Momento angular - Angular momentum

Momento angular
Gyroskop.jpg
Este giroscópio permanece em pé enquanto gira devido à conservação de seu momento angular.
Símbolos comuns
eu
Em unidades de base SI kg m 2 s -1
Conservado ? sim
Derivações de
outras quantidades
L = I ω = r × p
Dimensão M L 2 T −1

Em física , o momento angular (raramente, momento de momento ou momento rotacional ) é o equivalente rotacional do momento linear . É uma quantidade importante na física porque é uma quantidade conservada - o momento angular total de um sistema fechado permanece constante.

Em três dimensões , o momento angular de uma partícula pontual é um pseudovetor r × p , o produto vetorial do vetor de posição r da partícula (em relação a alguma origem) e seu vetor de momento ; o último é p = m v na mecânica newtoniana. Ao contrário do momento, o momento angular depende de onde a origem é escolhida, uma vez que a posição da partícula é medida a partir dela.

Assim como para a velocidade angular , existem dois tipos especiais de momento angular de um objeto: o momento angular de rotação é o momento angular em torno do centro de massa do objeto , enquanto o momento angular orbital é o momento angular em torno de um centro de rotação escolhido. O momento angular total é a soma do spin e dos momentos angulares orbitais. O vetor de momento angular orbital de uma partícula pontual é sempre paralelo e diretamente proporcional ao seu vetor de velocidade angular orbital ω , onde a constante de proporcionalidade depende tanto da massa da partícula quanto de sua distância da origem. O vetor de momento angular de rotação de um corpo rígido é proporcional, mas nem sempre paralelo ao vetor de velocidade angular de rotação Ω , tornando a constante de proporcionalidade um tensor de segunda categoria, em vez de um escalar.

O momento angular é uma quantidade extensa; isto é, o momento angular total de qualquer sistema composto é a soma dos momentos angulares de suas partes constituintes. Para um corpo rígido contínuo ou um fluido, o momento angular total é o volume integral da densidade do momento angular (isto é, momento angular por unidade de volume no limite conforme o volume encolhe a zero) em todo o corpo.

O torque pode ser definido como a taxa de variação do momento angular, análoga à força . O torque externo líquido em qualquer sistema é sempre igual ao torque total no sistema; em outras palavras, a soma de todos os torques internos de qualquer sistema é sempre 0 (este é o análogo rotacional da Terceira Lei de Newton ). Portanto, para um sistema fechado (onde não há torque externo líquido), o torque total no sistema deve ser 0, o que significa que o momento angular total do sistema é constante. A conservação do momento angular ajuda a explicar muitos fenômenos observados, por exemplo, o aumento da velocidade de rotação de um patinador artístico girando conforme os braços do patinador são contraídos, as altas taxas de rotação das estrelas de nêutrons , o efeito Coriolis e a precessão dos giroscópios . Em geral, a conservação limita o movimento possível de um sistema, mas não o determina exclusivamente.

Na mecânica quântica , o momento angular (como outras quantidades) é expresso como um operador , e suas projeções unidimensionais têm autovalores quantizados . O momento angular está sujeito ao princípio da incerteza de Heisenberg , o que implica que, a qualquer momento, apenas uma projeção (também chamada de "componente") pode ser medida com precisão definida; os outros dois permanecem incertos. Por causa disso, o eixo de rotação de uma partícula quântica é indefinido. Partículas quânticas fazer possuir um tipo de momento angular não-orbital chamado de "spin", mas esse momento angular não corresponde a um movimento de rotação.

Definição em mecânica clássica

Momento angular orbital em duas dimensões

A velocidade da partícula m em relação à origem O pode ser resolvida em componentes paralelos a ( v ) e perpendiculares a ( v ) o vetor raio r . O momento angular de m é proporcional à componente perpendicular v da velocidade, ou equivalentemente, à distância perpendicular r da origem.

O momento angular é uma quantidade vetorial (mais precisamente, um pseudovetor ) que representa o produto da inércia rotacional de um corpo e da velocidade rotacional (em radianos / s) em torno de um determinado eixo. No entanto, se a trajetória da partícula está em um único plano , é suficiente descartar a natureza vetorial do momento angular e tratá-la como um escalar (mais precisamente, um pseudoescalar ). O momento angular pode ser considerado um análogo rotacional do momento linear . Assim, onde o momento linear p é proporcional à massa m e à velocidade linear v ,

o momento angular L é proporcional ao momento de inércia I e à velocidade angular ω medida em radianos por segundo.

Ao contrário da massa, que depende apenas da quantidade de matéria, o momento de inércia também depende da posição do eixo de rotação e da forma da matéria. Ao contrário da velocidade linear, que não depende da escolha da origem, a velocidade angular orbital é sempre medida em relação a uma origem fixa. Portanto, estritamente falando, L deve ser referido como o momento angular relativo a esse centro .

Porque para uma única partícula e para movimento circular, o momento angular pode ser expandido e reduzido a,

o produto do raio de rotação r pelo momento linear da partícula , onde neste caso é a velocidade linear (tangencial) equivalente no raio ( ).

Esta análise simples também pode ser aplicada ao movimento não circular se apenas o componente do movimento que é perpendicular ao vetor do raio for considerado. Nesse caso,

onde está o componente perpendicular do movimento. Expandindo, reorganizando e reduzindo, o momento angular também pode ser expresso,

onde é o comprimento do braço de momento , uma linha descida perpendicularmente da origem ao caminho da partícula. É a esta definição, (comprimento do braço do momento) × (momento linear) que o termo momento do momento se refere.

Escalar - momento angular da mecânica Lagrangiana

Outra abordagem é definir o momento angular como o momento conjugado (também chamado de momento canônico ) da coordenada angular expressa na Lagrangiana do sistema mecânico. Considere um sistema mecânico com uma massa restrita a se mover em um círculo de raio na ausência de qualquer campo de força externo. A energia cinética do sistema é

E a energia potencial é

Então o Lagrangiano é

O momento generalizado "canonicamente conjugado com" a coordenada é definido por

Momento angular orbital em três dimensões

Relação entre os vetores força ( F ), torque ( τ ), momento ( p ) e momento angular ( L ) em um sistema rotativo. r é o vetor posição .

Para definir completamente o momento angular orbital em três dimensões , é necessário saber a taxa na qual o vetor posição varre o ângulo, a direção perpendicular ao plano instantâneo de deslocamento angular e a massa envolvida, bem como como essa massa é distribuída no espaço. Ao reter essa natureza vetorial de momento angular, a natureza geral das equações também é mantida e pode descrever qualquer tipo de movimento tridimensional em torno do centro de rotação - circular , linear ou outro. Na notação vetorial , o momento angular orbital de uma partícula pontual em movimento sobre a origem pode ser expresso como:

Onde

Isso pode ser expandido, reduzido e, pelas regras da álgebra vetorial , reorganizado:

que é o produto vetorial do vetor posição e o momento linear da partícula. Pela definição do produto vetorial , o vetor é perpendicular a ambos e . Ele é direcionado perpendicularmente ao plano de deslocamento angular, conforme indicado pela regra da mão direita - de modo que a velocidade angular é vista como anti-horária a partir da cabeça do vetor. Por outro lado, o vetor define o plano em que e se encontram.

Ao definir um vetor unitário perpendicular ao plano de deslocamento angular, resulta uma velocidade angular escalar , onde

e
onde é o componente perpendicular do movimento, como acima.

As equações escalares bidimensionais da seção anterior podem, portanto, receber a direção:

e para movimento circular, onde todo o movimento é perpendicular ao raio .

No sistema de coordenadas esféricas, o vetor de momento angular se expressa como

Momento angular orbital em quatro ou mais dimensões

O momento angular em dimensões superiores pode ser definido pela aplicação do teorema de Noether a grupos de rotação de ordem superior. A generalização além de três dimensões é melhor tratada usando formas diferenciais .

Analogia ao momento linear

O momento angular pode ser descrito como o análogo rotacional do momento linear . Como o momento linear, envolve elementos de massa e deslocamento . Ao contrário do momento linear, também envolve elementos de posição e forma .

Muitos problemas em física envolvem matéria em movimento em torno de um determinado ponto no espaço, seja em rotação real sobre ele, ou simplesmente passando por ele, onde se deseja saber qual efeito a matéria em movimento tem sobre o ponto - pode ela exercer energia sobre ou realizar um trabalho sobre isso? A energia , a capacidade de trabalhar , pode ser armazenada na matéria ao colocá-la em movimento - uma combinação de sua inércia e seu deslocamento. A inércia é medida por sua massa e o deslocamento por sua velocidade . Seu produto,

é o ímpeto da questão . Referir esse momentum a um ponto central introduz uma complicação: o momentum não é aplicado diretamente ao ponto. Por exemplo, uma partícula de matéria na borda externa de uma roda está, na verdade, na extremidade de uma alavanca do mesmo comprimento que o raio da roda, seu momento girando a alavanca em torno do ponto central. Essa alavanca imaginária é conhecida como braço de momento . Ele tem o efeito de multiplicar o esforço do momento em proporção ao seu comprimento, um efeito conhecido como momento . Portanto, o momento da partícula se refere a um ponto particular,

é o momento angular , às vezes chamado, como aqui, o momento do momento da partícula versus aquele ponto central particular. A equação combina um momento (um braço de momento de giro de massa ) com uma velocidade linear (equivalente em linha reta) . A velocidade linear referida ao ponto central é simplesmente o produto da distância e a velocidade angular versus o ponto: outro momento. Conseqüentemente, o momento angular contém um momento duplo: Simplificando ligeiramente, a quantidade é o momento de inércia da partícula , às vezes chamado de segundo momento de massa. É uma medida de inércia rotacional.

O momento de inércia (mostrado aqui) e, portanto, o momento angular, é diferente para cada configuração possível de massa e eixo de rotação .

Como o momento de inércia é uma parte crucial do momento angular de giro, o último necessariamente inclui todas as complicações do primeiro, que é calculado multiplicando os bits elementares da massa pelos quadrados de suas distâncias do centro de rotação. Portanto, o momento de inércia total, e o momento angular, é uma função complexa da configuração da matéria sobre o centro de rotação e a orientação da rotação para os vários bits.

Para um corpo rígido , por exemplo uma roda ou um asteróide, a orientação de rotação é simplesmente a posição do eixo de rotação versus a matéria do corpo. Pode ou não passar pelo centro de massa , ou pode ficar completamente fora do corpo. Para o mesmo corpo, o momento angular pode assumir um valor diferente para cada eixo possível em torno do qual a rotação pode ocorrer. Ele atinge um mínimo quando o eixo passa pelo centro de massa.

Para uma coleção de objetos girando em torno de um centro, por exemplo, todos os corpos do Sistema Solar , as orientações podem ser um tanto organizadas, como o Sistema Solar, com a maioria dos eixos dos corpos próximos ao eixo do sistema. Suas orientações também podem ser completamente aleatórias.

Em resumo, quanto mais massa e quanto mais distante do centro de rotação (quanto mais longo o braço do momento ), maior será o momento de inércia e, portanto, maior será o momento angular para uma dada velocidade angular . Em muitos casos, o momento de inércia e, portanto, o momento angular, pode ser simplificado por,

onde é o raio de giração , a distância do eixo em que toda a massa pode ser considerada como concentrada.

Da mesma forma, para um ponto de massa, o momento de inércia é definido como,

onde é o raio da massa do ponto do centro de rotação,

e para qualquer coleção de partículas como a soma,

A dependência do momento angular na posição e forma é refletida em suas unidades em relação ao momento linear: kg⋅m 2 / s, N⋅m⋅s ou J⋅s para o momento angular versus kg⋅m / s ou N⋅s para o momento linear. Ao calcular o momento angular como o produto do momento de inércia pela velocidade angular, a velocidade angular deve ser expressa em radianos por segundo, onde o radiano assume o valor adimensional da unidade. (Ao realizar a análise dimensional, pode ser produtivo usar a análise orientacional que trata os radianos como uma unidade básica, mas isso está fora do escopo do sistema internacional de unidades ). As unidades do momento angular podem ser interpretadas como torque ⋅tempo ou como energia⋅tempo por ângulo. Um objeto com momento angular de L N⋅m⋅s pode ser reduzido a rotação zero (toda a energia rotacional pode ser transferida para fora dele) por um impulso angular de L N⋅m⋅s ou equivalentemente, por torque ou trabalho de L N⋅m por um segundo, ou energia de L J por um segundo.

O plano perpendicular ao eixo de momento angular e passando pelo centro de massa é algumas vezes chamado de plano invariável , porque a direção do eixo permanece fixa se apenas as interações dos corpos dentro do sistema, livres de influências externas, forem consideradas. Um desses planos é o plano invariável do Sistema Solar .

Momento angular e torque

A segunda lei do movimento de Newton pode ser expressa matematicamente,

ou força = massa × aceleração . O equivalente rotacional para partículas pontuais pode ser derivado da seguinte forma:

o que significa que o torque (ou seja, o tempo derivado do momento angular) é

Porque o momento de inércia é , segue-se que , e que, se reduz a

Este é o análogo rotacional da Segunda Lei de Newton. Observe que o torque não é necessariamente proporcional ou paralelo à aceleração angular (como se poderia esperar). A razão para isso é que o momento de inércia de uma partícula pode mudar com o tempo, algo que não pode ocorrer para a massa comum.

Conservação de momento angular

Uma patinadora artística em um giro usa a conservação do momento angular - diminuir seu momento de inércia puxando seus braços e pernas aumenta sua velocidade de rotação .

Considerações gerais

Um análogo rotacional da terceira lei do movimento de Newton pode ser escrito: "Em um sistema fechado , nenhum torque pode ser exercido sobre qualquer matéria sem o esforço em alguma outra matéria de torque igual e oposto." Conseqüentemente, o momento angular pode ser trocado entre objetos em um sistema fechado, mas o momento angular total antes e depois de uma troca permanece constante (é conservado).

Visto de outra forma, um análogo rotacional da primeira lei do movimento de Newton pode ser escrito: "Um corpo rígido continua em um estado de rotação uniforme, a menos que seja atuado por uma influência externa." Assim, sem nenhuma influência externa para agir sobre ele, o momento angular original do sistema permanece constante .

A conservação do momento angular é usada na análise do movimento da força central . Se a força resultante em algum corpo é dirigida sempre em direção a algum ponto, o centro , então não há torque no corpo em relação ao centro, já que toda a força é direcionada ao longo do vetor do raio e nenhuma é perpendicular ao raio . Matematicamente, torque porque neste caso e são vetores paralelos. Portanto, o momento angular do corpo em torno do centro é constante. Este é o caso da atração gravitacional nas órbitas de planetas e satélites , onde a força gravitacional é sempre direcionada para o corpo primário e os corpos orbitais conservam o momento angular trocando distância e velocidade conforme se movem em torno do primário. O movimento da força central também é usado na análise do modelo de Bohr do átomo .

Para um planeta, o momento angular é distribuído entre a rotação do planeta e sua revolução em sua órbita, e estes são frequentemente trocados por vários mecanismos. A conservação do momento angular no sistema Terra-Lua resulta na transferência do momento angular da Terra para a Lua, devido ao torque de maré que a Lua exerce na Terra. Isso, por sua vez, resulta na desaceleração da taxa de rotação da Terra, em cerca de 65,7 nanossegundos por dia, e no aumento gradual do raio da órbita da Lua, em cerca de 3,82 centímetros por ano.

O torque causado pelas duas forças opostas F g e - F g provoca uma mudança no momento angular L na direção daquele torque (uma vez que o torque é a derivada no tempo do momento angular). Isso faz com que o topo de precess .

A conservação do momento angular explica a aceleração angular de uma patinadora no gelo quando ela aproxima os braços e as pernas do eixo vertical de rotação. Ao aproximar parte da massa de seu corpo do eixo, ela diminui o momento de inércia de seu corpo. Como o momento angular é o produto do momento de inércia e da velocidade angular , se o momento angular permanece constante (é conservado), então a velocidade angular (velocidade de rotação) do patinador deve aumentar.

O mesmo fenômeno resulta em rotação extremamente rápida de estrelas compactas (como anãs brancas , estrelas de nêutrons e buracos negros ) quando são formadas a partir de estrelas com rotação muito maior e mais lenta. A diminuição do tamanho de um objeto n vezes resulta no aumento de sua velocidade angular pelo fator de n 2 .

A conservação nem sempre é uma explicação completa para a dinâmica de um sistema, mas é uma restrição fundamental. Por exemplo, um pião está sujeito a torque gravitacional fazendo-o inclinar e mudar o momento angular em torno do eixo de nutação , mas negligenciando o atrito no ponto de contato giratório, ele tem um momento angular conservado em torno de seu eixo de rotação e outro em torno de seu eixo de precessão . Além disso, em qualquer sistema planetário , os planetas, estrelas, cometas e asteróides podem se mover de várias maneiras complicadas, mas apenas para que o momento angular do sistema seja conservado.

O teorema de Noether afirma que toda lei de conservação está associada a uma simetria (invariante) da física subjacente. A simetria associada à conservação do momento angular é a invariância rotacional . O fato de que a física de um sistema permanece inalterada se ele é girado por qualquer ângulo em torno de um eixo implica que o momento angular é conservado.

Relação com a segunda lei do movimento de Newton

Embora a conservação total do momento angular possa ser entendida separadamente das leis do movimento de Newton como decorrentes do teorema de Noether em sistemas simétricos sob rotações, também pode ser entendida simplesmente como um método eficiente de cálculo de resultados que também pode ser obtido diretamente a partir do segundo lei, junto com as leis que governam as forças da natureza (como a terceira lei de Newton, as equações de Maxwell e a força de Lorentz ). Na verdade, dadas as condições iniciais de posição e velocidade para cada ponto, e as forças em tal condição, pode-se usar a segunda lei de Newton para calcular a segunda derivada de posição, e a solução para isso fornece informações completas sobre o desenvolvimento do sistema físico com Tempo. Observe, no entanto, que isso não é mais verdade na mecânica quântica , devido à existência do spin das partículas , que é o momento angular que não pode ser descrito pelo efeito cumulativo de movimentos pontuais no espaço.

Como exemplo, considere a diminuição do momento de inércia , por exemplo, quando um patinador artístico está puxando suas mãos, acelerando o movimento circular. Em termos de conservação do momento angular, temos, para o momento angular L , o momento de inércia I e a velocidade angular ω :

Usando isso, vemos que a mudança requer uma energia de:

de modo que uma diminuição no momento de inércia requer o investimento de energia.

Isso pode ser comparado ao trabalho realizado calculado usando as leis de Newton. Cada ponto do corpo em rotação está acelerando, a cada ponto do tempo, com aceleração radial de:

Vamos observar um ponto de massa m , cujo vetor de posição em relação ao centro de movimento é paralelo ao eixo z em um determinado ponto do tempo, e está a uma distância z . A força centrípeta neste ponto, mantendo o movimento circular, é:

Assim, o trabalho necessário para mover este ponto para uma distância dz mais longe do centro de movimento é:

Para um corpo não pontual, deve-se integrar sobre ele, com m substituído pela densidade de massa por unidade z . Isto dá:

que é exatamente a energia necessária para manter o momento angular conservado.

Observe que o cálculo acima também pode ser executado por massa, usando apenas cinemática . Assim, o fenômeno do patinador artístico que acelera a velocidade tangencial ao puxar suas mãos pode ser entendido da seguinte forma na linguagem do leigo: As palmas das mãos do patinador não se movem em linha reta, portanto, estão constantemente acelerando para dentro, mas não ganham velocidade adicional porque a aceleração é sempre feita quando seu movimento para dentro é zero. No entanto, isso é diferente ao puxar as palmas para mais perto do corpo: a aceleração devido à rotação agora aumenta a velocidade; mas por causa da rotação, o aumento da velocidade não se traduz em uma velocidade significativa para dentro, mas em um aumento da velocidade de rotação.

No formalismo Lagrangiano

Na mecânica Lagrangiana , o momento angular para rotação em torno de um determinado eixo é o momento conjugado da coordenada generalizada do ângulo em torno do mesmo eixo. Por exemplo, o momento angular em torno do eixo z é:

onde é o Lagrangiano e é o ângulo em torno do eixo z.

Observe que , a derivada de tempo do ângulo, é a velocidade angular . Normalmente, o Lagrangiano depende da velocidade angular através da energia cinética: Esta última pode ser escrita separando a velocidade em sua parte radial e tangencial, com a parte tangencial no plano xy, em torno do eixo z, sendo igual a:

onde o subscrito i representa o i-ésimo corpo e m , v T e ω z representam a massa, a velocidade tangencial em torno do eixo z e a velocidade angular em torno desse eixo, respectivamente.

Para um corpo que não é semelhante a um ponto, com densidade ρ , temos em vez disso:

onde a integração percorre a área do corpo e I z é o momento de inércia em torno do eixo z.

Assim, assumindo que a energia potencial não depende de ω z (esta suposição pode falhar para sistemas eletromagnéticos), temos o momento angular do i-ésimo objeto:

Até agora, giramos cada objeto em um ângulo separado; também podemos definir um ângulo geral θ z pelo qual giramos todo o sistema, girando assim também cada objeto em torno do eixo z, e temos o momento angular geral:

A partir das equações de Euler-Lagrange , segue-se que:

Uma vez que o lagrangiano é dependente dos ângulos do objeto apenas através do potencial, temos:

que é o torque no i-ésimo objeto.

Suponha que o sistema seja invariante às rotações, de forma que o potencial seja independente de uma rotação geral pelo ângulo θ z (portanto, pode depender dos ângulos dos objetos apenas por meio de suas diferenças, na forma ). Portanto, obtemos o momento angular total:

E, assim, o momento angular em torno do eixo z é conservado.

Esta análise pode ser repetida separadamente para cada eixo, dando conversação sobre o vetor do momento angular. No entanto, os ângulos em torno dos três eixos não podem ser tratados simultaneamente como coordenadas generalizadas, uma vez que não são independentes; em particular, dois ângulos por ponto são suficientes para determinar sua posição. Embora seja verdade que, no caso de um corpo rígido, descrevê-lo completamente requer, além de três graus de liberdade de translação , também a especificação de três graus de liberdade de rotação; no entanto, eles não podem ser definidos como rotações em torno dos eixos cartesianos (ver ângulos de Euler ). Esta ressalva é refletida na mecânica quântica nas relações de comutação não triviais dos diferentes componentes do operador de momento angular .

No formalismo hamiltoniano

Equivalentemente, na mecânica hamiltoniana, o hamiltoniano pode ser descrito como uma função do momento angular. Como antes, a parte da energia cinética relacionada à rotação em torno do eixo z para o i-ésimo objeto é:

que é análogo à dependência energética do momento ao longo do eixo z ,.

As equações de Hamilton relacionam o ângulo em torno do eixo z ao seu momento conjugado, o momento angular em torno do mesmo eixo:

A primeira equação dá

E assim obtemos os mesmos resultados que no formalismo de Lagrange.

Observe que, para combinar todos os eixos, escrevemos a energia cinética como:

onde p r é o momento na direção radial, e o momento de inércia é uma matriz tridimensional ; letras em negrito representam vetores tridimensionais.

Para corpos pontuais, temos:

Esta forma da parte da energia cinética do hamiltoniano é útil na análise de problemas de potencial central e é facilmente transformada em uma estrutura de trabalho da mecânica quântica (por exemplo, no problema do átomo de hidrogênio ).

Momento angular na mecânica orbital

Embora na mecânica clássica a linguagem do momento angular possa ser substituída pelas leis do movimento de Newton, ela é particularmente útil para o movimento no potencial central , como o movimento planetário no sistema solar. Assim, a órbita de um planeta no sistema solar é definida por sua energia, momento angular e ângulos do eixo maior da órbita em relação a um quadro de coordenadas.

Em astrodinâmica e mecânica celeste , um momento angular sem massa (ou por unidade de massa ) é definido

chamado momento angular específico . Observe que a massa geralmente não é importante nos cálculos da mecânica orbital, porque o movimento é definido pela gravidade . O corpo primário do sistema é freqüentemente muito maior do que quaisquer corpos em movimento sobre ele, que os corpos menores têm um efeito gravitacional desprezível sobre ele; é, com efeito, estacionário. Todos os corpos são aparentemente atraídos por sua gravidade da mesma maneira, independentemente da massa e, portanto, todos se movem aproximadamente da mesma maneira nas mesmas condições.

Corpos sólidos

O momento angular também é um conceito extremamente útil para descrever corpos rígidos em rotação, como um giroscópio ou um planeta rochoso. Para uma distribuição de massa contínua com função de densidade ρ ( r ), um elemento de volume diferencial dV com vetor de posição r dentro da massa tem um elemento de massa dm = ρ ( r ) dV . Portanto, o momento angular infinitesimal deste elemento é:

e integrar este diferencial sobre o volume de toda a massa dá seu momento angular total:

Na derivação que se segue, integrais semelhantes a esta podem substituir as somas para o caso de massa contínua.

Coleção de partículas

O momento angular das partículas i é a soma dos produtos cruzados R × M V + Σ r i × m i v i .

Para uma coleção de partículas em movimento sobre uma origem arbitrária, é informativo desenvolver a equação do momento angular resolvendo seu movimento em componentes sobre seu próprio centro de massa e sobre a origem. Dado,

é a massa da partícula ,
é o vetor de posição da partícula vs a origem,
é a velocidade da partícula vs a origem,
é o vetor posição do centro de massa vs a origem,
é a velocidade do centro de massa vs a origem,
é o vetor posição da partícula vs centro de massa,
é a velocidade da partícula vs o centro de massa,

A massa total das partículas é simplesmente sua soma,

O vetor posição do centro de massa é definido por,

Por inspeção,

e

O momento angular total da coleção de partículas é a soma do momento angular de cada partícula,

    ( 1 )

Em expansão ,

Em expansão ,

Pode ser mostrado que (veja a barra lateral),

Provar que

que, pela definição do centro de massa, é e da mesma forma para

e

portanto, o segundo e o terceiro termos desaparecem,

O primeiro termo pode ser reorganizado,

e o momento angular total para a coleção de partículas é, finalmente,

    ( 2 )

O primeiro termo é o momento angular do centro de massa em relação à origem. Semelhante a uma única partícula , a seguir, é o momento angular de uma partícula de massa M no centro de massa em movimento com a velocidade V . O segundo termo é o momento angular das partículas que se movem em relação ao centro de massa, semelhante a Centro de massa fixo , abaixo. O resultado é geral - o movimento das partículas não se restringe à rotação ou revolução em torno da origem ou centro de massa. As partículas não precisam ser massas individuais, mas podem ser elementos de uma distribuição contínua, como um corpo sólido.

Reorganizando a equação ( 2 ) por identidades vetoriais, multiplicando ambos os termos por "um" e agrupando adequadamente,

dá o momento angular total do sistema de partículas em termos de momento de inércia e velocidade angular ,

    ( 3 )

Caixa de partícula única

No caso de uma única partícula se movendo em torno da origem arbitrária,

e as equações ( 2 ) e ( 3 ) para o momento angular total reduzir para,

Caso de um centro de massa fixo

Para o caso do centro de massa fixo no espaço em relação à origem,

e as equações ( 2 ) e ( 3 ) para o momento angular total reduzir para,

Momento angular na relatividade geral

O momento angular 3 como um bivetor (elemento plano) e vetor axial , de uma partícula de massa m com 3 posições x instantâneas e momento 3 p .

Na física teórica moderna (século 20), o momento angular (não incluindo qualquer momento angular intrínseco - veja abaixo ) é descrito usando um formalismo diferente, em vez de um pseudovetor clássico . Nesse formalismo, o momento angular é a carga de Noether de 2 formas associada à invariância rotacional. Como resultado, o momento angular não é conservado para espaços-tempos curvos gerais , a menos que seja assintoticamente invariante rotacionalmente.

Na mecânica clássica, o momento angular de uma partícula pode ser reinterpretado como um elemento plano:

em que o produto exterior ∧ substitui o produto vetorial × (esses produtos têm características semelhantes, mas não são equivalentes). Isso tem a vantagem de uma interpretação geométrica mais clara como um elemento plano, definido a partir dos vetores x e p , e a expressão é verdadeira em qualquer número de dimensões (duas ou mais). Em coordenadas cartesianas:

ou mais compactamente na notação de índice:

A velocidade angular também pode ser definida como um tensor antissimétrico de segunda ordem, com componentes ω ij . A relação entre os dois tensores anti-simétricos é dada pelo momento de inércia que agora deve ser um tensor de quarta ordem:

Novamente, esta equação em L e ω como tensores é verdadeira em qualquer número de dimensões. Essa equação também aparece no formalismo da álgebra geométrica , em que L e ω são bivetores, e o momento de inércia é um mapeamento entre eles.

Na mecânica relativística , o momento angular relativístico de uma partícula é expresso como um tensor anti - simétrico de segunda ordem:

na linguagem dos quatro vetores , ou seja, as quatro posições X e os quatro momentos P , e absorve o L acima junto com o movimento do centro de massa da partícula.

Em cada um dos casos acima, para um sistema de partículas, o momento angular total é apenas a soma dos momentos angulares das partículas individuais, e o centro de massa é para o sistema.

Momento angular em mecânica quântica

O momento angular na mecânica quântica difere em muitos aspectos profundos do momento angular na mecânica clássica . Na mecânica quântica relativística , difere ainda mais, em que a definição relativística acima torna-se um operador tensorial.

Spin, orbital e momento angular total

Momentos angulares de um objeto clássico .

A definição clássica do momento angular que pode ser realizada ao longo de mecânica quântica, por reinterpreting r como o quantum operador posição e p como o quantum operador impulso . L é então um operador , especificamente chamado de operador de momento angular orbital . Os componentes do operador momento angular satisfazem as relações de comutação da álgebra de Lie so (3). Na verdade, esses operadores são precisamente a ação infinitesimal do grupo de rotação no espaço de Hilbert quântico. (Veja também a discussão abaixo dos operadores de momento angular como geradores de rotações.)

No entanto, na física quântica, há um outro tipo de momento angular, chamado de spin momento angular , representada pelo operador de spin S . Quase todas as partículas elementares têm spin diferente de zero. O spin é frequentemente descrito como uma partícula girando literalmente em torno de um eixo, mas esta é uma imagem enganosa e imprecisa: o spin é uma propriedade intrínseca de uma partícula, não relacionada a qualquer tipo de movimento no espaço e fundamentalmente diferente do momento angular orbital. Todas as partículas elementares têm um spin característico (possivelmente zero), por exemplo, os elétrons têm "spin 1/2" (isso realmente significa "spin ħ / 2"), os fótons têm "spin 1" (isso realmente significa "spin ħ"), e os mésons pi têm spin 0.

Finalmente, existe o momento angular total J , que combina o spin e o momento angular orbital de todas as partículas e campos. (Para uma partícula, J = L + S. ) A conservação do momento angular se aplica a J , mas não a L ou S ; por exemplo, a interação spin-órbita permite que o momento angular seja transferido para frente e para trás entre L e S , com a constante restante total. Elétrons e fótons não precisam ter valores baseados em números inteiros para o momento angular total, mas também podem ter valores meio-inteiros.

Em moléculas do momento angular total de F é a soma do rovibronic (orbital) momento angular N , spin electrico momento angular S , e o spin nuclear momento angular eu . Para os estados singuletos electrónicos do momento angular rovibronic é indicado J em vez de N . Conforme explicado por Van Vleck, os componentes do momento angular rovibrônico molecular referidos a eixos fixos na molécula têm relações de comutação diferentes daquelas para os componentes sobre eixos fixos no espaço.

Quantização

Na mecânica quântica , o momento angular é quantizado - ou seja, não pode variar continuamente, mas apenas em " saltos quânticos " entre certos valores permitidos. Para qualquer sistema, as seguintes restrições nos resultados de medição se aplicam, onde é a constante de Planck reduzida e é qualquer vetor euclidiano , como x, y ou z:

Se você medir ... O resultado pode ser ...
ou
, Onde
ou , Onde
Nesta onda estacionária em uma corda circular, o círculo é dividido em exatamente 8 comprimentos de onda . Uma onda estacionária como essa pode ter 0,1,2, ou qualquer número inteiro de comprimentos de onda ao redor do círculo, mas não pode ter um número não inteiro de comprimentos de onda como 8,3. Na mecânica quântica, o momento angular é quantizado por uma razão semelhante.

(Existem restrições adicionais também, consulte o operador de momento angular para obter detalhes.)

A constante de Planck reduzida é minúscula para os padrões do dia-a-dia, cerca de 10-34 J s e, portanto, essa quantização não afeta visivelmente o momento angular de objetos macroscópicos. No entanto, é muito importante no mundo microscópico. Por exemplo, a estrutura das camadas e sub- camadas de elétrons em química é significativamente afetada pela quantização do momento angular.

A quantização do momento angular foi postulada pela primeira vez por Niels Bohr em seu modelo de Bohr do átomo e mais tarde foi prevista por Erwin Schrödinger em sua equação de Schrödinger .

Incerteza

Na definição , seis operadores estão envolvidos: Os operadores de posição , , , e os operadores de momentum , , . No entanto, o princípio da incerteza de Heisenberg nos diz que não é possível que todas as seis dessas quantidades sejam conhecidas simultaneamente com precisão arbitrária. Portanto, há limites para o que pode ser conhecido ou medido sobre o momento angular de uma partícula. Acontece que o melhor que se pode fazer é medir simultaneamente a magnitude do vetor momento angular e seu componente ao longo de um eixo.

A incerteza está intimamente relacionada ao fato de que diferentes componentes de um operador de momento angular não comutam , por exemplo . (Para as relações de comutação precisas , consulte operador de momento angular .)

Momento angular total como gerador de rotações

Como mencionado acima, o momento angular orbital L é definido como na mecânica clássica:, mas o momento angular total J é definido de uma maneira diferente e mais básica: J é definido como o "gerador de rotações". Mais especificamente, J é definido de modo que o operador

é o operador de rotação que pega qualquer sistema e o gira por ângulo em torno do eixo . (O "exp" na fórmula se refere ao operador exponencial ) Para colocar isso ao contrário, qualquer que seja o nosso espaço de Hilbert quântico, esperamos que o grupo de rotação SO (3) atue sobre ele. Existe então uma ação associada da álgebra de Lie so (3) de SO (3); os operadores que descrevem a ação de so (3) em nosso espaço de Hilbert são os operadores de momento angular (total).

A relação entre o operador de momento angular e os operadores de rotação é a mesma que a relação entre álgebras de Lie e grupos de Lie em matemática. A estreita relação entre o momento angular e as rotações é refletida no teorema de Noether, que prova que o momento angular é conservado sempre que as leis da física são rotacionalmente invariantes.

Momento angular em eletrodinâmica

Ao descrever o movimento de uma partícula carregada em um campo eletromagnético , o momento canônico P (derivado do Lagrangiano para este sistema) não é invariante de calibre . Como consequência, o momento angular canônico L = r × P também não é invariante de calibre. Em vez disso, o momento que é físico, o chamado momento cinético (usado ao longo deste artigo), é (em unidades SI )

onde e é a carga elétrica da partícula e A o potencial do vetor magnético do campo eletromagnético. O momento angular invariante de calibre , que é o momento angular cinético , é dado por

A interação com a mecânica quântica é discutida mais adiante no artigo sobre relações de comutação canônicas .

Momento angular na ótica

Na eletrodinâmica clássica de Maxwell, o vetor de Poynting é uma densidade de momento linear do campo eletromagnético.

O vetor de densidade de momento angular é dado por um produto vetorial como na mecânica clássica:

As identidades acima são válidas localmente , ou seja, em cada ponto do espaço em um determinado momento .

História

Newton , nos Principia , sugeriu momento angular em seus exemplos da Primeira Lei do Movimento ,

Um pião, cujas partes por sua coesão são perpetuamente afastadas de movimentos retilíneos, não cessa sua rotação, a não ser quando é retardado pelo ar. Os corpos maiores dos planetas e cometas, encontrando-se com menos resistência em espaços mais livres, preservam seus movimentos progressivos e circulares por muito mais tempo.

Ele não investigou mais o momento angular diretamente no Principia ,

Desse tipo de reflexão às vezes também surgem os movimentos circulares dos corpos em torno de seus próprios centros. Mas esses são casos que não considero a seguir; e seria muito tedioso demonstrar todos os detalhes que se relacionam com este assunto.

No entanto, sua prova geométrica da lei das áreas é um excelente exemplo da genialidade de Newton e, indiretamente, prova a conservação do momento angular no caso de uma força central .

A Lei das Áreas

Derivação de Newton

Derivação de Newton da lei de área usando meios geométricos.

Como um planeta orbita o Sol , a linha entre o Sol e o planeta varre áreas iguais em intervalos iguais de tempo. Isso era conhecido desde que Kepler expôs sua segunda lei do movimento planetário . Newton derivou uma prova geométrica única e passou a mostrar que a força atrativa da gravidade do Sol era a causa de todas as leis de Kepler.

Durante o primeiro intervalo de tempo, um objeto está em movimento a partir do ponto A ao ponto B . Sem ser perturbado, ele continuaria a apontar c durante o segundo intervalo. Quando o objecto chega B , que recebe um impulso dirigido para ponto S . O impulso dá a ele uma pequena velocidade adicional em direção a S , de modo que se essa fosse sua única velocidade, ele se moveria de B para V durante o segundo intervalo. Pelas regras de composição de velocidade , essas duas velocidades se somam, e o ponto C é encontrado pela construção do paralelogramo BcCV . Assim, a trajetória do objeto é desviada pelo impulso de modo que chegue ao ponto C no final do segundo intervalo. Como os triângulos SBc e SBC têm a mesma base SB e a mesma altura Bc ou VC , eles têm a mesma área. Por simetria, o triângulo SBc também tem a mesma área do triângulo SAB , portanto, o objeto varreu áreas iguais SAB e SBC em tempos iguais.

No ponto C , o objecto recebe um outro impulso de S , novamente desviando o seu caminho durante o terceiro intervalo de d a D . Assim, continua a E e além, os triângulos SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDE , todos tendo a mesma área. Permitindo que os intervalos de tempo se tornem cada vez menores, o caminho ABCDE se aproxima indefinidamente perto de uma curva contínua.

Observe que, como essa derivação é geométrica e nenhuma força específica é aplicada, ela prova uma lei mais geral do que a segunda lei de Kepler do movimento planetário. Mostra que a Lei das Áreas se aplica a qualquer força central, atrativa ou repulsiva, contínua ou não contínua, ou zero.

Conservação do momento angular na Lei das Áreas

A proporcionalidade do momento angular à área varrida por um objeto em movimento pode ser compreendida percebendo que as bases dos triângulos, ou seja, as linhas de S ao objeto, são equivalentes ao raio r , e que as alturas do triângulos são proporcionais ao componente perpendicular da velocidade v . Portanto, se a área varrida por unidade de tempo for constante, então pela fórmula da área triangular 1/2(base) (altura) , o produto (base) (altura) e, portanto, o produto rv são constantes: se re o comprimento da base diminuem, v e a altura devem aumentar proporcionalmente. A massa é constante, portanto o momento angular rmv é conservado por essa troca de distância e velocidade.

No caso do triângulo SBC , a área é igual a1/2( SB ) ( VC ). Onde quer que C esteja eventualmente localizado devido ao impulso aplicado em B , o produto ( SB ) ( VC ) e, portanto, rmv permanecem constantes. Da mesma forma para cada um dos triângulos.

Depois de newton

Leonhard Euler , Daniel Bernoulli e Patrick d'Arcy compreenderam o momento angular em termos de conservação da velocidade de área , um resultado de sua análise da segunda lei de Kepler do movimento planetário. É improvável que eles tenham percebido as implicações para a matéria rotativa comum.

Em 1736, Euler, como Newton, tocou em algumas das equações do momento angular em sua Mecânica, sem desenvolvê-las posteriormente.

Bernoulli escreveu em uma carta de 1744 sobre um "momento de movimento rotacional", possivelmente a primeira concepção de momento angular como agora o entendemos.

Em 1799, Pierre-Simon Laplace percebeu pela primeira vez que um plano fixo estava associado à rotação - seu plano invariável .

Louis Poinsot em 1803 começou a representar as rotações como um segmento de linha perpendicular à rotação e elaborou a "conservação dos momentos".

Em 1852, Léon Foucault usou um giroscópio em um experimento para mostrar a rotação da Terra.

O Manual de Mecânica Aplicada de William JM Rankine de 1858 definiu o momento angular no sentido moderno pela primeira vez:

... uma linha cujo comprimento é proporcional à magnitude do momento angular, e cuja direção é perpendicular ao plano de movimento do corpo e do ponto fixo, e tal, que quando o movimento do corpo é visto do extremidade da linha, o raio-vetor do corpo parece ter rotação para a direita.

Em uma edição de 1872 do mesmo livro, Rankine afirmou que "O termo momento angular foi introduzido pelo Sr. Hayward", provavelmente se referindo ao artigo de RB Hayward Sobre um método direto de estimar velocidades, acelerações e todas as quantidades semelhantes em relação aos eixos móveis de qualquer maneira em Space with Applications, que foi introduzido em 1856 e publicado em 1864. Rankine estava enganado, pois numerosas publicações apresentam o termo a partir do final do século 18 ao início do século 19. No entanto, o artigo de Hayward aparentemente foi o primeiro uso do termo e do conceito visto por grande parte do mundo de língua inglesa. Antes disso, o momento angular era normalmente referido como "momento de rotação" em inglês.

Veja também

Notas de rodapé

Referências

links externos