Linhas simultâneas - Concurrent lines

As linhas em um plano ou espaço de dimensão superior são consideradas concorrentes se se cruzarem em um único ponto . Eles estão em contraste com as linhas paralelas .

Exemplos

Triângulos

Em um triângulo , quatro tipos básicos de conjuntos de linhas concorrentes são altitudes , bissetores de ângulo , medianas e bissetores perpendiculares :

  • As altitudes de um triângulo partem de cada vértice e encontram o lado oposto em um ângulo reto . O ponto onde as três altitudes se encontram é o ortocentro .
  • As bissetoras dos ângulos são raios que partem de cada vértice do triângulo e dividem o ângulo associado . Todos eles se encontram no incentivo .
  • As medianas conectam cada vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto. As três medianas se encontram no centróide .
  • Bissetores perpendiculares são linhas saindo dos pontos médios de cada lado de um triângulo em ângulos de 90 graus. As três bissetoras perpendiculares se encontram no circuncentro .

Outros conjuntos de linhas associados a um triângulo também são concorrentes. Por exemplo:

  • Qualquer mediana (que é necessariamente uma bissetriz da área do triângulo ) é concorrente com duas outras bissetoras de área, cada uma das quais paralela a um lado.
  • Um cutelo de um triângulo é um segmento de linha que corta o perímetro do triângulo e tem um ponto final no ponto médio de um dos três lados. Os três cutelos coincidem no centro do círculo de Spieker , que é o incircle do triângulo medial .
  • Um divisor de um triângulo é um segmento de linha que tem um ponto final em um dos três vértices do triângulo e divide o perímetro ao meio. Os três divisores coincidem no ponto Nagel do triângulo.
  • Qualquer linha através de um triângulo que divide a área do triângulo e seu perímetro ao meio passa pelo incentivo do triângulo , e cada triângulo tem uma, duas ou três dessas linhas. Assim, se houver três deles, eles concordam no incentivo.
  • O ponto Tarry de um triângulo é o ponto de simultaneidade das linhas através dos vértices do triângulo perpendiculares aos lados correspondentes do primeiro triângulo de Brocard do triângulo .
  • O ponto Schiffler de um triângulo é o ponto de convergência das linhas de Euler de quatro triângulos: o triângulo em questão e os três triângulos que compartilham cada um dois vértices com ele e têm seu incentivo como o outro vértice.
  • Os pontos Napoleão e generalizações deles são pontos de concorrência. Por exemplo, o primeiro ponto Napoleão é o ponto de simultaneidade das três linhas, cada uma de um vértice até o centróide do triângulo equilátero desenhado no exterior do lado oposto do vértice. Uma generalização dessa noção é o ponto Jacobi .
  • O ponto de Longchamps é o ponto de convergência de várias linhas com a linha de Euler .
  • Três linhas, cada uma formada pelo desenho de um triângulo equilátero externo em um dos lados de um determinado triângulo e conectando o novo vértice ao vértice oposto do triângulo original, são concorrentes em um ponto denominado primeiro centro isogonal . No caso em que o triângulo original não tem ângulo maior que 120 °, este ponto também é o ponto de Fermat .
  • O ponto Apolônio é o ponto de convergência de três linhas, cada uma das quais liga um ponto de tangência do círculo para que a do triângulo excircles são internamente tangente, ao vértice oposto do triângulo.

Quadriláteros

  • Os dois bimedianos de um quadrilátero (segmentos que unem pontos médios de lados opostos) e o segmento de linha que une os pontos médios das diagonais são concorrentes e são todos divididos ao meio por seu ponto de intersecção.
  • Em um quadrilátero tangencial , as quatro bissetoras do ângulo coincidem no centro do incircle .
  • Outras simultaneidades de um quadrilátero tangencial são fornecidas aqui .
  • Em um quadrilátero cíclico , quatro segmentos de linha, cada um perpendicular a um lado e passando pelo ponto médio do lado oposto , são concorrentes. Esses segmentos de linha são chamados de maltitudes , que é uma abreviatura de altitude do ponto médio. Seu ponto comum é chamado de anticentro .
  • Um quadrilátero convexo é ex-tangencial se e somente se houver seis bissetores de ângulos simultâneos: os bissetores do ângulo interno em dois ângulos de vértice opostos, os bissetores do ângulo externo nos outros dois ângulos de vértice e os bissetores do ângulo externo nos ângulos formados onde o extensões de lados opostos se cruzam.

Hexágonos

  • Se os lados sucessivos de um hexágono cíclico são a , b , c , d , e , f , então as três diagonais principais coincidem em um único ponto se e somente se ace = bdf .
  • Se um hexágono tem uma cônica inscrita , então, pelo teorema de Brianchon, suas diagonais principais são concorrentes (como na imagem acima).
  • Linhas concorrentes surgem no dual do teorema do hexágono de Pappus .
  • Para cada lado de um hexágono cíclico, estenda os lados adjacentes até sua interseção, formando um triângulo externo ao lado dado. Então, os segmentos que conectam os circuncentros de triângulos opostos são concorrentes.

Polígonos regulares

  • Se um polígono regular tem um número par de lados, as diagonais conectando vértices opostos são concorrentes no centro do polígono.

Círculos

Elipses

  • Todas as bissetoras de área e bissetoras de perímetro de uma elipse são simultâneas no centro da elipse.

Hipérboles

  • Em uma hipérbole, os seguintes são concorrentes: (1) um círculo que passa pelos focos da hipérbole e é centralizado no centro da hipérbole; (2) qualquer uma das linhas que são tangentes à hipérbole nos vértices; e (3) qualquer uma das assíntotas da hipérbole.
  • Os seguintes também são concorrentes: (1) o círculo que está centrado no centro da hipérbole e que passa pelos vértices da hipérbole; (2) qualquer diretriz; e (3) qualquer uma das assíntotas.

Tetraedros

Álgebra

De acordo com o teorema de Rouché-Capelli , um sistema de equações é consistente se e somente se a classificação da matriz de coeficiente for igual à classificação da matriz aumentada (a matriz de coeficiente aumentada com uma coluna de termos interceptados), e o sistema tem uma solução única se e somente se essa classificação comum for igual ao número de variáveis. Assim, com duas variáveis, as k retas no plano, associadas a um conjunto de k equações, são concorrentes se e somente se a classificação da matriz de coeficientes k × 2 e a classificação da matriz aumentada k × 3 forem ambas 2. Nesse Caso apenas duas das k equações sejam independentes , e o ponto de simultaneidade pode ser encontrado resolvendo quaisquer duas equações mutuamente independentes simultaneamente para as duas variáveis.

Geometria projetiva

Na geometria projetiva , em duas dimensões, a simultaneidade é o dual da colinearidade ; em três dimensões, a simultaneidade é o dual da coplanaridade .

Referências

links externos