Álgebra de composição - Composition algebra

Em matemática , uma álgebra de composição $A$ sobre um campo $K$ é uma álgebra não necessariamente associativa sobre $K$ junto com uma forma quadrática não degenerada $N$ que satisfaz

{\ displaystyle N (xy) = N (x) N (y)}

para todos os $x$ e $y$ em $um$ .

Uma álgebra de composição inclui uma involução chamada conjugação : a forma quadrática é chamada de norma da álgebra. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {*}.}$ ${\ displaystyle N (x) = xx ^ {*}}$

Uma álgebra de composição ( A , ∗, N ) é uma álgebra de divisão ou uma álgebra de divisão , dependendo da existência de um v diferente de zero em A tal que N ( v ) = 0, chamado de vetor nulo . Quando x não é um vetor nulo, o inverso multiplicativo de x é . Quando há um vetor nulo diferente de zero, N é uma forma quadrática isotrópica e "a álgebra se divide". ${\ textstyle {\ frac {x ^ {*}} {N (x)}}}$

Teorema da estrutura

Cada álgebra de composição unital sobre um campo $K$ pode ser obtida pela aplicação repetida da construção Cayley-Dickson a partir de $K$ (se a característica de $K$ for diferente de $2$ ) ou uma subálgebra de composição bidimensional (se $char (K) = 2$ ) . As dimensões possíveis de uma álgebra de composição são $1$ , $2$ , $4$ e $8$ .

Álgebras de composição unidimensionais só existem quando $char (K) \neq 2$ .
Álgebras de composição de dimensão 1 e 2 são comutativas e associativas.
Algebras Composição de dimensão 2 são ou extensões de campo quadráticas de $K$ ou isomorfa a $K \oplus K$ .
Álgebras de composição de dimensão 4 são chamadas de álgebras de quaternion . Eles são associativos, mas não comutativos.
Álgebras de composição de dimensão 8 são chamadas de álgebras de octonion . Eles não são associativos nem comutativos.

Para uma terminologia consistente, as álgebras de dimensão 1 foram chamadas de unarion e as de dimensão 2 de binarion .

Instâncias e uso

Quando o campo $K$ é tomada como sendo números complexos $C$ e a forma quadrática $z 2$ , em seguida, quatro álgebra de composição ao longo do $C$ são $C -se$ , os números bicomplexos , os biquaternions (isomorfo para o 2 × 2 complexo anel matriz $M (2, C)$ ), e os bioctonions $C \otimes O$ , que também são chamados de octonions complexos.

O anel de matriz $M (2, C)$ tem sido um objeto de interesse, primeiro como biquaternions de Hamilton (1853), depois na forma de matriz isomórfica e, especialmente, como álgebra de Pauli .

A função de quadratura $N (x) = x 2$ no campo de número real forma a álgebra de composição primordial. Quando o campo $K$ é considerado um número real $R$ , então existem apenas seis outras álgebras de composição real. Em duas, quatro e oito dimensões, há uma álgebra de divisão e uma "álgebra de divisão":

binários: números complexos com forma quadrática

x 2 + y 2

e números complexos divididos com forma quadrática

x 2 - y 2

,

quaternions e split-quaternions ,

octonions e split-octonions .

Cada álgebra de composição tem uma forma bilinear associada B ( x, y ) construída com a norma N e uma identidade de polarização :

{\ displaystyle B (x, y) \ = \ [N (x + y) -N (x) -N (y)] / 2.}

História

A composição das somas dos quadrados foi observada por vários dos primeiros autores. Diofanto estava ciente da identidade envolvendo a soma de dois quadrados, agora chamada de identidade Brahmagupta-Fibonacci , que também se articula como uma propriedade das normas euclidianas de números complexos quando multiplicados. Leonhard Euler discutiu a identidade dos quatro quadrados em 1748, e isso levou WR Hamilton a construir sua álgebra quadridimensional dos quatérnios . Em 1848, tessarinas foram descritas dando a primeira luz a números bicomplexos.

Por volta de 1818, o estudioso dinamarquês Ferdinand Degen exibiu a identidade dos oito quadrados de Degen , que mais tarde foi conectada às normas dos elementos da álgebra de octonia :

Historicamente, a primeira álgebra não associativa, os números de Cayley ... surgiu no contexto do problema teórico dos números de formas quadráticas que permitem composição ... esta questão teórica dos números pode ser transformada em uma questão relativa a certos sistemas algébricos, as álgebras de composição. ..

Em 1919, Leonard Dickson avançou no estudo do problema de Hurwitz com um levantamento dos esforços até aquela data e exibindo o método de dobrar os quatérnios para obter os números de Cayley . Ele introduziu uma nova unidade imaginária $e$ , e para quatérnions $q$ e $Q$ escreve um número de Cayley $q + Q e$ . Denotando o quaternion conjugado por $q'$ , o produto de dois números de Cayley é

{\ displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr-R'Q) + (Rq + Qr ') e.}

O conjugado de um número de Cayley é $q ' - Q e$ , e a forma quadrática é $qq' + QQ'$ , obtida pela multiplicação do número pelo seu conjugado. O método de duplicação passou a ser chamado de construção Cayley-Dickson .

Em 1923, o caso de álgebras reais com formas definidas positivas foi delimitado pelo teorema de Hurwitz (álgebras de composição) .

Em 1931, Max Zorn introduziu um gama (γ) na regra de multiplicação na construção de Dickson para gerar octonões divididas . Adrian Albert também usou a gama em 1942, quando mostrou que a duplicação de Dickson poderia ser aplicada a qualquer campo com a função de quadratura para construir álgebras binarion, quaternion e octonion com suas formas quadráticas. Nathan Jacobson descreveu os automorfismos das álgebras de composição em 1958.

As álgebras de composição clássicas sobre $R$ e $C$ são álgebras unitais . Álgebras de composição sem uma identidade multiplicativa foram encontradas por HP Petersson ( álgebras de Petersson ) e Susumu Okubo ( álgebras de Okubo ) e outros.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Análise em cones simétricos . Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nova York. pp. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. MR 1446489 .
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introdução às formas quadráticas sobre campos . Estudos de Pós-Graduação em Matemática . 67 . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
Harvey, F. Reese (1990). Spinors e Calibrações . Perspectives in Mathematics. 9 . San Diego: Academic Press . ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002 .

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