Pontos concíclicos - Concyclic points

Bissetores perpendiculares simultâneos de acordes entre pontos concíclicos

Quatro pontos concíclicos formando um quadrilátero cíclico , mostrando dois ângulos iguais

Em geometria , um conjunto de pontos é considerado concíclico (ou cocíclico ) se eles estiverem em um círculo comum . Todos os pontos concíclicos estão à mesma distância do centro do círculo. Três pontos no plano que não caem todos em uma linha reta são concíclicos, mas quatro ou mais desses pontos no plano não são necessariamente concíclicos.

Bissetores

Em geral, o centro O de um círculo no qual estão os pontos P e Q deve ser tal que OP e OQ tenham distâncias iguais. Portanto, O deve estar na bissetriz perpendicular do segmento de linha PQ . Para n pontos distintos existem n ( n  - 1) / 2 bissectrizes e a condição concyclic é que todos eles se encontram num ponto, o centro S .

Polígonos cíclicos

Triângulos

Os vértices de cada triângulo caem em um círculo. (Por causa disso, alguns autores definem "concíclico" apenas no contexto de quatro ou mais pontos em um círculo.) O círculo que contém os vértices de um triângulo é chamado de círculo circunscrito do triângulo. Vários outros conjuntos de pontos definidos a partir de um triângulo também são concíclicos, com círculos diferentes; veja o círculo de nove pontos e o teorema de Lester .

O raio do círculo em que se encontra um conjunto de pontos é, por definição, o raio da circunferência de qualquer triângulo com vértices em quaisquer três desses pontos. Se as distâncias aos pares entre três dos pontos são a , b e c , então o raio do círculo é

${\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}} {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c ) (a + bc)}}}.}$

A equação da circunferência de um triângulo e as expressões para o raio e as coordenadas do centro do círculo, em termos das coordenadas cartesianas dos vértices, são fornecidas aqui e aqui .

Quadriláteros

Um quadrilátero ABCD com vértices concíclicos é denominado quadrilátero cíclico ; isso acontece se e somente se (o teorema do ângulo inscrito ), que é verdadeiro se e somente se os ângulos opostos dentro do quadrilátero são suplementares . Um quadrilátero cíclico com lados sucessivos a , b , c , d e semiperímetro s = ( a + b + c + d ) / 2 tem seu perímetro dado por ${\ displaystyle \ angle CAD = \ angle CBD}$

${\ displaystyle R = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)} {(sa) (sb) (sc) (sd )}}},}$

uma expressão derivada do matemático indiano Vatasseri Parameshvara no século XV.

Pelo teorema de Ptolomeu , se um quadrilátero é dado pelas distâncias aos pares entre seus quatro vértices A , B , C e D em ordem, então ele é cíclico se e somente se o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos :

${\ displaystyle AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD.}$

Se duas linhas, uma contendo o segmento AC e a outra contendo o segmento BD , se cruzam em X , então os quatro pontos A , B , C , D são concíclicos se e somente se

${\ displaystyle \ displaystyle AX \ cdot XC = BX \ cdot XD.}$

A interseção X pode ser interna ou externa ao círculo. Este teorema é conhecido como potência de um ponto .

Polígonos

Mais geralmente, um polígono no qual todos os vértices são concíclicos é chamado de polígono cíclico . Um polígono é cíclico se e somente se as bissetoras perpendiculares de suas bordas são simultâneas .

Variações

Alguns autores consideram os pontos colineares (conjuntos de pontos todos pertencentes a uma única linha) um caso especial de pontos concíclicos, com a linha sendo vista como um círculo de raio infinito. Esse ponto de vista é útil, por exemplo, ao estudar a inversão por meio de um círculo e as transformações de Möbius , pois essas transformações preservam a conciclicidade dos pontos apenas neste sentido estendido.

No plano complexo (formado exibindo as partes real e imaginária de um número complexo como os x e y coordenadas cartesianas do plano), concyclicity tem uma formulação particularmente simples: quatro pontos no plano complexo são ou concyclic ou colineares se e somente se sua razão cruzada for um número real .

Outras propriedades

Um conjunto de cinco ou mais pontos é concíclico se e somente se cada subconjunto de quatro pontos for concíclico. Essa propriedade pode ser considerada um análogo da conciclicidade da propriedade Helly de conjuntos convexos.

Exemplos

Triângulos

Em qualquer triângulo, todos os nove pontos a seguir são concíclicos no que é chamado de círculo de nove pontos : os pontos médios das três arestas, os pés das três altitudes e os pontos a meio caminho entre o ortocentro e cada um dos três vértices.

O teorema de Lester afirma que, em qualquer triângulo escaleno , os dois pontos de Fermat , o centro de nove pontos e o circuncentro são concíclicos.

Se as linhas são traçadas através do ponto Lemoine paralelas aos lados de um triângulo, então os seis pontos de intersecção das linhas e os lados do triângulo são concíclicos, no que é chamado de círculo Lemoine .

O círculo de van Lamoen associado a qualquer triângulo contém os circuncentros dos seis triângulos que são definidos internamente por suas três medianas . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

O circuncentro de um triângulo , seu ponto Lemoine e seus primeiros dois pontos Brocard são concíclicos, com o segmento do circuncentro ao ponto Lemoine sendo um diâmetro .

Outros polígonos

Um polígono é definido como cíclico se todos os seus vértices forem concíclicos. Por exemplo, todos os vértices de um polígono regular de qualquer número de lados são concíclicos.

Um polígono tangencial é aquele que tem um círculo inscrito tangente a cada lado do polígono; esses pontos de tangência são, portanto, concíclicos no círculo inscrito.

Um quadrilátero convexo é ortogonal (tem diagonais perpendiculares) se e somente se os pontos médios dos lados e os pés das quatro altitudes forem oito pontos concíclicos, no que é chamado de círculo de oito pontos .

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Concyclic" . MathWorld .
• Four Concyclic Points de Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .