Comprimento de onda Compton - Compton wavelength

O comprimento de onda Compton é uma propriedade da mecânica quântica de uma partícula . O comprimento de onda Compton de uma partícula é igual ao comprimento de onda de um fóton cuja energia é igual à massa dessa partícula (ver equivalência massa-energia ). Foi introduzido por Arthur Compton em sua explicação do espalhamento de fótons por elétrons (um processo conhecido como espalhamento Compton ).

O comprimento de onda Compton padrão, λ , de uma partícula é dado por,

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {mc}} \}$

enquanto sua frequência é dada por,

${\ displaystyle f = {\ frac {mc ^ {2}} {h}}}$

em que h é a constante de Planck , m é o de partícula massa em repouso , e c é a velocidade da luz . O significado desta fórmula é mostrado na derivação da fórmula de deslocamento de Compton . É equivalente ao comprimento de onda de de Broglie com . ${\ displaystyle v = c}$

O valor CODATA 2018 para o comprimento de onda Compton do elétron é2,426 310 238 67 (73) × 10 ⁻¹²  m . Outras partículas têm diferentes comprimentos de onda Compton.

Comprimento de onda de Compton reduzido

Quando o comprimento de onda Compton é dividido por 2 π , obtém-se o comprimento de onda Compton "reduzido" ƛ ( lambda barrado ), ou seja, o comprimento de onda Compton para 1 radiano em vez de 2 π radianos:

ƛ = λ/2 π = ħ/mc,

onde ħ é a constante de Planck "reduzida" .

Papel nas equações para partículas massivas

O comprimento de onda de Compton reduzido inverso é uma representação natural da massa na escala quântica e, como tal, aparece em muitas das equações fundamentais da mecânica quântica. O comprimento de onda de Compton reduzido aparece na equação relativística de Klein-Gordon para uma partícula livre:

${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} } \ psi = \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ psi.}$

Ele aparece na equação de Dirac (o seguinte é uma forma explicitamente covariante que emprega a convenção de soma de Einstein ):

${\ displaystyle -i \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ psi + \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) \ psi = 0.}$

O comprimento de onda de Compton reduzido também aparece na equação de Schrödinger , embora sua presença seja obscurecida nas representações tradicionais da equação. A seguir está a representação tradicional da equação de Schrödinger para um elétron em um átomo semelhante ao hidrogênio :

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {Ze ^ {2}} {r}} \ psi.}$

Dividindo e reescrevendo em termos da constante de estrutura fina , obtém-se: ${\ displaystyle \ hbar c}$

${\ displaystyle {\ frac {i} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ hbar} {mc}} \ right) \ nabla ^ {2} \ psi - {\ frac {\ alpha Z} {r}} \ psi.}$

Distinção entre reduzido e não reduzido

O comprimento de onda de Compton reduzido é uma representação natural da massa na escala quântica. Equações que pertencem à massa inercial, como Klein-Gordon e Schrödinger, usam o comprimento de onda Compton reduzido. O comprimento de onda Compton não reduzido é uma representação natural da massa que foi convertida em energia. Equações que pertencem à conversão de massa em energia, ou aos comprimentos de onda dos fótons interagindo com a massa, usam o comprimento de onda Compton não reduzido.

Uma partícula de massa m tem uma energia de repouso de E = mc ² . O comprimento de onda Compton não reduzido para esta partícula é o comprimento de onda de um fóton com a mesma energia. Para fótons de frequência f , a energia é dada por

${\ displaystyle E = hf = {\ frac {hc} {\ lambda}} = mc ^ {2}, \}$

que produz a fórmula de comprimento de onda Compton padrão ou não reduzida se resolvida para λ .

Limitação na medição

O comprimento de onda Compton expressa uma limitação fundamental na medição da posição de uma partícula, levando em consideração a mecânica quântica e a relatividade especial .

Essa limitação depende da massa m da partícula. Para ver como, observe que podemos medir a posição de uma partícula refletindo a luz nela - mas medir a posição com precisão requer luz de comprimento de onda curto. A luz com comprimento de onda curto consiste em fótons de alta energia. Se a energia desses fótons ultrapassar mc ² , ao atingir a partícula cuja posição está sendo medida, a colisão pode render energia suficiente para criar uma nova partícula do mesmo tipo. Isso torna discutível a questão da localização da partícula original.

Este argumento também mostra que o comprimento de onda Compton reduzido é o ponto de corte abaixo do qual a teoria quântica de campos - que pode descrever a criação e aniquilação de partículas - se torna importante. O argumento acima pode ser um pouco mais preciso da seguinte maneira. Suponha que desejamos medir a posição de uma partícula com uma precisão Δ x . Então, a relação de incerteza para posição e momento diz que

${\ displaystyle \ Delta x \, \ Delta p \ geq {\ frac {\ hbar} {2}},}$

então a incerteza no momento da partícula satisfaz

${\ displaystyle \ Delta p \ geq {\ frac {\ hbar} {2 \ Delta x}}.}$

Usando a relação relativística entre momento e energia E ² = ( pc ) ² + ( mc ² ) ² , quando Δ p excede mc então a incerteza na energia é maior que mc ² , que é energia suficiente para criar outra partícula do mesmo tipo . Mas devemos excluir esta maior incerteza energética. Fisicamente, isso é excluído pela criação de uma ou mais partículas adicionais para manter a incerteza do momento de cada partícula em ou abaixo de mc . Em particular, a incerteza mínima é quando o fóton espalhado tem energia limite igual à energia de observação incidente. Conclui-se que existe um mínimo fundamental para Δ x :

${\ displaystyle \ Delta x \ geq {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ hbar} {mc}} \ right).}$

Assim, a incerteza na posição deve ser maior que a metade do comprimento de onda Compton reduzido ħ / mc .

O comprimento de onda Compton pode ser contrastado com o comprimento de onda de de Broglie , que depende do momento de uma partícula e determina o corte entre partícula e comportamento de onda na mecânica quântica . Notavelmente, a derivação de De Broglie do comprimento de onda de De Broglie é baseada na suposição de que uma partícula observada está associada a um fenômeno periódico da frequência Compton da partícula.

Relacionamento com outras constantes

Comprimentos atômicos típicos, números de onda e áreas em física podem estar relacionados ao comprimento de onda Compton reduzido para o elétron ( )${\ textstyle {\ bar {\ lambda}} _ {\ text {e}} \ equiv {\ tfrac {\ lambda _ {\ text {e}}} {2 \ pi}} \ simeq 386 ~ {\ textrm { fm}}}$ e à constante de estrutura fina eletromagnética ( )${\ textstyle \ alpha \ simeq {\ tfrac {1} {137}}}$ .

O raio de Bohr está relacionado ao comprimento de onda Compton por:

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {\ alpha}} \ left ({\ frac {\ lambda _ {\ text {e}}} {2 \ pi}} \ right) = {\ frac {{\ bar {\ lambda}} _ {\ text {e}}} {\ alpha}} \ simeq 137 \ times {\ bar {\ lambda}} _ {\ text {e}} \ simeq 5,29 \ vezes 10 ^ {4} ~ {\ textrm {fm}}}$

O raio do elétron clássico é cerca de 3 vezes maior do que o raio do próton e está escrito:

${\ displaystyle r _ {\ text {e}} = \ alpha \ left ({\ frac {\ lambda _ {\ text {e}}} {2 \ pi}} \ right) = \ alpha {\ bar {\ lambda }} _ {\ text {e}} \ simeq {\ frac {{\ bar {\ lambda}} _ {\ text {e}}} {137}} \ simeq 2.82 ~ {\ textrm {fm}}}$

A constante de Rydberg , com dimensões de número de onda linear , é escrita:

${\ displaystyle {\ frac {1} {R _ {\ infty}}} = {\ frac {2 \ lambda _ {\ text {e}}} {\ alpha ^ {2}}} \ simeq 91.1 ~ {\ textrm {nm}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi R _ {\ infty}}} = {\ frac {2} {\ alpha ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ lambda _ {\ text { e}}} {2 \ pi}} \ right) = 2 {\ frac {{\ bar {\ lambda}} _ {\ text {e}}} {\ alpha ^ {2}}} \ simeq 14,5 ~ { \ textrm {nm}}}$

Isso produz a sequência:

${\ displaystyle r _ {\ text {e}} = \ alpha {\ bar {\ lambda}} _ {\ text {e}} = \ alpha ^ {2} a_ {0} = \ alpha ^ {3} {\ frac {1} {4 \ pi R _ {\ infty}}}}$.

Para férmions , o comprimento de onda Compton reduzido define a seção transversal das interações. Por exemplo, a seção transversal para espalhamento Thomson de um fóton de um elétron é igual a

${\ displaystyle \ sigma _ {T} = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ alpha ^ {2} {\ bar {\ lambda}} _ {\ text {e}} ^ {2} \ simeq 66,5 ~ {\ textrm {fm}} ^ {2},}$

que é aproximadamente igual à área da seção transversal de um núcleo de ferro-56. Para bósons de calibre , o comprimento de onda Compton define o alcance efetivo da interação Yukawa : como o fóton não tem massa, o eletromagnetismo tem alcance infinito.

A massa de Planck é a ordem de massa para a qual o comprimento de onda de Compton e o raio de Schwarzschild são iguais, quando seu valor é próximo ao comprimento de Planck ( ). O raio de Schwarzschild é proporcional à massa, enquanto o comprimento de onda Compton é proporcional ao inverso da massa. A massa e o comprimento do Planck são definidos por: ${\ displaystyle r _ {\ rm {S}} = 2GM / c ^ {2}}$${\ displaystyle l _ {\ rm {P}}}$

${\ displaystyle m _ {\ rm {P}} = {\ sqrt {\ hbar c / G}}}$

${\ displaystyle l _ {\ rm {P}} = {\ sqrt {\ hbar G / c ^ {3}}}.}$

Veja também

• comprimento de onda de de Broglie

Referências

links externos

• Escalas de comprimento em física: o comprimento de onda de Compton
• BG Sidharth, escala de Planck à escala de Compton , Instituto Internacional de Matemática Aplicável, Hyderabad (Índia) e Udine (Itália), agosto de 2006.