métrica for simplética , ou seja, fechada e não degenerada, então a métrica é chamada de Kähler . As estruturas Kähler são muito mais difíceis de encontrar e muito mais rígidas.

Exemplos de variedades Kähler incluem variedades projetivas suaves e, mais geralmente, qualquer subvariedade complexa de uma variedade Kähler. As variedades de Hopf são exemplos de variedades complexas que não são Kähler. Para construir um, pegue um espaço vetorial complexo sem a origem e considere a ação do grupo de inteiros neste espaço por multiplicação por exp ( n ). O quociente é uma variedade complexa cujo primeiro número de Betti é um, portanto, pela teoria de Hodge , não pode ser Kähler.

Uma variedade Calabi – Yau pode ser definida como uma variedade Kähler compacta de Ricci-plana ou, de forma equivalente, uma cuja primeira classe de Chern desaparece.

Veja também

Notas de rodapé

^ Deve-se usar o disco de unidade aberta emcomo o espaço do modelo em vez deporque estes não são isomórficos, ao contrário de variedades reais. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$
^ Isso significa que todos os espaços projetivos complexos são orientáveis , em contraste com o caso real
^ Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). “Sobre a história do problema de Hopf”. Geometria diferencial e suas aplicações . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016 / j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

Referências

Kodaira, Kunihiko (17 de novembro de 2004). Manifolds complexos e deformação de estruturas complexas . Clássicos da Matemática. Springer. ISBN 3-540-22614-1.

[1] Deve-se usar o disco de unidade aberta emcomo o espaço do modelo em vez deporque estes não são isomórficos, ao contrário de variedades reais. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

[2] Isso significa que todos os espaços projetivos complexos são orientáveis , em contraste com o caso real

[3] Agricola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). “Sobre a história do problema de Hopf”. Geometria diferencial e suas aplicações . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016 / j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

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