Composição de funções - Function composition
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x ↦ f ( x ) |
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Em matemática , composição de função é uma operação que demora duas funções f e g e produz uma função h de tal modo que H ( x ) = g ( f ( x )) . Nesta operação, a função g é aplicada ao resultado da aplicação da função f a x . Isto é, as funções f : X → Y e g : Y → Z são compostas para produzir uma função que mapeia X em X para g ( f ( x )) em Z .
Intuitivamente, se z é uma função de y , ey é uma função de x , então z é uma função de x . O resultante composto de função é indicado g ∘ f : X → Z , definida por ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x )) para todos os x em X . A notação g ∘ f é lida como " g círculo f ", " g redondo f ", " g sobre f ", " g composto com f ", " g após f ", " g após f ", " g de f " , " f , em seguida, g ", ou " g em f ", ou "a composição de g e f ". Intuitivamente, compor funções é um processo de encadeamento no qual a saída da função f alimenta a entrada da função g .
A composição de funções é um caso especial de composição de relações , às vezes também denotado por . Como resultado, todas as propriedades de composição de relações são verdadeiras para a composição de funções, embora a composição de funções tenha algumas propriedades adicionais.
A composição de funções é diferente da multiplicação de funções e tem propriedades bastante diferentes; em particular, a composição de funções não é comutativa .
Exemplos
- Composição de funções em um conjunto finito: Se f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} e g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , então g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , como mostrado em a figura.
- Composição de funções em um conjunto infinito : Se f : ℝ → ℝ (onde ℝ é o conjunto de todos os números reais ) é dado por f ( x ) = 2 x + 4 e g : ℝ → ℝ é dado por g ( x ) = x 3 , então:
- ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 , e
- ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3 .
- Se a altitude de um avião no tempo t for a ( t ) , e a pressão do ar na altitude x for p ( x ) , então ( p ∘ a ) ( t ) é a pressão ao redor do avião no tempo t .
Propriedades
A composição das funções é sempre associativa - uma propriedade herdada da composição das relações . Ou seja, se f , g e h são composíveis, então f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h . Como os parênteses não alteram o resultado, geralmente são omitidos.
Em sentido estrito, a composição g ∘ f só tem sentido se o codomínio de f for igual ao domínio de g ; em um sentido mais amplo, é suficiente que o primeiro seja um subconjunto do último. Além disso, muitas vezes é conveniente restringir tacitamente o domínio de f , de modo que f produza apenas valores no domínio de g . Por exemplo, a composição g ∘ f das funções f : ℝ → (−∞, + 9] definida por f ( x ) = 9 - x 2 e g : [0, + ∞) → ℝ definida por pode ser definida em o intervalo [−3, + 3] .
O funções g e f são ditos comutar uns com os outros, se g ∘ f = f ∘ g . A comutatividade é uma propriedade especial, alcançada apenas por funções particulares e, freqüentemente, em circunstâncias especiais. Por exemplo, | x | + 3 = | x + 3 | somente quando x ≥ 0 . A imagem mostra outro exemplo.
A composição das funções um-para-um (injetivas) é sempre um-para-um. Da mesma forma, a composição das funções onto (sobrejetivas) é sempre on. Segue-se que a composição de duas bijeções também é uma bijeção. A função inversa de uma composição (assumida como invertível) tem a propriedade de que ( f ∘ g ) −1 = g −1 ∘ f −1 .
Derivados de composições envolvendo funções diferenciáveis podem ser encontrados usando a regra da cadeia . Derivadas superiores de tais funções são fornecidas pela fórmula de Faà di Bruno .
Monóides de composição
Suponha que um tenha duas (ou mais) funções f : X → X , g : X → X tendo o mesmo domínio e codomínio; estes são freqüentemente chamados de transformações . Então, pode-se formar cadeias de transformações compostas juntas, como f ∘ f ∘ g ∘ f . Essas cadeias têm a estrutura algébrica de um monóide , chamada de monóide de transformação ou (muito mais raramente) de monóide de composição . Em geral, os monoides de transformação podem ter uma estrutura extremamente complicada. Um exemplo notável é a curva de Rham . O conjunto de todas as funções f : X → X é chamado de semigrupo transformação completa ou semigrupo simétrica em X . (Pode-se realmente definir dois semigrupos, dependendo de como se define a operação de semigrupo como a composição esquerda ou direita de funções.)
Se as transformações são bijetivas (e, portanto, invertíveis), então o conjunto de todas as combinações possíveis dessas funções forma um grupo de transformação ; e se diz que o grupo é gerado por essas funções. Um resultado fundamental na teoria dos grupos, o teorema de Cayley , essencialmente diz que qualquer grupo é na verdade apenas um subgrupo de um grupo de permutação (até o isomorfismo ).
O conjunto de todas as funções bijetivas f : X → X (chamadas permutações ) forma um grupo com relação à composição da função. Este é o grupo simétrico , às vezes também chamado de grupo de composição .
No semigrupo simétrico (de todas as transformações), também se encontra uma noção mais fraca e não única de inverso (chamada de pseudoinverso) porque o semigrupo simétrico é um semigrupo regular .
Poderes funcionais
Se Y ⊆ X , então f : X → Y pode compor consigo mesmo; isso às vezes é denotado como f 2 . Isso é:
- ( f ∘ f ) (x) = f ( f ( x )) = f 2 ( x )
- ( f ∘ f ∘ f ) (x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
- ( f ∘ f ∘ f ∘ f ) (x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )
Mais geralmente, para qualquer número natural n ≥ 2 , o n th funcional de energia pode ser definida indutivamente por f n = f ∘ f n -1 = f n -1 ∘ f , uma notação introduzido por Hans Heinrich Bürmann e John Frederick William Herschel . A composição repetida de tal função com ela mesma é chamada de função iterada .
- Por convenção, f 0 é definido como o mapa de identidade on f domínio 's, id X .
- Se Y = X e f : X → X admite uma função inversa f −1 , potências funcionais negativas f - n são definidas para n > 0 como a potência negada da função inversa: f - n = ( f −1 ) n .
Nota: Se f assume seus valores em um anel (em particular para f real ou de valor complexo ), há um risco de confusão, pois f n também pode representar o produto n vezes de f , por exemplo, f 2 ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . Para funções trigonométricas, geralmente o último é usado, pelo menos para expoentes positivos. Por exemplo, em trigonometria , esta notação sobrescrita representa a exponenciação padrão quando usada com funções trigonométricas : sin 2 ( x ) = sin ( x ) · sin ( x ) . No entanto, para expoentes negativos (especialmente −1), geralmente se refere à função inversa, por exemplo, tan −1 = arctan ≠ 1 / tan .
Em alguns casos, quando, para uma dada função f , a equação g ∘ g = f tem uma solução única g , essa função pode ser definida como a raiz quadrada funcional de f , então escrita como g = f 1/2 .
Mais geralmente, quando g n = f tem uma solução única para algum número natural n > 0 , então f m / n pode ser definido como g m .
Sob restrições adicionais, essa ideia pode ser generalizada de modo que a contagem de iterações se torne um parâmetro contínuo; neste caso, tal sistema é denominado fluxo , especificado por meio de soluções da equação de Schröder . Funções e fluxos iterados ocorrem naturalmente no estudo de fractais e sistemas dinâmicos .
Para evitar ambiguidade, alguns matemáticos escolher usar ∘ para designar o sentido de composição, escrita f ∘ n ( x ) para o n -simo iteração da função f ( x ) , como em, por exemplo, f ∘3 ( x ) significado f ( f ( f ( x ))) . Para o mesmo propósito, f [ n ] ( x ) foi usado por Benjamin Peirce enquanto Alfred Pringsheim e Jules Molk sugeriram n f ( x ) ao invés.
Notações alternativas
Muitos matemáticos, particularmente na teoria dos grupos , omitem o símbolo de composição, escrevendo gf para g ∘ f .
Em meados do século 20, alguns matemáticos decidiram que escrever " g ∘ f " para significar "primeiro aplique f , depois aplique g " era muito confuso e decidiram alterar as notações. Eles escrevem " xf " para " f ( x ) " e " ( xf ) g " para " g ( f ( x )) ". Isso pode ser mais natural e parecer mais simples do que escrever funções à esquerda em algumas áreas - em álgebra linear , por exemplo, quando x é um vetor linha e f e g denotam matrizes ea composição é de multiplicação de matrizes . Essa notação alternativa é chamada de notação pós-fixada . A ordem é importante porque a composição da função não é necessariamente comutativa (por exemplo, multiplicação de matrizes). As transformações sucessivas aplicando e compondo à direita concordam com a seqüência de leitura da esquerda para a direita.
Os matemáticos que usam a notação pós-fixada podem escrever " fg ", significando primeiro aplicar f e depois aplicar g , de acordo com a ordem em que os símbolos ocorrem na notação pós-fixada, tornando a notação " fg " ambígua. Os cientistas da computação podem escrever " f ; g " para isso, eliminando assim a ambigüidade da ordem de composição. Para distinguir o operador de composição à esquerda de um ponto-e-vírgula de texto, na notação Z o caractere ⨾ é usado para a composição da relação à esquerda . Como todas as funções são relações binárias , é correto usar o ponto-e-vírgula [fat] também para a composição da função (consulte o artigo sobre composição de relações para obter mais detalhes sobre esta notação).
Operador de composição
Dada uma função g , o operador de composição C g é definido como aquele operador que mapeia funções para funções como
Os operadores de composição são estudados no campo da teoria dos operadores .
Em linguagens de programação
A composição de funções aparece de uma forma ou de outra em várias linguagens de programação .
Funções multivariadas
A composição parcial é possível para funções multivariadas . A função resultante quando algum argumento x i da função f é substituído pela função g chama-se uma composição de f e g em alguns contextos de engenharia informática, e é denotado f | x i = g
Quando g é uma constante b simples , a composição degenera em uma valoração (parcial), cujo resultado também é conhecido como restrição ou cofator .
Em geral, a composição de funções multivariadas pode envolver várias outras funções como argumentos, como na definição de função recursiva primitiva . Dada f , uma função n -ary e n funções m -ary g 1 , ..., g n , a composição de f com g 1 , ..., g n , é a função m -ary
- .
Isso às vezes é chamado de composto generalizado ou superposição de f com g 1 , ..., g n . A composição parcial em apenas um argumento mencionado anteriormente pode ser instanciada a partir deste esquema mais geral, definindo todas as funções de argumento, exceto uma, como funções de projeção adequadamente escolhidas . Aqui g 1 , ..., g n pode ser visto como um único vetor / função avaliada por tupla neste esquema generalizado, caso em que esta é precisamente a definição padrão de composição de função.
Um conjunto de operações financeiras em algum conjunto base X é chamado de clone se contiver todas as projeções e for fechado sob composição generalizada. Observe que um clone geralmente contém operações de várias áreas . A noção de comutação também encontra uma generalização interessante no caso multivariado; diz-se que uma função f de aridade n comuta com uma função g de aridade m se f é um homomorfismo que preserva g , e vice-versa, isto é:
- .
Uma operação unária sempre comuta consigo mesma, mas esse não é necessariamente o caso de uma operação binária (ou superior). Uma operação binária (ou superior) que comuta consigo mesma é chamada de medial ou entrópica .
Generalizações
A composição pode ser generalizada para relações binárias arbitrárias . Se R ⊆ X x Y e S ⊆ Y × Z são duas relações binárias, em seguida, a sua composição R ∘ S é a relação como definido {( x , z ) ∈ X × Z : ∃ y ∈ Y . ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ S } . Considerando uma função como um caso especial de uma relação binária (nomeadamente relações funcionais ), a composição de funções satisfaz a definição de composição de relações. Um pequeno círculo R ∘ S foi usado para a notação infixa de composição de relações , bem como funções. Quando usado para representar a composição de funções , no entanto, a sequência de texto é invertida para ilustrar as diferentes sequências de operação de acordo.
A composição é definida da mesma forma para funções parciais e o teorema de Cayley tem seu análogo chamado teorema de Wagner-Preston .
A categoria de conjuntos com funções como morfismos é a categoria prototípica . Os axiomas de uma categoria são de fato inspirados nas propriedades (e também na definição) da composição da função. As estruturas dadas pela composição são axiomatizadas e generalizadas na teoria das categorias com o conceito de morfismo como a substituição de funções teórico-categorial. A ordem inversa de composição na fórmula ( f ∘ g ) −1 = ( g −1 ∘ f −1 ) se aplica à composição de relações usando relações inversas e, portanto, na teoria dos grupos . Essas estruturas formam categorias de punhal .
Tipografia
O símbolo de composição ∘ é codificado como
U + 2218 ∘ RING OPERATOR (HTML ∘
· ∘, ∘
); consulte o artigo sobre o símbolo de grau para caracteres Unicode de aparência semelhante. Em TeX , está escrito \circ
.
Veja também
- Cobweb plot - uma técnica gráfica para composição funcional
- Lógica combinatória
- Anel de composição , uma axiomatização formal da operação de composição
- Fluxo (matemática)
- Composição de funções (ciência da computação)
- Função de variável aleatória , distribuição de uma função de uma variável aleatória
- Decomposição funcional
- Raiz quadrada funcional
- Função de ordem superior
- Composições infinitas de funções analíticas
- Função iterada
- Cálculo lambda
Notas
Referências
links externos
- "Composite function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- " Composition of Functions " por Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project , 2007.