Análise complexa -Complex analysis

A análise complexa , tradicionalmente conhecida como a teoria das funções de uma variável complexa , é o ramo da análise matemática que investiga funções de números complexos . É útil em muitos ramos da matemática, incluindo geometria algébrica , teoria dos números , combinatória analítica , matemática aplicada ; bem como na física , incluindo os ramos da hidrodinâmica , termodinâmica e particularmente a mecânica quântica . Por extensão, o uso de análise complexa também tem aplicações em campos de engenharia como nuclear , aeroespacial , mecânica e elétrica .

Como uma função diferenciável de uma variável complexa é igual à sua série de Taylor (isto é, é analítica ), a análise complexa está particularmente preocupada com funções analíticas de uma variável complexa (isto é, funções holomórficas ).

História

Augustin-Louis Cauchy , um dos fundadores da análise complexa

A análise complexa é um dos ramos clássicos da matemática, com raízes no século 18 e um pouco antes. Matemáticos importantes associados a números complexos incluem Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Gösta Mittag-Leffler , Weierstrass e muitos outros no século XX. A análise complexa, em particular a teoria dos mapeamentos conformes , tem muitas aplicações físicas e também é usada em toda a teoria analítica dos números . Nos tempos modernos, tornou-se muito popular por meio de um novo impulso da dinâmica complexa e das imagens de fractais produzidas pela iteração de funções holomorfas . Outra aplicação importante da análise complexa é na teoria das cordas , que examina invariantes conformes na teoria quântica de campos .

funções complexas

Uma função exponencial A n de uma variável discreta ( inteira ) n , semelhante à progressão geométrica

Uma função complexa é uma função de números complexos para números complexos. Em outras palavras, é uma função que tem um subconjunto dos números complexos como domínio e os números complexos como contradomínio . As funções complexas geralmente têm um domínio que contém um subconjunto aberto não vazio do plano complexo .

Para qualquer função complexa, os valores do domínio e suas imagens na imagem podem ser separados em partes reais e imaginárias :

onde todos são de valor real.

Em outras palavras, uma função complexa pode ser decomposta em

e

ou seja, em duas funções reais ( , ) de duas variáveis ​​reais ( , ).

Da mesma forma, qualquer função de valor complexo f em um conjunto arbitrário Xisomórfica a, e portanto, nesse sentido, a ele) pode ser considerada como um par ordenado de duas funções de valor real : (Re f , Im f ) ou, alternativamente, como uma função de valor vetorial de X em

Algumas propriedades de funções de valor complexo (como continuidade ) nada mais são do que as propriedades correspondentes de funções de valor vetorial de duas variáveis ​​reais. Outros conceitos de análise complexa, como diferenciabilidade , são generalizações diretas de conceitos semelhantes para funções reais, mas podem ter propriedades muito diferentes. Em particular, toda função complexa diferenciável é analítica (veja a próxima seção), e duas funções diferenciáveis ​​que são iguais na vizinhança de um ponto são iguais na interseção de seus domínios (se os domínios estiverem conectados ). A última propriedade é a base do princípio da continuação analítica que permite estender cada função analítica real de uma maneira única para obter uma função analítica complexa cujo domínio é todo o plano complexo com um número finito de arcos de curva removidos. Muitas funções complexas básicas e especiais são definidas dessa maneira, incluindo a função exponencial complexa , funções logarítmicas complexas e funções trigonométricas .

funções holomórficas

Funções complexas que são diferenciáveis ​​em todos os pontos de um subconjunto aberto do plano complexo são ditas holomorfas em . No contexto da análise complexa, a derivada de at é definida como sendo

Superficialmente, esta definição é formalmente análoga à da derivada de uma função real. No entanto, derivadas complexas e funções diferenciáveis ​​se comportam de maneiras significativamente diferentes em comparação com suas contrapartes reais. Em particular, para que esse limite exista, o valor do quociente de diferença deve se aproximar do mesmo número complexo, independentemente da maneira como nos aproximamos no plano complexo. Consequentemente, a diferenciabilidade complexa tem implicações muito mais fortes do que a diferenciabilidade real. Por exemplo, funções holomorfas são infinitamente diferenciáveis , enquanto a existência da n -ésima derivada não implica necessariamente a existência da ( n + 1)-ésima derivada para funções reais. Além disso, todas as funções holomorfas satisfazem a condição mais forte de analiticidade , o que significa que a função é, em cada ponto de seu domínio, dada localmente por uma série de potência convergente. Em essência, isso significa que as funções holomórficas podem ser aproximadas arbitrariamente bem por polinômios em alguma vizinhança de cada ponto em . Isso contrasta fortemente com as funções reais diferenciáveis; existem funções reais infinitamente diferenciáveis ​​que não são analíticas em nenhum lugar ; veja Função suave não analítica § Uma função suave que não é analítica real em nenhum lugar .

A maioria das funções elementares, incluindo a função exponencial , as funções trigonométricas e todas as funções polinomiais , estendidas apropriadamente a argumentos complexos como funções , são holomórficas em todo o plano complexo, tornando-as funções inteiras , enquanto funções racionais , onde p e q são polinômios, são holomórficos em domínios que excluem pontos onde q é zero. Essas funções que são holomórficas em todos os lugares, exceto um conjunto de pontos isolados, são conhecidas como funções meromórficas . Por outro lado, as funções , , e não são holomórficas em nenhum lugar do plano complexo, como pode ser demonstrado por sua falha em satisfazer as condições de Cauchy-Riemann (veja abaixo).

Uma propriedade importante das funções holomorfas é a relação entre as derivadas parciais de seus componentes reais e imaginários, conhecidas como condições de Cauchy-Riemann . Se , definido por , onde , é holomorfo em uma região , então para todo ,

Em termos das partes real e imaginária da função, u e v , isso equivale ao par de equações e , onde os subscritos indicam diferenciação parcial. No entanto, as condições de Cauchy-Riemann não caracterizam funções holomorfas, sem condições de continuidade adicionais (ver teorema de Looman-Menchoff ).

As funções holomórficas exibem algumas características notáveis. Por exemplo, o teorema de Picard afirma que o intervalo de uma função inteira pode assumir apenas três formas possíveis: , , ou para alguns . Em outras palavras, se dois números complexos distintos e não estão no intervalo de uma função inteira , então é uma função constante. Além disso, uma função holomórfica em um conjunto aberto conectado é determinada por sua restrição a qualquer subconjunto aberto não vazio.

mapa conforme

Uma grade retangular (superior) e sua imagem sob um mapa conforme (inferior). Vê-se que mapeia pares de linhas que se cruzam em 90° para pares de curvas que ainda se cruzam em 90°.

Em matemática , um mapa conforme é uma função que preserva localmente ângulos , mas não necessariamente comprimentos.

Mais formalmente, sejam e sejam subconjuntos abertos de . Uma função é chamada conforme (ou preservadora de ângulo) em um ponto se ela preserva ângulos entre curvas direcionadas por , bem como preserva a orientação. Os mapas conformes preservam os ângulos e as formas de figuras infinitesimalmente pequenas, mas não necessariamente seu tamanho ou curvatura .

A propriedade conforme pode ser descrita em termos da matriz derivada Jacobiana de uma transformação de coordenadas . A transformação é conforme sempre que o jacobiano em cada ponto é um escalar positivo vezes uma matriz de rotação ( ortogonal com determinante um). Alguns autores definem conformidade para incluir mapeamentos de inversão de orientação cujos jacobianos podem ser escritos como qualquer escalar vezes qualquer matriz ortogonal.

Para mapeamentos em duas dimensões, os mapeamentos conformes (preservando a orientação) são precisamente as funções analíticas complexas localmente inversíveis. Em três dimensões e superiores, o teorema de Liouville limita nitidamente os mapeamentos conformes a alguns tipos.

A noção de conformalidade generaliza-se de forma natural para aplicações entre variedades Riemannianas ou semi-Riemannianas .

Principais resultados

Gráfico da roda de cores da função f ( x ) = ( x 2 − 1)( x − 2 − i ) 2/x 2 + 2 + 2i.
Hue representa o argumento , brilho a magnitude.

Uma das ferramentas centrais na análise complexa é a integral de linha . A integral de linha em torno de um caminho fechado de uma função que é holomorfa em todos os lugares dentro da área limitada pelo caminho fechado é sempre zero, como afirma o teorema da integral de Cauchy . Os valores de tal função holomórfica dentro de um disco podem ser calculados por uma integral de caminho no limite do disco (como mostrado na fórmula integral de Cauchy ). As integrais de caminho no plano complexo são freqüentemente usadas para determinar integrais reais complicadas, e aqui a teoria dos resíduos , entre outras, é aplicável (ver métodos de integração de contorno ). Um "pólo" (ou singularidade isolada ) de uma função é um ponto onde o valor da função se torna ilimitado ou "explode". Se uma função tiver tal pólo, então pode-se calcular o resíduo da função ali, que pode ser usado para calcular integrais de caminho envolvendo a função; este é o conteúdo do poderoso teorema dos resíduos . O notável comportamento de funções holomorfas perto de singularidades essenciais é descrito pelo teorema de Picard . Funções que possuem apenas pólos, mas nenhuma singularidade essencial, são chamadas de meromorfas . As séries de Laurent são equivalentes de valores complexos às séries de Taylor , mas podem ser usadas para estudar o comportamento de funções próximas a singularidades por meio de somas infinitas de funções mais bem compreendidas, como polinômios.

Uma função limitada que é holomorfa em todo o plano complexo deve ser constante; este é o teorema de Liouville . Ele pode ser usado para fornecer uma prova natural e curta para o teorema fundamental da álgebra que afirma que o corpo de números complexos é algebricamente fechado .

Se uma função é holomórfica em um domínio conectado , seus valores são totalmente determinados por seus valores em qualquer subdomínio menor. Diz-se que a função no domínio maior é continuada analiticamente a partir de seus valores no domínio menor. Isso permite a extensão da definição de funções, como a função Riemann zeta , que são inicialmente definidas em termos de somas infinitas que convergem apenas em domínios limitados para quase todo o plano complexo. Às vezes, como no caso do logaritmo natural , é impossível continuar analiticamente uma função holomorfa para um domínio não simplesmente conectado no plano complexo, mas é possível estendê-la para uma função holomorfa em uma superfície intimamente relacionada conhecida como Superfície de Riemann .

Tudo isso se refere à análise complexa em uma variável. Há também uma teoria muito rica de análise complexa em mais de uma dimensão complexa na qual as propriedades analíticas, como a expansão da série de potências, são transferidas, enquanto a maioria das propriedades geométricas das funções holomorfas em uma dimensão complexa (como a conformalidade ) não são transferidas. . O teorema de mapeamento de Riemann sobre a relação conforme de certos domínios no plano complexo, que pode ser o resultado mais importante na teoria unidimensional, falha drasticamente em dimensões superiores.

Uma aplicação importante de certos espaços complexos é na mecânica quântica como funções de onda .

Veja também

Referências

Fontes

links externos